例說軸對稱在解題中的妙用

【摘要】在數學教學中，要注意把握軸對稱在解題中的妙用，它能夠使問題化繁為簡，使我們的思路豁然開朗。

【關鍵詞】軸對稱 解題 妙用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）10-0119-02

軸對稱的圖案，外在美體現在整齊、美觀，內在美體現在性質的間接、實用，尤其是關于最值作圖、求多角和、構造全等形、解三角形、尋找符合條件的圖形個數等問題，面對條件散、隱含條件深的難題，如果運用軸對稱的觀點去觀察、尋找、構造，可以使我們的思路豁然開朗，現舉例說明如下：

一、作對稱點，求最小值

問題1.如圖已知：∠AOB=30°，點C是∠AOB內部一點，OC=4cm，（1）請在OA邊上找一點G、在OB邊上找一點H，連接CG、CH，使得△CGH的周長最小，并求其最小值。

解析：要使△CGH的周長最小，考慮作點C關于OA的對稱點D、點C關于OB的對稱點E、連接DE，分別交OA、OB于點G、H，連接CG、CH，則△CGH的周長最小。

因為點C、點D關于OA對稱，所以OA垂直平分CD，因此想到連接OD，得到OC=OD、CG=DG、∠COG=∠DOG，同理，連接OE，得到OC=OE，CH=EH、∠COH=∠EOH，結合條件∠AOB=30°，OC=4cm，容易證明△DOE是等邊三角形，邊長為4cm，因此△CGH的周長=CG+GH+CH=DG+GH+HE=DE=4cm。

說明：關于最小值的計算或作圖問題，常運用軸對稱的觀點尋找或者作已知點關于某直線的對稱點，用軸對稱的性質，使問題獲解。

二、找對稱角，求多角和

問題2.已知4×4正方形網格中，各角如圖所示，求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數。

解析：在如圖所示的正方形圖案中，根據軸對稱性質，得到：∠4=∠7、∠5=∠8、∠6=∠9，因此，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠1+∠2+∠3+∠7+∠8+∠9=3×90°=270°

說明：在成軸對稱的圖案中，利用軸對稱性質可以得到很多相等的量，對于解決問題大有幫助。

三、找對稱點，造全等形

問題3.如圖已知點O是△ABC內部一點，點O關于三邊AB、BC、CA的對稱點分別是D、E、F三點，求∠D+∠E+∠F的度數。

解析：要求∠D+∠E+∠F的度數，考慮到三個角比較分散，因此想到通過尋找等角將三個角集中，因為點O關于三邊AB、BC、CA的對稱點分別是D、E、F三點，想到連接OA、OB、OC，由對稱性知：△OAB≌△DAB、△OBC≌△EBC、△OAC≌△FAC、于是∠D=∠AOB、∠E=∠BOC、∠F=∠AOC，所以∠D+∠E+∠F=∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°.

說明：如果題目中的已知條件或結論中的量比較分散，且有對稱點這一條件時，常利用軸對稱構造全等形，從而將分散的條件或結論加以集中，讓隱含的條件暴露出來，從而順利解決問題。

四、用軸對稱，解三角形

問題4.小王站在河岸邊B觀看空中一個氣球C的仰角是45°，觀看它在水中的像D的俯角是60°，如果小王的眼睛A到水平面的距離AB是1.6 m，求氣球距離水平面的高度。（精確到0.1m）

解析：要求氣球距離水平面的高度，需解直角三角形，因此，作AE⊥CD，垂足是點E，作BF⊥CD于點F，得到EF=AB=1.6m，根據平面鏡成像的軸對稱性質，可以發現題目中隱含的等量關系有：

說明：有關平面鏡成像問題，要考慮軸對稱的性質，得到相等的線段或相等的角這些隱含的等量關系。

五、用對稱性，找適合條件點的個數

問題5.如圖已知正方形ABCD，在正方形內確定一點，使得這一點與正方形的四個頂點相連，得到的四個三角形都是等腰三角形，像這樣的點有幾個？

解析：因為正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，容易發現兩條對角線的交點O符合題目的條件；另外當AD是等腰三角形的底時，符合條件的點必在AD邊的垂直平分線上，當△BCE是等邊三角形時，則△ADE、△ABE、△CDE均為等腰三角形，這樣容易找到符合條件的點E.根據對稱性能迅速找出點F、G、H都符合該題條件，所以在正方形內部符合條件的點共有5個。

說明：如果在軸對稱圖形中確定符合某條件的點時，常根據圖形的對稱性使問題迅速得到解決。

作者簡介：

劉長良（1962.9-），男，山東省蒙陰縣垛莊鎮人，畢業于臨沂師專數學教育專業，本科學歷，中學副高級教師。