由一道力學例題受到的啟發

【摘要】討論在應用虛位移原理時選擇廣義坐標應注意的問題，指出正確理解廣義坐標的定義是正確選擇廣義坐標的前提。

【關鍵詞】虛位移 廣義坐標

【中圖分類號】G633.7 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）10-0162-02

1717年，伯努利首先發現了虛功原理，而它的敘述是這樣的：“受理想約束的力學體系平衡的充要條件是此力學體系的諸主動力在任意虛位移中所做的元功之和等于零”即：

而在直角坐標系中寫作

對自由度為s的力學體系：

式中q為廣義坐標 ， Qa為廣義力：

由于虛位移 獨立，平衡方程： 在有關虛功原理的應用題中，坐標系的選擇、廣義坐標的選擇、對廣義坐標定義的理解、對虛功原理的理解均是很關鍵的問題。本課題試圖通過對下面這道例題深入分析，總結出用虛功原理解題應注意的問題。例題如下：

（1）一根均勻細桿質量為m，擱放在一固定的半圓形容器內，在碗內的長度為b，求桿的長度l？（設桿的運動在鉛垂平面內，所有的接觸都是光滑的，圓的半徑為 r且小于l）。

就這個例子來說，它可以說是一個平面問題，易知體系自由度S=1，若如下選擇坐標系：由于棒的位置可由θ唯一被確定，所以易知體系自由度s=1，θ為廣義坐標，棒所受主動力只有重力，則： Fx=0 Fy=mg

當體系處于平衡時，根據虛功原理易知：

因s=1取一個直角坐標系，若以y為廣義坐標，則直角坐標可以用廣義坐標表示為x=x（y）， y=y.因為 . 則： ，而在此式中廣義力

由于δy是獨立的，此時平衡方程為δy=0即： 在此有兩種求解方法：（一）1）：當Fx≠0，Fy=0 時，平衡方程可化簡為 2）：Fx=0，Fy≠0時，此時我們改寫一般情況下的平衡方程 為： ，則此種看法的體系平衡方程為 =0.由此可見，在此處用虛功原理得到： ，得不出我們所要的結論。（二）若直接用 求解，由于 ，則 .由幾何關系得： ...（1）

削去b得： ，取微分，當 =0時：

…（2）

聯立（1）、（2）式則有： ，則：

由此可見，在以上兩種求解中，第一種是y為廣義坐標來求解的；所選原點是棒上的一點，而且是棒與碗接觸的一點。而第二種則是以x，y為廣義坐標求解的。所選原點是碗緣上的一點，也是棒和碗所接觸的那一點，而且這一點是在碗緣上，所得出的結果是不一樣的。由我們所求的結果來看，第一種求法是不對的，是因為廣義坐標的選擇是不正確的，且此點是會發生虛位移的點，用來作為坐標系原點顯然是不可以的，這是對廣義坐標的理解不夠才出現的問題。廣義坐標的選取不同，理解不同，所以才導致出現以上這些情況。雖然說選取廣義坐標時是可以任意的，但其前提是所選擇的變量必須是真正的廣義坐標，這是一個很關鍵的問題，如果我們選擇了一個不是廣義坐標的變量來描述質點系的位置，則有可能得到錯誤的結果。若在例一中選擇θ為廣義坐標來求桿的平衡位置則有：

由于光滑接觸，體系滿足理想約束條件，根據虛功原理，桿的平衡條件為主動力mg所做虛功等于零，即： 其中 為桿的質心c點的虛位移。

由于桿的放置方向， 的位置是受限制的，桿的自由度就只有一個，我們選擇θ為廣義坐標，則c點坐標（xc，yc）與θ之間的變換方程為：

由此式微分可求出虛位移表達式，把代入平衡條件，因y方向的主動力為零，故 項無貢獻，于是有平衡方程： ， 是獨立變量，所以：

平衡時有： ，則：

但若選質心c的x坐標xc為廣義坐標，則結果如下： ，顯然 ，而當選擇θ或y為廣義坐標時，則可以得到正確的答案。 即：θ=0或π。

雖然以上的分析方法都是有道理的，但還沒有切中問題的要害與實質，再次我談談自己的看法，我認為：在求解一個物體小環的平衡位置時，若以θ來表示質點系的位置，它是唯一可以表示小環m位置的坐標，所以θ可稱為廣義坐標，由此可得出正確的結論。 若選擇x 來表示小環m的位置時，則一個x對應兩個y，即同一個x，小環可能在左邊也可能在右邊，所以x不能唯一確定小環m的位置，因此x不能為廣義坐標。在這里要指出的是若選y 作為廣義坐標時也可以得到正確的結果，而這是在排除了 這兩個點的情況下才得出結論的，又因為廣義坐標是唯一能表示質點系位置的獨立變量，如果排除了某些點，這樣的變量是不能稱為廣義坐標的，這樣的做法也是不正確的，這是對廣義坐標的理解存在偏差。因此我個人認為選擇廣義坐標時有以下幾點可以供參考：

1）在求解虛功原理的問題和平衡問題時，坐標的選取不只是可以選擇廣義坐標，只要你找對自己所選的變量是可以描述質點的整個運動狀態或是質點的位置時，就可以根據問題選擇你所需要的坐標。

2）虛功原理是一個靜力學原理，在它的表述中已不出現約束力，約束條件只體現在確定的廣義坐標上.所以在用虛功原理解題時，可以不考慮約束反力，若需要考慮的話，我們可以將約束解出，代之以相應的約束力，并視為主動力.仍然可以用虛功原理來解題。

3）在用虛功原理解題時當所選坐標數超過自由度時，只要加上相應的約束方程，超過多少個就加上多少個約束方程，仍然可以用虛功原理求解。

作者簡介：

朱朝啟，男，云南大姚人，大姚縣實驗中學，研究方向：物理教育教學研究，大學本科，一級教師。