再議函數值域的求法

朱傳美+++谷紅

[摘 要] 函數的值域是函數知識的難點，其求法很多，不好掌握.我們知道：函數的值域只由自變量x控制，與常數無關，而函數的自變量往往都是分散的，變量分散得越厲害，值域就越難求，所以我們提出“變量集中”的解題策略，很好地解決了這一難點.

[關鍵詞] 函數值域的求法；變量集中；常量分離；等價換元

函數的值域一直是函數的主要問題，也是函數知識的難點，其求法可謂是五花八門，應有盡有，讓我們很是眼花繚亂，不能很好掌握.我們知道：值域只由變量控制，與常數無關，而函數的變量往往都是分散的，變量分散越厲害，值域就越難求，所以我們可以“變量集中”思想為主線，以“常量分離”和“等價換元”兩種具體方法處理函數的值域問題，該策略思路清晰，便于掌握，現舉例說明于后，供參考.

例1：求函數f（x）=的值域.

解：f（x）===2+≠2，

所以函數f（x）=的值域為：{y

y≠2}.

評析：此函數的分子分母均含有變量，變量不集中，而且分子、分母最高次冪相同，這里我們通過“常量分離”法達到“變量集中”的目的，從而快速解題.

變題1：求函數f（x）=的值域.

分析：此函數分子、分母的最高次冪不一樣，不可以直接進行“常量分離”，此時可以先“等價換元”，再“常量分離”，以達到“變量集中”的目的.

解：設x-2=t，則x=t+2（t≠0），

則f（x）==2t++8，易得值域為：{y

y≥8+6或y≤8-6}.

變題2：求函數f（x）=的值域.

分析：這里可以先求出的值域.

解：當2x+1=0時，f（x）=0；

當2x+1≠0時，設2x+1=t，則x=（t≠0） ，

===+-，易得≥1或≤-2，

則0

綜上，可得：函數f（x）=的值域為y

-≤y≤1 .

變題3：求函數f（x）=的值域.

分析：此函數分子、分母最高次冪是相同的，所以可以先“常量分離”，再“等價換元”，即按如下步驟進行變形：f（x）===2+，以下解法同變題2，可得函數f（x）=的值域為

y

≤y≤

.

變題4：（2012年南通期末）求函數f（x）=的值域.

解：當x=0時，f（x）=0.

當x≠0時，f（x）==.

另t=x-，則f（x）===（t≠0）.

若t>0，則t+≥4，所以0

若t<0，則t+≤-4，所以-≤f（x）<0.

綜上，可得函數f（x）=的值域為y

-≤y

≤ .

評析：此題曾經難倒了不少考生，得分率很低，主要是“變量集中”的途徑不太明顯，不少考生只能借助導數求解，而此函數的導數的零點不太好求，不少考生只能放棄.

例2：求函數f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域.

解：設sinx+cosx=t，則sinxcosx=（-≤t≤），則f（x）=t+.

由-≤t≤，

易得：函數f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域為y-1≤y

≤

+ .

評析：此題既有sinx又有cosx，變量較分散，所以這里借助“等價換元”讓“變量集中”，在教師不講的情況下，初學的學生是很難想到以上方法的.

變題：已知0

分析：此題的常規處理是：用二倍角公式將函數f（x）進行如下化簡f（x）=3sin2x+sinxcosx=-+，但接下來在提取時，出現了非特殊角，給解題帶來了很大的困難.那就得另尋思路.

解： f（x）=3sin2x+sinxcosx==.

設tanx=t，因為0

則f（x）=（0

由例1所介紹的方法，

易得函數f（x）=3sin2x+sinxcosx的值域為{y

0

例3：求函數f（x）=++的值域.

分析：首先易得函數的定義域為：{x

-1≤x≤1}，此函數含三個根號，變量很分散，必須讓變量集中，不然無法解題，這里可以用“等價換元”達到這一目的.

解：易得函數的定義域為：{x

-1≤x≤1}. 設t=+，

則由t2=2+2∈[2，4]?t∈[，2]，

所以f（x）=++=+t∈[，3]，

即函數f（x）=++的值域為y

≤y≤3 .

通過上述例題的分析，我們可以得到：“變量集中”是處理復雜函數值域問題的主導思想，在具體解題時，“常量分離”和“等價換元”是兩種即基本又有效的方法，這一方法思路清晰，便于掌握和運用，是破解復雜函數值域的有力武器.