寓教于無聲，成于緘默知識

趙平

[摘 要] 教師設計核心問題展開教學，擯棄絮絮叨叨的講解，由學生自主探究，解決核心問題賦予的任務，交流、探討問題解決方法，然后再進一步研究探討、鞏固歸納，在這個過程中獲得緘默知識，使能力得到發展和提升.

[關鍵詞] 核心問題；自主探究；緘默知識

教師以問題引導學生學習，驅動課堂發展，這種課堂教學方式若能合理使用便可以提高課堂教學效率. 但教師的提問往往多且瑣碎，學生被“驅趕”得如同在云里霧里，隨之而來的便是輔以大量的舉例和提問，期待學生在其中能有所發現，而結果不僅不佳，且師生皆累. 因此，有必要從整個課堂結構上進行改變，抓住問題的延伸和深化，將課堂重構，即進行基于核心問題的教學設計. 這里的核心問題是指能激發和推進學生主動活動，能整合現行教材中需要學習的重點內容，能與學生生活實際和思維水平密切相關聯的、能貫穿整節課的問題或者任務. 教師應當通過核心問題的設計，使教學從教師的“講”變成學生的體驗、活動、探究、領悟.

課堂中核心問題可以是一道典型例題，也可以就是一個對整節課有啟發作用的一個問題，但它必須具備生長性，即學生通過對該問題的層層深入地研究可以習得很多緘默知識；同時核心問題還必須具備開放性，即不同層次的學生可以有不同的解決方法和解決路徑. 斯頓邁克認為緘默知識是不能輕易用言語進行表達，存在于人們的手頭和腦海里，只有通過行動才可以將它們體現出來的知識. 其實這里可以講所謂緘默知識就是學生的學科能力.

筆者以《橢圓的幾何性質》高三復習課來說明通過核心問題的設計，可以使課堂不再以知識講授為目的，而是以學生對核心問題的突破作為課堂發展的主線，讓學生自主解決，在這個過程中獲得教師講授時不能獲得的緘默知識.

[?] 環節一：給出問題

在橢圓的幾何性質復習過程中，焦點三角形問題與離心率是其中重要的內容，因此課堂核心問題有必要圍繞其進行選擇. 設計初衷就是讓學生掌握處理焦點三角形問題的方法，在這個過程中鍛煉學生字母運算的能力. 但作為高三一輪復習課，問題的選取又不宜過難，必須基于班級學生的學情，學生經過努力思考是可以解決的問題，即遵循學生的最近發展區原則.

例：如圖1，F1，F2是橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點，點M在x軸上且=，過點F2的直線與橢圓交于A，B兩點，且AM⊥x軸，·=0，求橢圓的離心率.

評述：在實際教學時，教師不提示、不分析，不越俎代庖，至關重要！直接將問題交給學生進行研究. 學生獨立地完成問題，從閱讀、分析，到制定解題策略，最后運算得出結論，每一個過程都能很好地鍛煉學生的閱讀審題能力，分析問題、解決問題的能力，運算能力等，這些都是需要培養的學生重要的數學學習能力. 這些是學生的緘默知識累積提高的過程，也正是核心問題功能和價值的體現.

[?] 環節二：交流探討

學生在學習小組內部交流后，每組的代表走上講臺，利用實物投影儀，講解自己的解題過程.

小組一：設點A（x0，y0），

因為·=0，

所以（x0+c，y0）·（x0-c，y0）=0，

即x-c2+y=0.

而=，

所以x0=c，于是可得y0=c.

因為點A（x0，y0）在+=1（a>b>0）上，

所以+=1（a>b>0）.

又b2=a2-c2，

所以e2+·=1 （頗具“戰略”眼光的字母處理！）

解之得e=.

講解代表：我們利用點在橢圓上，構成關于a，b，c的等式，從而求出離心率.

小組二：設點A（x0，y0），

因為·=0，

所以·=-1，

化簡得x-c2+y=0.

其余同小組一.

講解代表：與小組一相同.

小組三：因為·=0，

所以點A在以點O為圓心，c為半徑的圓上，

所以直接有x-c2+y=0.

其余與小組一相同.

小組四：由題意，∠F1AF2=90°，AM⊥F1F2，

根據射影定理可得AM2=F1M·F2M，

解得AM=，從而得A點的坐標.

其余與上相同（這個解法是超出教師備課時預設的）.

小組五：由焦半徑公式得AF1=a+ec，AF2=a-ec.

根據勾股定理有AF+AF=F1F，

所以

從而有a2+e2·c2=2c2.

兩邊同除以a2得1+e4=2e2，解得e=.

講解代表：我們的優勢是不用求點的坐標，利用勾股定理依然可以得到關于a，c的等式.

小組六：根據勾股定理有AF+AF=F1F，

而AF1+AF2=2a，F1F2=2c，（AF1+AF2）2-2AF1·AF2=4c2，

所以AF1·AF2=2b2.

利用三角形的面積可得·2c·yA=·2b2，即yA=.

此時代入橢圓方程或者利用其他小組的結論=都可求得離心率.

小組七：利用焦點三角形的面積公式·2c·yA=b2·tan，

而∠F1AF2=90°，

于是也有yA=，此時代入橢圓方程或利用其他小組的結論=都可求得離心率.

