錐體側面展開的參數方程法及其GeoGebra制圖

摘 要 運用GeoGebra3D探究圓錐側面的參數方程，結合圓面旋轉的參數方程得出圓錐側面展開圖的一種方法，最終在GeoGebra3D繪圖區完成制圖過程。在此基礎之上，推廣到正棱錐的側面展開圖的繪制。

關鍵詞 GeoGebra3D；圓錐側面；錐體側面展開圖；參數方程

中圖分類號：TP391.41 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2017）04-0037-02

Abstract Using GeoGebra3D explore the parametric equation of the flank of the cone， the expansion graph of flank of the cone is gained with the torus of the parametric equation of a method， eventually in the plot area of the GeoGebra3D completed mapping process. On this basis， promotion to the expansion or the side of the pyramid dia-

gram drawing.

Key words GeoGebra3D； cone side； cone side expansion plan； para-

metric equation

1 前言

文獻[1]“1.3.1立體幾何的表面積和體積”中，圖1-3-1、圖1-3-2、圖1-3-5分別展示了直棱柱、正棱錐、圓柱和圓錐的側面展開圖。筆者利用參數方程在GeoGebra中制作出動態展開圖，以便直觀地呈現這些結論。本文論述錐體側面展開圖的一種方法的推導過程及GeoGebra指令如下，請各位同行指正。

2 圓錐側面參數方程的推導

雖然在GeoGebra中有繪制圓錐的3個指令，但要單獨繪制其側面需另辟蹊徑。在如圖1所示圓錐中，設底面⊙O

的半徑為r，高為h，與底面平行且距離為t的平面截圓錐側面得到⊙O′，則其半徑。故⊙O′上，即圓錐側面上任意一點P的坐標為：

由此可得圓錐側面的GeoGebra指令：曲面[r*（1-t/h）*

cos（θ）， r*（1-t/h）*sin（θ）， t， t， 0， h， θ， 0， 2pi]。參數r和h自動生成滑竿，然后根據需要手動設置其屬性。

3 圓錐側面展開圖參數方程的推導

筆者所作圓錐側面展開圖基本思路是：圓錐底面⊙O沿

過其與y軸負半軸交點且平行于x軸的直線旋轉得到⊙O′，構造動圓錐SO′，⊙O的周長與⊙O′的一段圓弧長相等，完全展開至O′與頂點S重合。

這里需用到一個結論：圓心（x0， y0， z0），半徑為r的圓，繞著與x軸平行的直線旋轉α所得的圓的參數方程為：

其中參數0≤θ≤2π。證明從略。

本文中，圓錐的母線SA長，母線與底面的夾角。

若⊙O旋轉到⊙O′的角度為α，令β=γ-α，則母線在⊙O′的射影AO′，即⊙O′的半徑r′=lcosβ。

此時，O′的坐標（x0， y0， z0）中，x0=0，y0=lcosβcosα-

r，z0=lcosβsinα。

在⊙O′中，等于底面圓周長的弧所對的圓心角為。

所以⊙O′中動圓圓弧的參數方程為：

其中參數。

由此可得動圓O′的GeoGebra指令：曲線[sqrt（r^2+

h^2）*cos（atan（h/r）-α）*cos（θ）， sqrt（r^2+h^2）*cos（atan

（h/r）-α）*cos（α）*（1+sin（θ））-r， sqrt（r^2+h^2）*cos（atan

（h/r）-α）*sin（α）*（1+sin（θ））， θ， -pi/2， -pi/2+2pi*r/（sqrt（r^2+h^2）*cos（atan（h/r）-α））]。

運行效果如圖2所示。

設與⊙O′平行的平面截圓錐SO′得⊙Q交母線SA于點C，令SC=l′。

點C的坐標為xC=0，yC=（l-l′）cosγ-r，zC=（l-l′）sinγ。

⊙Q半徑CQ=l′cosβ。圓錐SQ的高SQ=l′sinβ。

圓心Q的坐標為xQ=0，yQ=（l-l′）cosγ+l′cosβcosα-r，zQ=（l-l′）sinγ+l′cosβsinα。所以，⊙Q中平行于⊙O′的圓弧的參數方程為：

由此可得⊙O側面展開的GeoGebra指令：曲面[t*cos

（atan（h/r）-α）*cos（θ）， （sqrt（r^2+h^2）-t）*cos（atan（h/r））+t*cos（atan（h/r）-α）*cos（α）*（1+sin（θ））-r， （sqrt（r^2+

h^2）-t）*sin（atan（h/r））+t*cos（atan（h/r）-α）*sin（α）*（1+

sin（θ））， t， 0， sqrt（r^2+h^2）， θ， -pi/2， -pi/2+2pi*r/（sqrt（r^2+h^2）*cos（atan（h/r）-α））]。

運行效果如圖3所示。其中側面展開圖張合的程度由滑竿參數α調節控制。

4 正棱錐側面展開圖的制作

如果將底面圓弧的圓心角進行等分，則可以利用序列指令做出正棱錐的側面展開圖。

棱錐底面點列指令為：序列[（sqrt（r?+h?）*cos（atan

（h/r）-α）*cos（（-π）/2+i*2π*r/（n*sqrt（r?+h?）*cos（atan

（h/r）-α）））， sqrt（r?+h?）*cos（atan（h/r）-α）*cos（α）*（1+

sin（（-π）/2+i*2π*r/（n*sqrt（r?+h?）*cos（atan（h/r）-α））））

-r， sqrt（r?+h?）*cos（atan（h/r）-α）*sin（α）*（1+sin（（-π）/2

+i*2π*r/（n*sqrt（r?+h?）*cos（atan（h/r）-α）））））， i， 0， n]。

正棱錐側面三角形序列指令為：序列[多邊形[S，元素[正棱錐底面點列，i]， 元素[正棱錐底面點列， i+1]]， i， 1， n]。

正棱錐指令為：棱錐[多邊形[序列[（r*cos（（-π）/2+

i*2π/n）， r*sin（（-π）/2+i*2π/n））， i， 0， n-]]， S]。

運行效果如圖4所示。同樣，側面展開圖張合的程度由滑竿參數α調節控制。

5 結語

在GeoGebra3D中運用參數方程制作立體圖形，既精簡了步驟，忽略了次要元素，也能夠通過參數值的范圍選擇達到動態展示曲面圖形的效果。再結合文獻[2]中利用page和step參數等頁面設置的方法，使GeoGebra教案的設計和教學實施的初衷得以實現。

參考文獻

[1]徐稼紅.數學2（必修）》[M].南京：江蘇教育出版社，

2011.

[2]張東海.GeoGebra頁面設置效果初探[J].中學數學月刊，2015（9）：50-51.