向量中非教材性質的滲透

王梅芳

[摘 要] 數學教材中有基本概念、基本定理，在解決問題中卻需要在這基礎上進行有效的總結，畢竟有效的總結能成為學生解決問題更好的武器，本文稱之為非教材性質. 如何運用非教材性質解決問題成為提高學生數學應試的一個新手段.

[關鍵詞] 數學；非教材；性質；極化恒等式；向量共線；教材；仿射坐標系

眾所周知，高中數學教材中有許多基本概念和基本性質、定理，是數學學習最基本的保障. 但是我們也發現，僅僅依賴這些基本公式和基本概念還是遠遠不夠的，當下的數學應試考查了學生多方面的數學能力，這其中包括熟練運用知識解決問題. 如果從能取得更高分數的成績、更快速的解決問題的角度來說，筆者認為除了教材中提及的基本知識之外，我們更需要一些從問題解決過程中總結下來的經驗積累，這些積累可以濃縮成性質或特點，成為學生解題的“利器”.

非教材性質1：設O，A，B是不共線三點，對平面上任一點Q，有=x+y，則Q在直線AB上的充要條件是x+y=1.

此性質并非教材明確給出的概念或定理，只是在平面向量基本定理引入之后，在習題中涉及了類似的問題，我們將其提煉、總結成一條極為方便的判斷共線的重要依據.從性質的使用來看，學生不善于發現性質隱藏于具體問題中的使用，另一方面也說明了來源于平面向量基本定理知識的不理解.

問題1：等差數列{an}滿足=a1·+a100·且Q，A，B三點共線，則等差數列{an}前100項的和S100=________.

分析：本題改編自江西高考試題，屬于非教材性質使用的第一層次，若學生能夠準確領會三點共線的充要條件，本題屬于難度系數較低問題，但是不少學生往往在問題中不能聯系非教材性質、積累較少，導致問題的解決變得復雜.本題顯然可知：a1+a100=1，所以S100=50.

問題2：給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°. 如圖1所示，點C在以O為圓心的圓弧上變動. 若=x+y，其中x，y∈R，則x+y的最大值是________.

分析：本題是安徽省高考真題，筆者請學生嘗試，大部分學生對于向量自由性的理解并不到位，均是利用直角坐標系正交分解狀態下求解，這樣的好處是思維簡單，缺點是計算量較大，導致大部分學生最后在代數求解中無法求最大值.我們不妨換一個角度去思考問題，如圖1所示，點C在圓弧上滑動，當其與點A或點B重合時，滿足x+y=1，根據平面向量基本定理，我們不妨將OA記為x軸、OB記為y軸（此時根據向量自由性我們得到了一般化的仿射坐標系），在仿射坐標系里可以類似地如直角坐標系一般進行坐標化，根據比例可知，點C位于圓弧中點時，x+y有最大值，且顯然最大值為2.

問題3：已知點A（1，-1），B（4，0），C（2，2），點P滿足=λ+μ（1≤λ≤a，1≤μ≤b），若+=1，則點P（x，y）組成的平面區域的面積為________.

分析：考慮到+=1，我們不妨記a=2，b=2（其余同理），則1≤λ≤2，1≤μ≤2，當λ+μ=1時，由三點共線性質可知P，B，C共線，即點P位于BC上. 又由于1≤λ≤2，1≤μ≤2?2≤λ+μ≤4，因此點P所在區域由下列不等式組構成：1≤λ≤2，

1≤μ≤2，

2≤λ+μ≤4，即圖2中所在陰影部分，其面積為△ABC面積的兩倍.由條件易得該平行四邊形的面積為8.我們發現，本題我們創造性地使用了三點共線性質，避免了直角坐標系帶來的大量運算，從更為一般的仿射坐標系的角度解決了問題，性質使用的巧妙性凸顯出來.

點評：我們發現，三點共線性質是依賴于平面向量基本定理存在的，其實平面向量基本定理是這一切存在的基礎.不知道大家是否發現，我們在向量教學中往往對向量本質的知識關注并不多，更多的是關注了向量代數化的工具——運算，從利用坐標向量求解到空間向量解決立體幾何，都是其代數化工具性的體現，但是向量是具備幾何特性的，在平面向量基本定理所闡述的任意向量均可以使用基底進行唯一分解的情形下，向量的自由性得到了長足的運用，從而將一般化的仿射坐標系帶來了美好的使用前景，給思維的開拓性帶來了無限的可能. 本文列舉了三個問題，每一問題都是層層遞進式的設計，將知識的使用提煉到了更高的高度，從而獲得了非教材性質的總結和積累.

