借助數(shù)學(xué)實驗，培養(yǎng)運(yùn)算能力

江蘇省蘇州市吳江區(qū)廟港中學(xué) 姚海峰

借助數(shù)學(xué)實驗，培養(yǎng)運(yùn)算能力

江蘇省蘇州市吳江區(qū)廟港中學(xué) 姚海峰

數(shù)學(xué)實驗是一種以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是動手動腦主動構(gòu)建的過程。運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)學(xué)科的核心概念，是數(shù)學(xué)和其他學(xué)科學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，指向?qū)W生的核心素養(yǎng)。那么，如何正確認(rèn)識運(yùn)算能力以及數(shù)學(xué)實驗與運(yùn)算能力之間的關(guān)系、作用呢？如何對運(yùn)算能力有一個正確的認(rèn)識呢？

一、對運(yùn)算能力的基本認(rèn)識

1．運(yùn)算能力的定義

運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。它是中學(xué)數(shù)學(xué)課程對學(xué)生著重培養(yǎng)和發(fā)展的三種數(shù)學(xué)能力之一(還有邏輯思維能力、空間想象能力)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，對發(fā)展其他能力也有著重要的支撐作用。

2．運(yùn)算能力的特征

運(yùn)算能力不僅是一種計算技能，更是一種思維能力，是兩者的有機(jī)整合。在實施運(yùn)算分析和解決問題的過程中，需要分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計運(yùn)算程序，檢驗運(yùn)算結(jié)果，使運(yùn)算符合算理。正確、靈活、合理和簡潔是運(yùn)算能力的主要特征。

二、數(shù)學(xué)實驗與運(yùn)算能力的關(guān)系

1．?dāng)?shù)學(xué)實驗與運(yùn)算能力相關(guān)的特征體現(xiàn)

數(shù)學(xué)實驗是指為了獲得某種數(shù)學(xué)理論，檢驗?zāi)硞€數(shù)學(xué)猜想，解決某類數(shù)學(xué)問題，實驗者運(yùn)用一定的道具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機(jī)等），在數(shù)學(xué)思維活動的參與下進(jìn)行的一種以人人參與實際操作為特征的數(shù)學(xué)驗證或探究活動。它是動手動腦“做”數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。

2．實驗特征對運(yùn)算能力的發(fā)展產(chǎn)生的影響

數(shù)學(xué)實驗強(qiáng)調(diào)主體在思維引領(lǐng)下的實踐操作，是一種以問題解決為驅(qū)動的自主學(xué)習(xí)方式，可以有效促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展。在實驗情境中，學(xué)生通過操作、觀察、交流、思考，有利于數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理的構(gòu)建，有利于加深對算理、算法的理解。數(shù)學(xué)實驗一般經(jīng)歷問題情境——方案設(shè)計——實施調(diào)整——問題解決的全過程，學(xué)生從中可以感悟數(shù)學(xué)思想，積累活動經(jīng)驗，從而提升運(yùn)算能力。

三、數(shù)學(xué)實驗對運(yùn)算能力所包含的若干方面產(chǎn)生的影響

1．?dāng)?shù)學(xué)實驗有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，掌握數(shù)學(xué)的基本概念是解決問題的基礎(chǔ).通過數(shù)學(xué)實驗有時能很好地理解數(shù)學(xué)基本概念。

以乘方為例，是冪的運(yùn)算、整式乘除的基礎(chǔ)。常規(guī)教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)乘方時經(jīng)常會犯如23＝6，-32＝9等錯誤，究其原因，是學(xué)生對乘方這一數(shù)學(xué)基本概念理解不透，混淆乘方和乘法的概念。為此設(shè)計數(shù)學(xué)實驗如下：首先，請學(xué)生估算、測量數(shù)學(xué)教科書的厚度，計算50本數(shù)學(xué)教科書和教科書中一頁紙的厚度，感受乘除運(yùn)算與數(shù)值（厚度、高度）變化之間的內(nèi)在聯(lián)系。其次，計算22＝ ______ ，23＝，24＝______ ，25＝_____，26＝_______ ……最后提問：一張厚度為0.1mm的紙，折疊幾次，其厚度就能超過一本數(shù)學(xué)教科書的厚度?想象一下，如果將這張紙對折50次，那么總厚度將會達(dá)到多少?你有何感想?（假設(shè)紙足夠大，地球到月球的距離約為3.84×105km）

本實驗是為幫助學(xué)生理解“乘方”的意義而設(shè)計的。實驗以學(xué)生的估算、測量、計算等操作活動為載體，通過折紙，估算、計算折疊后紙張的厚度理解乘方的意義，感受乘方運(yùn)算與數(shù)值（厚度）變化之間的內(nèi)在聯(lián)系。最后對折疊50次后紙張厚度的估算與計算的實際厚度的“懸殊”之差，對學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生了強(qiáng)烈沖擊，引發(fā)學(xué)生思考乘方的本質(zhì)含義，深刻理解乘方的結(jié)果以幾何級數(shù)的速度變化。這一過程就是“做中學(xué)”，“學(xué)中思”，對知識主動構(gòu)建。

