淺析錯位相減在數列中的應用

中國人民大學附屬中學分校 徐 可

淺析錯位相減在數列中的應用

中國人民大學附屬中學分校 徐 可

在高中數學知識體系中，數列知識占據很重要的位置，而數列知識中數列的求和又是重點內容，尤其是“錯位相減”這種重要方法的運用。在學習數列知識的過程中，我們通常僅僅關注了掌握和運用求和公式，卻忽視了在推導求和公式的過程中涉及的“錯位相減”這種重要的方法，導致在解答此類數列求和的問題時無能為力。此外，在每年的數學高考卷中，很多省的試題中都考查了用錯位相減法處理數列求和問題，其重要性毋庸置疑。基于此，本文將首先說明錯位相減這種方法，然后舉例其在數列求和中的應用。

錯位相減；數列；求和

一、錯位相減方法說明

通常，我們習慣性地稱求解等比數列前n項和Sn的方法為“錯位相減法”。實際上，高中教材里出現的求和問題僅僅是某一類數列求和問題中的特例，下面我們將其推廣為更加普適的求和問題，即“一個非零等差數列與一個等比數列的對應項之積構成的新數列的求和”。

【定理】現已知數列｛an｝、｛bn｝分別表示等差和等比數列，數列的首項分別是a、b，等差數列的公差是d，等比數列的公比是q（q≠1）。新數列cn=an·bn，那么該數列的前n項和。

【評析】通過觀察以上證明過程，我們可以看到，所謂“錯位”是為了“對位”，即將公比的冪方相同的項一一對齊；而對好位是方便整體“并項”，并完項才能通過等比數列求和公式進行求和。

此外，需要注意的是，以上錯位相減中我們采用的是在求和式子的兩邊都乘等比數列的公比，即兩邊均乘q。然而錯位相減在數列中的運用不僅僅是這一種形式，同學們需要多見識題型，熟悉掌握每一種形式，并注意歸納總結。下面舉例說明另一種“錯位相減”的形式：在已知數列前n項和公式Sn=f（n）的情況下，求解通項公式an。這類題的解題步驟如下：（1）錯項，所謂“錯項”，是指在Sn=f（n）的基礎上寫出Sn-1=f（n-1）；（2）相減，將（1）所得關系式同原關系式對應相減，即：；（3）求通項，根據Sn- Sn-1=an可以得到：。這種形式的“錯位相減”最后需要驗證a1是不是滿足an=f（n）-f（n-1）（n≥2），若滿足，那么通項就能簡化為an=f（n）-f（n-1）（n=1，2，3，…）。同時，此種形式下的“錯位相減”能夠廣泛運用到有關Sn同an的混合關系式以及an與an+1的復雜遞推關系式當中，能夠逐步將數列問題的類型進行轉換。

了解了“錯位相減”是怎么回事之后，接下來本文將舉例說明幾種常見的其在數列中的運用。這并不是全部，但希望給同學們啟發，以后自己遇到類似題目不會做的時候，能夠記得試一試“錯位相減”。

二、錯位相減在數列中的運用舉例

1．實現混合關系式Sn=f（an）轉化為遞推公式an+1=f（an）

這類題指的是題目中出現表示Sn和an關系的式子，這時候我們可以利用“錯位相減”，首先將Sn和an均退一項，得到Sn-1和an-1的關系式，再將兩個關系式進行對應相減。

例1 已知數列｛an｝滿足：an＞0，并且有，試證明：數列｛an｝為等差數列。

【評析】在本題中正是利用錯位相減這種方法，將混合關系式Sn=f（an），即化成通項之間的遞推式：-an=4，從而得知數列是以4為公差的等差數列。

2．實現復雜的通項關系轉換

當我們在做題中碰到比較復雜的通項關系時常常不知所措，其實我們只要在結合具體題型特點的情況下，充分發揮“錯位相減”這種方法，將問題的類型實施轉換就可以輕松解決。下面先看個簡單例題感受一下，再舉例一道高考題。

例2 已知數列｛an｝滿足以下條件：，試證明：數列｛an｝為等差數列。

【答案】證明：由已知條件可以知道：

也就是：。（備注：這里為第一次使用“錯位相減法”）

【評析】在本題中運用了兩次“錯位相減”。首次的“錯位相減”是為了把復雜的通項進行簡化，顯然經過一次“錯位相減”后得到的仍是較為復雜的兩連項的遞推關系：nan=a1+（n-1）an-1；于是我們進行第二次“錯位相減”，這樣就得到等差數列的遞推式（不完整的）。盡管此題中結果有點“巧合”，但就算不是如此“幸運”，我們對接下來如何去想也早已心知肚明。

例3 （2009年全國卷I）在數列｛an｝中，a1=1，，試求：

（2）求數列｛an｝的前n項和Sn。

【評析】在這道2009年全國I卷的考題中，考查的是利用構造新數列和“錯位相減法”求解數列前n項和。在以往的考題中，壓軸題通常是以數列結合不等式考查放縮法問題，引導考生和一線教師重視數學教材和基礎知識、基本方法以及基本技能，并重視教材中所涉及的重要方法的運用。然而這道題目可以看到出題老師有著降低難度以及力求變化的決心，這道題中解題關鍵在于熟練掌握解決數列問題的一些常見的但卻很重要的方法，例如迭加法、錯位相減法等等，所以同學們應該重視起“錯位相減法”的運用。

3．實現Sn與an的高次關系的轉換

有時候題目中的已知條件是Sn和an之間的高次關系式，同學們面對這種問題也不要不知所措，其實對于任何高次問題，基本原則便是“降次”，只是視具體情況不同而有不同的降次方法。在數列中，遇到Sn和an這種高次關系，我們通常是使用“錯位相減法”進行降次。可能“錯位相減”需要用到多次，但是無論怎樣，我們的目的就是將高次不斷降低，直到明晰化遞推關系。

例4 現有一數列｛an｝，其前n項和Sn滿足：n屬于任意正自然數），試求數列的通項公式。

綜上所述，an+1-an=1(n∈N＊），故數列｛an｝是以1為首項，1為公差的等差數列，即an=n。

【評析】可以看到，本題中也使用了兩次錯位相減，目的就是不斷“降次”。這不禁讓我們再一次感受到“錯位相減法”的精妙。

綜上所述，所謂“錯位相減”便是將已知關系式進行“錯項再聯合”，這種方法不僅僅展現出其充分挖掘已知條件的魅力，又體現出其整體運算的巧妙所在。“錯位相減”有時候不止用一次，它可能使用兩次或多次，視具體題目而定，這一次或多次“錯位相減法”的運用便將問題由復雜轉換成簡單，由開始做題時的“一團亂麻”變成答案“唾手可得”。因此“錯位相減”是解決數列求和問題非常實用的一種方法，希望同學們細細體會，掌握這種方法的精髓，爭取在數列求和問題中“戰無不勝”。

[1]李曉燕．數列中錯位相減求和法之應用舉例[J]．神州旬刊，2013（14）：191-191．

[2]陳勝華．數列錯位相減法求和新探[J]．新課程學習·中旬，2013（5）．

[3]譚杭軍．關于數列中錯位相減法的進一步思考[J]．數學學習與研究，2015（7）：129-130．