基于Pirie—Kieren數學理解模型的高中數學概念教學策略初探

吳蕾++韓保席

[摘 要] Pirie-Kieren數學理解模型直觀地描述了學生數學理解的過程和本質，是從認知的觀點全面認識數學理解的理論. 本文從創設問題背景，引發積極理解意向；創設探究活動，促進產生概念表象；創設反思對比，引導認識概念本質；創設應用問題，促使獲得理性認識這四個方面，闡述如何運用Pirie-Kieren數學理解模型設計弧度制的教學，擬對高中數學概念的教學策略進行探討，從而構建促進關系性理解的數學課堂.

[關鍵詞] Pirie-Kieren數學理解模型；高中數學；概念教學

全美數學教育研究中心（National Center for Research in Mathematical Sciences，簡稱NCRMSE）認為，在理解中學習數學，促進學生對數學的理解已成為世界數學教育的共識. 近十幾年來，NCRMSE一直呼吁要在美國建立促進理解的數學課堂. 我國的《普通高中數學課程標準（實驗）》也強調：“教學中應強調對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿于高中數學教學的始終，幫助學生逐步加深理解. ”本文將從“弧度制”的教學實際出發，基于Pirie-Kieren數學理解模型，擬對高中數學概念的教學策略進行探討，從而構建促進關系性理解的數學課堂，以期拋磚引玉.

[?] Pirie-Kieren數學理解模型介紹

Pirie-Kieren數學理解模型是由Pirie和Kieren提出來的，它直觀地描述了學生數學理解的過程和本質，是從認知的觀點全面認識數學理解的理論. 這個模型由8個不同的理解階段組成，即初步了解、產生表象、形成表象、關注性質、形式化、觀察評述、構造化與發明創造.

[?] “弧度制”的教學設計

弧度制是三角函數這一章中引進的度量角的一個新概念，是高中數學學習的一個難點.弧度制教學過程中能基本包含Pirie-Kieren數學理解模型的8個不同的理解階段，運用Pirie-Kieren數學理解模型設計弧度制的教學如下：

1. 創設問題背景，引發積極理解意向

根據Pirie-Kieren數學理解模型，數學理解模型的第一水平是初步了解階段，指了解概念的有關方面及一定的推論. 數學理解一般起源于利用具體材料、圖形符號等進行的數學活動. 數學概念的產生是一個從具體背景中抽象出共同本質特征的過程. 學習一個新的概念，必須讓學生體會到學習這一概念的必要性，教學中進行概念的背景分析特別是對于比較抽象的數學概念來說尤為重要，這就需要我們教師從生活實例中及數學知識的發展體系中創設問題背景，給學生提供豐富的感性認識的材料，使學生在問題背景中自發地思考問題，積極地理解問題.

【案例1】 《弧度制》——創設情境，提出課題

師：回到數學中，上一節課我們學習了任意角的概念，對于任意角的度量，我們是用“度”為單位的. 如何定義1度角？

師：我們能否重新選擇角的單位，如“拿”圓周上其他長度的弧長所對的圓心角作為角的單位？使得在該單位制下兩角的運算與常規的十進制加減法一樣簡便呢？

設計意圖：以上問題背景的設置中，學生從生活中的度量單位及數學度量單位的使用上初步了解了學習弧度制的必要性，在頭腦中建立了弧度制與具體事物相聯系的感覺，激發出學生學習的求知欲，進一步引發學生對弧度制這一新的度量制度的理解的意向.

2. 創設探究活動，促進產生概念表象

數學理解模型的第二水平是產生表象. 在這一水平，能根據先前的了解逐步產生表象，歸結出它的特征，并以新的方式運用. 從學生的“最近發展區”創設探究問題與活動，引導學生開展探究學習. 在探究學習過程中，學生可以從多角度深入地剖析數學知識，建構數學知識間的聯系，使他們在面對實際問題時，能更容易地激活數學知識，促進產生概念表象.

【案例2】 《弧度制》——新知探究、建構數學

探究l，r，α之間的關系：

問題1：弧長等于半徑的弧所對的圓心角的大小與所在圓半徑的大小是否有關？

問題2：在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對的圓心角的大小α與有什么關系？

設計意圖：學生通過問題1和問題2的探究，體驗了l，r，α之間的關系，從而為生成弧度制的概念奠定基礎. 兩個探究問題的設置，使學生在“分析與假設”這一微型探究學習的過程更加細致，讓不同基礎的學生在探究活動中都有收獲. 讓學生參與到概念背景分析及自我定義、自我發現的建構中去，激發出學生學習概念的興趣.

學生探究以上兩個問題的活動過程也就是“制作表象”的過程. 在探究問題2的過程中，學生通過自行計算、觀察與交流能夠猜到“圓心角不變，則比值不變”，但是沒法證明的時候，說明他們已經在“制作表象”了. 同時學生就會有更強的探究的欲望去證明自己的猜想，實現思維的真正參與. 因此，在概念教學中，注重讓學生通過探究過程去參與、體驗和掌握研究數學的方法，使學生的生活經驗、已有知識的作用得到充分發揮，促進產生概念的表象的同時，增強學生的探究能力與思維的發展.