非教材性質2：向量極化恒等式：a·b=.

極化恒等式是向量數量積與向量和差之間的本質反映，但是教材中沒有將這一重要的關系式作為數量積與向量和與差關系的性質進行總結. 筆者以為，能夠為問題帶來快捷的解決方式的重要特性都應該進行總結.那么極化恒等式到底在問題解決中如何使用？其揭示了什么？如圖3所示，平行四邊形ABCD中：=，=，=+，所以

2. 將①②相減即可得到向量極化恒等式，其溝通了向量內積運算與線性運算，成為非教材性質中重要的補充環節.

問題4：P是棱長為2的正方體上一動點，AB是正方體內切球的任意一條直徑，則· 的取值范圍是________.

分析：本題是研究向量數量積問題.從學生思維層面，第一選擇是數量積的概念，但是我們很快發現·=

·

·cosθ，其中夾角θ很難在動態變換中找到其取值范圍；第二選擇是向量問題坐標化，這里高三的學生可以試一試，畢竟空間向量三維坐標運算是一種手段，但是不難發現運算量較大并不適合在考場中使用；因此第三選擇極化恒等式成為問題解決的首選，考慮到·===2-1，我們發現只要解決

的取值范圍即可，即研究正方體表面動點到正方體中心的距離最值，對于學生而言比較容易，顯然1≤

≤，因此·∈[0，2]. 這里我們將數量積問題通過向量和與差轉換為中線所在弦長以及對邊所在長度問題，可見極化恒等式巧妙地繞開了向量內部的轉換，揭示了問題處理的本質.

問題5：如圖5，設△ABC中，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=AB，且對于邊AB上任一點P，恒有·≥·，則△ABC的形狀是________.

分析：若直接使用第一思維數量積概念，我們不難發現向量的夾角難以計算；若采用直角坐標系進行運算，則明顯由于三角形形狀的任意性而必須構造特殊三角形才能為之；考慮到數量積與向量和與差之間的關系，取線段BC中點M，則4·=（+）2-（-）2=4

2-

2，要滿足題意·最小，只需

最小即可，且最小位置恰為P0處. 很明顯當且僅當MP⊥AB時滿足題意，又M點為線段BC中點，所以AC=BC時成立，即原三角形為等腰三角形. 本題從極化恒等式的角度巧妙地化簡了數量積問題，讓學生開拓了解決數量積問題的非教材性質的使用. 通過兩個問題的使用，我們發現非教材性質2在解決數量積與向量和與差之間關系有著極為重要的功效.

數學教學中還有一些非教材的性質，如數列中的等差數列通項公式與求和公式的函數觀點下的表述；抽象函數關于軸對稱g（a+x）=g（b-x）、中心對稱g（a+x）+g（b-x）=c、周期性g（x+a）=g（x-b）等等三種表述式之間的研究、總結；立體幾何中如何利用空間向量辨別二面角求解中的銳角或鈍角；排列組合中插空法、捆綁法、隔板法等使用. 從本文所舉的向量中非教材性質使用來看，教師教學要善于歸納、善于總結，對于教而言，沒有很好的分門別類的梳理，教不可能成體系的進行；學生學習更需要這種系統化的指導，僅僅依賴教材的概念和公式，依賴學生自我發現在現階段學生的能力和教學時間內是不可能做到的（所有非教材性質通過自主建構發現僅僅是理想主義）. 有了非教材性質，我們在解決問題的時候大大提高了知識使用的廣闊性，對知識的理解也大大向前邁進.

總之，從專業化角度而言教師需要不斷更新自己的知識體系，不斷總結非教材性質，如文中仿射坐標系的引入、極化恒等式的總結給予教師自身對于數學知識的理解有了更高的層次.這些小小的性質使用為學生問題的解決帶來了更為快捷、高效的手段，讓知識真正在學生頭腦中開枝散葉，為其解決難題樹立更強的信心.