2．?dāng)?shù)學(xué)實驗有助于學(xué)生掌握基本性質(zhì)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，基本性質(zhì)是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本原理，是數(shù)學(xué)變化的基本依據(jù)，包括很多，如等式基本性質(zhì)、不等式基本性質(zhì)、平行線基本性質(zhì)、三角形基本性質(zhì)、四邊形基本性質(zhì)、平移與旋轉(zhuǎn)基本性質(zhì)等等，掌握數(shù)學(xué)基本性質(zhì)對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)極為重要。借助數(shù)學(xué)實驗，可以更好地掌握基本性質(zhì)。

例如通過配置糖水來探索分式的性質(zhì)，實驗如下：

首先，配置糖水，感受甜度。

把糖放進(jìn)一個大玻璃杯A中，加水，使糖充分溶化并搖勻，得到一大杯糖水。我們用式子表示糖水的甜度（a表示糖水中糖的質(zhì)量，b表示糖和水的總質(zhì)量）。將大玻璃杯中的糖水倒入3個小杯中，3個小杯中糖水的甜度與原先大杯中的甜度相同，我們可以用式子來表示。

（1）從大玻璃杯A中舀出一勺糖水，放入另一大玻璃杯B中，此時大玻璃杯B中的糖水甜度如何？ 若舀出2勺、3勺、4勺呢？請你用數(shù)學(xué)式子描述你的結(jié)論。

（2）從大玻璃杯A中任意倒出3小杯糖水，再將這3小杯糖水全都倒進(jìn)一個空的大玻璃杯C中，混合后的糖水甜度如何？ 請你用數(shù)學(xué)式子表示大玻璃杯C中糖水的甜度與原先3小杯糖水甜度之間的關(guān)系。

其次，添加糖水，感受變化。

（1）在其中一個盛有糖水的小杯中再加入一些糖，此時糖水甜度會如何變化？請你用數(shù)學(xué)式子來描述。

（2）在另一個盛有糖水的小杯中再加入一些水，此時糖水的甜度又會如何變化？ 類似地，請你用數(shù)學(xué)式子來描述。

最后，數(shù)學(xué)思考，拓展遷移。

在你所得到的數(shù)學(xué)式子中，其各個字母表示的都是正數(shù)，那么如果各個字母都是負(fù)數(shù)，這些數(shù)學(xué)式子仍然成立嗎？ 說說你的理由。

數(shù)學(xué)來源于生活，本實驗以學(xué)生的生活經(jīng)驗——糖水的甜度為起點(diǎn)，將糖水的甜度數(shù)學(xué)化——用分式表示；根據(jù)同一大玻璃杯中糖水的“分”與“合”不改變糖水甜度的生活經(jīng)驗，再次數(shù)學(xué)化——分式的基本性質(zhì)：；又可得等比性質(zhì)，由淺入深、由表及里、由現(xiàn)象到本質(zhì)、由具體到抽象地再現(xiàn)了分式中的相等關(guān)系。其次，通過加糖、加水實驗，從生活感受抽象出數(shù)學(xué)式子，也就是分式中的不等關(guān)系。最后，反思從具體事實到形式化抽象的數(shù)學(xué)過程，完成從“具體的模型——糖水實驗”到“抽象的模式——分式的基本性質(zhì)、等比性質(zhì)”的發(fā)現(xiàn)全過程。

3．?dāng)?shù)學(xué)實驗有助于優(yōu)化學(xué)生解題策略

例如：如何在給定的制作材料下設(shè)計容積盡可能大的包裝紙盒?

首先，操作比較。

取一張正方形紙片，按下列圖示的方式進(jìn)行操作：

（1）與同伴制作的無蓋長方體紙盒進(jìn)行比較，估計誰制作的無蓋長方體紙盒容積要大一些?

（2）猜想在什么情況下，圍成的無蓋長方體紙盒的容積會盡可能地大?

其次，計算發(fā)現(xiàn)長為多少時所圍成的無蓋長方體紙盒的容積會盡可能地大。

（1）若所取的正方形紙片的邊長為10cm，探索剪去的小正方形的邊長與長方體的底面邊長及長方體紙盒的容積之間的關(guān)系，填入下表。

長方體紙盒的容積（cm3）0.5 9 40.5 1 8 64.0 1.5 7 73.5 2 6 72 2.5 5 62.5剪去的小正方形的邊長（cm）長方體的底面邊長（cm）

由上表不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)剪去的小正方形的邊長在1.5cm左右時，其圍成的無蓋長方體紙盒的容積會盡可能地大。

在上述計算過程中，你發(fā)現(xiàn)該紙盒容積是如何變化的? 你有何猜想? 你還可以繼續(xù)探究下去嗎? 試試看！

長方體紙盒的容積（cm3）1.1 7.8 1.2 7.6 1.3 7.4 1.4 7.2 1.5 7.0 1.6 6.8 1.7 6.6 1.8 6.4剪去的小正方形的邊長（cm）長方體的底面邊長（cm）

（2）若所取的正方形紙片的邊長是30cm，探究當(dāng)剪去的小正方形邊長是多少時，所圍成的無蓋長方體紙盒的容積最大。

最后，實驗思考。

總之，數(shù)學(xué)實驗可以幫助學(xué)生更好地理解與運(yùn)算相關(guān)的概念、法則與運(yùn)算算理，從中獲取解決問題的經(jīng)驗與策略，從而促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的發(fā)展。