明晰問題本質(zhì) 探究多種途徑

[摘 要] 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，若能適時(shí)滲透多種解法，有助于展現(xiàn)思維發(fā)散的獨(dú)特性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.“多解”不僅是高效題解教學(xué)的策略，也為培養(yǎng)創(chuàng)新能力開辟了途徑.以一道向量高考試題為例，從多角度進(jìn)行變式、探究，以期增強(qiáng)學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

[關(guān)鍵詞] 幾何；基底；坐標(biāo)；一題多解

對(duì)于同一道題，從不同的角度去分析，會(huì)讓我們得到不同的啟示，從而引出多種不同的解法. 通過不同視角的觀察，使我們的思維拓展到不同的方向、不同的層次，防止思維定式，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通之效. 本文以2016江蘇卷第13題的“多種解法”為例說明.

[?] 問題展示

例 （2016年江蘇卷第13題）如圖1，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn). 若·=4，·= -1，則·=_____________.

[A][B][C][E][F][D]

圖1

向量在高中數(shù)學(xué)中起著重要的工作作用，其在平面幾何、解析幾何、立體幾何，甚至其他學(xué)科都有著廣泛的應(yīng)用. 高考對(duì)平面向量的直接考查通常以平面幾何為背景，如三角形、四邊形等. 命題形式通常以數(shù)量積、平行、垂直、夾角問題為條件或結(jié)論. 問題求解的基本策略是結(jié)合平面幾何的幾何性質(zhì)，利用向量加法的三角形（或平行四邊形）法則、減法的三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，或者利用坐標(biāo)法將幾何問題進(jìn)行代數(shù)化處理.

[?] 多角度探究

1. 幾何性質(zhì)

解法1 如圖1，由于·=·=[（+）2-（-）2]=[（2）2-2]=

變式1 （2016年四川卷第10題）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足

2的最大值是（ ）

=1，=，則點(diǎn)P在以A為圓心、半徑為1的☉A上運(yùn)動(dòng)，且M為CP的中點(diǎn)，因此根據(jù)平面幾何中的位似變換可知，點(diǎn)M在以CA的中點(diǎn)O為圓心、半徑為=的圓上運(yùn)動(dòng). 由此，

的最大為2的最大值為.

評(píng)析：在本題的求解中根據(jù)題目已知條件，結(jié)合平面幾何的性質(zhì)構(gòu)造出相應(yīng)的圓是問題順利解決的關(guān)鍵.

[?] 選基底

解法2 令=a，=b，則=-b，=2a，=3a，=3a-b，=3a+b，=2a-b，=2a+b，=a-b，=a+b，

則·=9a2-b2，·=a2-b2，·=4a2-b2.

由·=4，·=-1可得9a2-b2=4，a2-b2=-1，因此a2=，b2=，因此·=4a2-b2=-=.

變式2 在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足=2，=.若=x+y，則x=________ ；y=________.

解析 由=2，=可得=2（-），-=-，即=，=（+），所以=-=（+）-=-，則x=，y=-.

評(píng)析：根據(jù)平面向量基本定理，通過平面向量的線性運(yùn)算，將所求向量表示成已知向量的線性組合，進(jìn)而使問題順利得解.

[?] 巧建系

解法3 如圖3所示，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)、BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)A（x，y），BC=2m，則B（-m，0），C（m，0），D（0，0），=（x+m，y），=（x-m，y）. 所以·=x2-m2+y2=4. ①

又E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以=，=，所以E

①-②得x2+y2=5.

① -②得m2=，m2=.

代入式③得·=x2-m2+y2=-=.

變式3 △ABC三邊BC，CA，AB上的中線分別為AD，BE，CF，記BE∩CF=G，求證：=（+）.

證明：任取一點(diǎn)O作原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，記A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則E

所以=2，B，G′，E三點(diǎn)共線；

同理，可得C，G′，F(xiàn)三點(diǎn)共線，按題意，G'即G，從而，得==

-x1，-y1

=（x2+x3-2x1，y2+y3-2y1），

因?yàn)?=（x2-x1，y2-y1）+（x3-x1，y3-y1）=（x2+x3-2x1，y2+y3-2y1），

所以=（+）.

評(píng)析：本題求解中以坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)問題的解答. 先按照目標(biāo)構(gòu)造點(diǎn)G′，再證題設(shè)中的G即為G′. 實(shí)質(zhì)上證明了三角形重心G的一個(gè)特征性質(zhì)：++=0（已知此式成立，設(shè)△ABC的重心為G′，則由已證，得++=0，再把兩式相減，得3=0，即=0，故點(diǎn)G為重心.）

[?] 解法評(píng)析

一題多解的目的不在于“多”而是啟迪思維、開拓思路、提升發(fā)散思維的水平，幫助學(xué)生融會(huì)貫通地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題與解決問題.

解法1以向量加、減法的三角形法則為工具，結(jié)合向量數(shù)量積的定義，利用共點(diǎn)向量的運(yùn)算法則，實(shí)現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化.

解法2基底法作為比坐標(biāo)法更一般性的方法，有著非常廣泛的應(yīng)用，解題中當(dāng)我們一時(shí)無法得到對(duì)問題直觀形象的幾何解釋時(shí)，可借助基底法.基底法是平面向量的本質(zhì)，是解決向量問題的通法，是培養(yǎng)思維能力的有效途徑.

解法3著眼于向量的坐標(biāo)運(yùn)算，通過建立坐標(biāo)系、引入點(diǎn)的坐標(biāo)將幾何問題代數(shù)化處理.數(shù)形結(jié)合思想是高中重要數(shù)學(xué)思想之一，其包括“以形解數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個(gè)方面，而向量法就是以數(shù)解形的有力體現(xiàn).

從以上解答的分析過程可見多角度探究一道題目的解答過程，體現(xiàn)了不同知識(shí)之間的相互溝通. 這種基于問題結(jié)構(gòu)的合理聯(lián)想并和自身的解題思維聯(lián)系起來的解題策略，有利于提高學(xué)生綜合運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解答數(shù)學(xué)問題的能力. 教學(xué)中教師要鍛煉學(xué)生在不同的知識(shí)背景下用不同的方法解決同一個(gè)問題的能力，進(jìn)而可使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題上快速做出合理判斷，選擇最佳解題途徑.