從知識(shí)交匯視角，落實(shí)提高學(xué)科能力

[摘 要] 在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題能有效考查考生對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)梳理能力、綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，故此類(lèi)試題的命制成為高考的亮點(diǎn)，也是必考點(diǎn). 因此在平時(shí)的教學(xué)中在學(xué)生熟練掌握所學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生挖掘知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，尋找交匯的視角，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而提高學(xué)科能力.

[關(guān)鍵詞] 交匯；解析幾何；平面幾何；圓；橢圓

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)必考內(nèi)容，由于這類(lèi)問(wèn)題涉及知識(shí)面廣、交匯性強(qiáng)、思路靈活，能有效地考查學(xué)生的思維能力以及運(yùn)算能力，常作為高考的壓軸題或把關(guān)題，因此倍受高考命題者的青睞. 此類(lèi)問(wèn)題的交匯視角最常見(jiàn)的是與平面幾何的交匯以及與函數(shù)方程的交匯等. 下面以2016年全國(guó)卷Ⅰ圓錐曲線解答題為例，就其命題特色、交匯視角、求解方法等進(jìn)行分析，供讀者參考.

[?] 試題賞析

例1：（2016全國(guó)卷Ⅰ理科20）設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

（1）證明EA+EB為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

近年來(lái)高考對(duì)圓錐曲線問(wèn)題的常考模式：一條直線與一個(gè)圓錐曲線相交，給出直線及圓錐曲線滿足的其他幾何條件，如離心率、弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)等有關(guān)條件，求圓錐曲線方程或其他相關(guān)問(wèn)題.

此類(lèi)問(wèn)題的常用解法為：首先聯(lián)立方程組，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系整體求解，或用“點(diǎn)差法”求解. 然而本題卻難以直接套用，因?yàn)楸绢}是橢圓與圓的交匯問(wèn)題，需要借助平面幾何中圓的相關(guān)性質(zhì)來(lái)求曲線方程，接下來(lái)再按常規(guī)思路求解.

本題的一個(gè)鮮明的特點(diǎn)不是考查學(xué)生會(huì)不會(huì)套用常見(jiàn)題型的常規(guī)求解方法，重在考查的是考生會(huì)不會(huì)思維，有沒(méi)有良好的思維習(xí)慣，考查的是學(xué)生那種探索、求真、質(zhì)疑的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，加大思維量.部分學(xué)生在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，眼高手低，遇到運(yùn)算稍微復(fù)雜的題目，嫌麻煩，而不動(dòng)筆進(jìn)行具體計(jì)算，認(rèn)為只要知道解題思路即可. 長(zhǎng)此以往，運(yùn)算求解能力就難以提高，一旦遇到計(jì)算復(fù)雜的問(wèn)題，就會(huì)出現(xiàn)手忙腳亂的情形，不僅處理速度慢，而且顧此失彼，本來(lái)難度不是很大的題，卻解答不出來(lái).

[?] 分析評(píng)述

此題第（1）問(wèn)是兩條線段長(zhǎng)度之和的定值問(wèn)題和動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，即為定值. A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，E為動(dòng)點(diǎn)，從所證的結(jié)論我們已經(jīng)看出了橢圓的身影，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡. 充分利用平面幾何中圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，不難證明|EA|+|EB|等于已知定圓的半徑，當(dāng)然是定值.再結(jié)合橢圓的定義，即可判斷動(dòng)點(diǎn)E的軌跡是橢圓，進(jìn)而即可寫(xiě)出其方程.

以圓為背景對(duì)圓錐曲線定義的考查，可將問(wèn)題追溯到選修2-1中，如下兩例.

例2：已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x-1）2+y2=9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，求C的方程.

因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)

[x][O][y][N][M][P]

其方程為

-=1（x≥1）

.

在第（1）問(wèn)得出橢圓方程后，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為我們熟悉的類(lèi)型，即直線與圓錐曲線相交問(wèn)題，可采用坐標(biāo)法、代入消元法、差別式及根與系數(shù)的關(guān)系求解. 求解第（2）問(wèn)的前提是求出四邊形MPNQ的面積函數(shù)，然后確定其取值范圍. 注意到這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)是由直線l與第（1）問(wèn)中求出的橢圓C1的交點(diǎn)，以及過(guò)點(diǎn)B且垂直于l的直線與已知圓的交點(diǎn)所確定的，這自然想到應(yīng)考慮直線l斜率的存在與否，所以應(yīng)分“直線l與x軸不垂直”和“直線l與x軸垂直”兩種情況討論. 此外，無(wú)論是上述哪一種情況，都可以把四邊形分割成兩個(gè)三角形來(lái)處理. 為此需要通過(guò)弦長(zhǎng)公式或通過(guò)圓的半徑、弦心距以及半弦所構(gòu)成的直角三角形，利用勾股定理求弦長(zhǎng)，然后根據(jù)上述兩種情況再確定四邊形面積的取值范圍.

[?] 試題解析

（1）方法1：因?yàn)?/p>

=4，所以由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為：+=1（y≠0）.

（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線l的方程為

y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.

由y=k（x-1），

=1， 可得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，

Δ=4×36k2+4×36>0.

由韋達(dá)定理，可得x1+x2=

易求過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與l垂直的直線m：y=-（x-1），從而點(diǎn)A到直線m的距離為，所以PQ=2=4，

故四邊形MPNQ面積為S=MN·PQ=12=12，

從而當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQ面積的取值范圍是（12，8）.

當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，其方程為x=1，MN=3，PQ=8，四邊形MPNQ的面積為12.

綜上可知，四邊形MPNQ面積的取值范圍是[12，8）.

點(diǎn)評(píng)：本題第（1）問(wèn)依據(jù)平面幾何的幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合，可簡(jiǎn)潔證明結(jié)論. 在求出橢圓的方程后注意條件y≠0的限制. 在第（2）問(wèn)解答中需要注意幾點(diǎn)：（1）對(duì)直線l的斜率存在與否要進(jìn)行分類(lèi)討論；（2）注意對(duì)判別式的討論，以便于縮小參數(shù)的取值范圍；（3）直線m的方程引入時(shí)，注意直線m與l的關(guān)系，即m與l垂直，斜率互為負(fù)倒數(shù). （4）對(duì)于

PQ

的求解，也可聯(lián)立直線m與橢圓方程求解. （5）解析幾何中的最值問(wèn)題，最終都轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題處理，要熟練掌握配方法、分離常數(shù)法、均值不等式法、導(dǎo)數(shù)法等常用求解最值的方法.

綜上，此題突出了解析幾何與平面幾何的交匯，具有較強(qiáng)的綜合性，著重考查了直線與圓的位置關(guān)系、直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的定義、弦長(zhǎng)公式、平行線的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識(shí)，考查了分類(lèi)與整合的思想以及運(yùn)算求解能力和推理論證能力. 無(wú)疑，通過(guò)這類(lèi)問(wèn)題求解，可以有效地檢測(cè)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.