反證法在數(shù)論中的幾個(gè)妙用

張馨予

[摘 要] 本文利用反證法證明了幾個(gè)與有理數(shù)和素?cái)?shù)相關(guān)的有趣結(jié)論，充分展示了反證法的妙用.

[關(guān)鍵詞] 反證法；無理數(shù)；素?cái)?shù)

我們知道，，是無理數(shù)，一般地，我們有

定理1：假設(shè)p是正整數(shù)但不是完全平方數(shù)，我們有是無理數(shù).

證明：我們用反證法，假設(shè)是有理數(shù)，則存在互素的自然數(shù)m，n使=，兩邊平方有p=

2= ，即m2=p·n2.

因?yàn)閜不是完全平方數(shù)，則我們斷言m含有因子p：

事實(shí)上，令m=m1·…·mr，

則m2=m·…·m=p·n2，

即m，…，m中某一個(gè)應(yīng)含有因子p，但已知假設(shè)p不是完全平方數(shù)，所以p≠m（i=1，…，r），但是為了p整除m…m，故某個(gè)mi中應(yīng)含因子p，即m中含有因子p，設(shè) m=p·r，則

m2=p2r2=p·n2，n2=p·r2，

與上同理可證n也含有因子p，因此（m，n）=p≠1與（m，n）=1矛盾.

根據(jù)上述定理的證明我們猜想：

設(shè)p，q，n是自然數(shù)，如果p≠qn，則是無理數(shù).

我們知道兩個(gè)無理數(shù)之和如

-1+

2-=1不一定為無理數(shù).

另外，自然地，我們想問+及更一般地+當(dāng)a，b滿足適當(dāng)條件時(shí)，是否是無理數(shù)？我們有以下定理.

定理2：若a，b不都是完全平方自然數(shù)，則+是無理數(shù).

證明：（1）a≠b時(shí)，若+是有理數(shù)，則?m，n∈N使+=，

=

-a-b.

由定理1，是無理數(shù)，而公式右邊為有理數(shù)，這是一個(gè)矛盾，故a≠b時(shí)，+是無理數(shù).

（2）a=b時(shí)，由定理1知，+=2是無理數(shù).

用類似于上述方法可以證明：

定理3：若a，b，c三個(gè)自然數(shù)不都是完全平方自然數(shù)，則++是無理數(shù)，特別地，++是無理數(shù).

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：

若p1，…，pn不都是完全平方自然數(shù)，則+…+是無理數(shù).

反證法的妙用還很多，下面我們再舉一個(gè)例子.

素?cái)?shù)越往后數(shù)似乎越來越少，但我們試圖證明它的個(gè)數(shù)是無限的：

我們用反證法，假設(shè)它的個(gè)數(shù)是有限的，只有r個(gè)，設(shè)為p1，…，pr，且設(shè)1

令p=p1·p2…pr+1，

則p>pr，下證p是素?cái)?shù).

若p不是素?cái)?shù)，則p應(yīng)被p1，…，pr中某一個(gè)pi整除，在p=p1·p2…pr+1兩邊除以pi，則

=+，

即整數(shù)=整數(shù)+.

注意0<<1是分?jǐn)?shù)，這是一個(gè)矛盾.