3. 創設反思對比，引導認識概念本質

數學理解模型的第三至第五水平分別為：形成表象、關注性質及形式化.概念的形成過程也是新舊知識之間相互影響的過程，因此，在概念教學中幫助學生加強新舊知識之間的聯系，重視在概念表象形成、性質的預測與記錄及形式化的過程中進行知識之間的類比、反思與比較，使學生帶著解決外層水平不能解決的問題，可以隨時返回到前面的某一水平做補救性的內層水平的思考，從而使學生逐步從內部水平向外部水平發展，建立較深的認識水平，從而認識概念的本質.

【案例3】 《弧度制》——對比研究，意義建構

（1）弧度制單位的確定

弧度制的定義（略）.

問題1：弧度制單位與角度制單位有何區別？

（2）弧度的推廣及角的弧度數的計算

問題2：若圓的半徑為r，則弧長為2r的弧所對的圓心角（正角）的弧度數是多少？

問題3：若圓的半徑為r，則弧長為3r的弧所對的圓心角（正角）的弧度數是多少？

問題4：若圓心角∠AOB表示一個負角，且它所對的弧的長為3r，則∠AOB的弧度數是多少？

問題5：若圓的半徑為r，則弧長為l的弧所對的圓心角的弧度數是多少？

學生通過之前的探究證明，逐步形成“弧度制”這一數學概念的表象，也容易理解為何如此定義弧度制. 設置問題“弧度制單位與角度制單位有何區別”促使學生梳理數學知識，體會數學知識之間的聯系，并形成反思、比較這樣的良好的學習習慣，促進學生對舊知識的理解的同時，引發學生進一步地“關注性質”. 通過問題串的設置，促進“角α的弧度數的絕對值”的計算公式的形成，在這一過程中，學生掌握了“角α的弧度數”的形式化，學生對“角α的弧度數”的理解有了質的飛躍，不再需要借助表象來發展理解，而是可以直接利用這一形式了.

4. 創設應用問題，促使獲得理性認識

數學理解模型的第六至第八水平分別為：觀察評述、構造化與發明創造. 在構造化水平階段，學生能將形式的觀察評述轉化為定理法則. 了解了一組定理間的相互關系后，通過邏輯等方式驗證或證實它們，并且學生在做“結構化”活動時，不需要考慮觀察評述的內容. 但是他們可以回頭做一些溫故知新的活動，也體現了理解模型的特點之一——理解并不是單向地由內向外發展，也不只是可以在某處徘徊或停頓. 因此，在概念教學中，設置有關概念的應用問題，促使學生牢固掌握概念的形式與性質，進一步地深化思維.

【案例4】 《弧度制》——公式探索，應用變式

弧度制下的扇形面積公式推導：

問題1：在角度制下，扇形面積公式如何表示？

問題2：在弧度制下，扇形面積公式又如何表示？

給出例題：已知扇形的周長為8 cm，圓心角為2 rad，求該扇形的面積.

給出變式訓練：周長為20 cm的扇形，當圓心角為多少弧度時，其面積最大？

設計意圖：類比角度制下扇形的面積公式，學生自主探索弧度制下扇形的面積公式，從而學會運用弧度制的概念，并體會到弧度制的優越性，促進學生對角的度量方法的認知結構的建構及知識意義的建構，使學生體會到角的度量是一個有緊密內部聯系的整體，這些聯系是可以通過自己的努力去探索與嘗試并且建立起來的，從而對弧度制概念建立理性的認識，同時建立起正確的數學學習觀.

[?] Pirie-Kieren數學理解模型在數學概念教學中應用的誤區

學生的數學理解性學習能否順利完成與教師能否設計出科學的、合理的、符合學生實際的數學教學設計有關.教師在應用Pirie-Kieren數學理解模型時，應避免以下幾個誤區：

（1）完整設計理解模型的8個階段. 由于數學概念的本質不同，不是所有的概念學習都需要經歷8個階段. 比如數學的原始概念教學，或許從“初步了解”就可以直接“形式化”. 概念教學設計中，需要因概念的不同而選取階段的設計.

（2）回歸過程中遵循層層回歸. 在學生理解概念的過程中，因學生的個人理解能力及教師創設的情境等因素，學生在回歸的過程中，經常產生跳躍回歸的情況，因此，我們在教學設計及教學過程中，要充分考慮概念及學生的差異.

總之，數學理解是一個由學生自己積極構建的過程. Pirie-Kieren數學理解模型可以讓我們教師轉變對數學理解的觀念. 數學理解是一個復雜的、動態的過程，需要我們細致地深入觀察學生所處的理解水平，創設適合學生理解水平的學習活動，從而使數學概念的教學基于學生的理解，促進學生的理解，發展學生的理解.