……

課堂氣氛活躍！

評述：北京師范大學石中英教授認為：“認識和理解教學生活中緘默知識的關鍵一步就是讓它們‘顯性化，從而才能夠對它們加以檢討、修正或應用. ”學生自己做，并且讓他們自己講出來，才能使他們自己摸索的經驗得到提升，在思維碰撞中知道自己的不足. 合作交流為學生提供了“再創造”的空間和時間，變信息的單項傳遞為立體傳遞，促使信息渠道寬廣通暢，產生了許多出人意料的結果. 比如這里的解法四、解法七，課堂氣氛活躍，形成生生之間的自由探索和熱烈討論. 學生在合作交流中緘默知識可以在學生中“流淌”，這樣個體經驗會成為集體智慧，這是緘默知識顯性化的過程，也使核心問題的價值得以發揮.

[?] 環節三：總結追問

教師：同學們做得不錯，總結得很到位，求離心率的本質就是得到關于a，b，c的等式，大家對直角條件利用得相當好，求了點的坐標. 以后再出現直角條件我們就可以從這些角度出發解決問題（此處筆者故意對小組七的解法輕描淡寫地略過）. 不過這道題若將“·=0”改成“∠F1AF2=60°”，其余的條件不變，這道題的離心率又是多少呢？

學生自主完成，有的學生剛剛還引以為自豪的解法，在此時瞬間“失效”，他們再次陷入了思考、計算，教室里再次變得安靜.

在關鍵處發揮教師主導的作用，教師放手讓學生在“做”中“學”，但不等于放任不管！此時，教師怎么介入便是一門藝術，分寸必須拿捏準確. 學生已經將例題研究得很透徹了，那么有必要在其已有經驗的基礎上，再向前推進一步，作更深度的體驗. 即在原有問題的基礎上適時地提出新問題推進學生進行更深層次的探究，培養學生從特殊到一般的思維習慣，提升學生研究問題的能力. 如果我們要想抓住事物的本質，就要深入到其內部，思考潛藏于深處的分析要點. 著眼于挖掘隱藏的統一性，是抓住事物本質的唯一方法.

[?] 環節四：交流探討

學生指出小組五的解法還是可行的，只要將勾股定理改成余弦定理.

由焦半徑公式得AF=a+ec，AF2=a-ec，

及余弦定理有AF+AF-2AF1·AF2·cos∠F1AF2=F1F，

即

解得e2=.

此時e=.

同樣，小組六的方法用余弦定理可得

（AF1+AF2）2-3AF1·AF2=4c2，

所以AF1·AF2=b2，

即·2c·yA=·b2·sin60°，

得yA=.

將A點的坐標代入橢圓方程有+=1，

化簡得e2+=1，

從而可以解得e=.

同樣，小組七的解法也是可行的，并且比較簡單.

教師：通過將這道題的已知條件進行變化，同學們對焦點三角形的處理有何感受？（組織學生互評解法）

學生結論：處理焦點三角形時利用余弦定理和橢圓定義、焦半徑公式是更具有一般性的方法，出現直角時可以利用勾股定理、圓來處理.

評述：教育家蘇霍姆林斯基說過：“如果學生沒有學習愿望的話，我們所有的想法、方案和設想都會化為灰燼，變成木乃伊. ”教師通過條件的變化，激起學生對新知的探求欲望，學生在前后的比較中形成對焦點三角形處理的通法體驗，這是一種深度體驗. 在這個過程中，學生通過體驗能夠自主地發現知識，通過比較總結出規律，學生已有的緘默知識再次升華完善，從而達成了核心問題設置的課堂目標.

[?] 環節五：鞏固應用

教師：對，頂角是直角只是一個特殊情況，大家總結得不錯. 小組七的解法，等式右邊是一個焦點三角形面積的結論，你能證明它嗎？

學生證明出焦點三角形的面積公式S=b2tan（θ為焦點三角形中非焦點的頂角），證明過程不再贅述. 將學生在探究過程中產生的問題，還給學生作為練習，當堂訓練，下課鈴聲響起.

評述：基于核心問題設計的課堂，學生往往會產生新的問題，合理地利用課堂生成的新資源，是教師的一種教學機智，實質也是教師對課堂核心問題的把握.

縱觀整節課，筆者沒有絮絮叨叨的講解，教室里有時也是絕對的安靜，只是寥寥數語便將學生調動起來. 其實發揮作用的正是核心問題的設計，將學生置于數學的研究與探討環境之中，學生連貫一體的思維沒有被教師過多的問題割裂，沒有被教師的問題控制，學生有了屬于自己的并且是伴隨著豐富體驗的活動. 學生利用已有的知識先獨立，后合作解決問題，繼而師生共同客觀地對解決問題的過程進行反思、歸納、提升、感悟，進而產生解決問題的方法，并且通過問題再探究使解決問題的通法與特殊方法得以區分體現. 由于核心問題的設置，很多的緘默知識都可以通過學生的活動體現出來，如對代數式的處理，關于字母的運算的目的性，這些只有學生在經歷過的交流合作中才能獲得提升.