例談解題心理過程

王煒

[摘 要] 對于解題者來說，記憶已有問題情境稱為“源”，當前問題情境稱為“靶”，在利用“源”問題解決“靶”問題的過程中，就是建立方法和結構的對應關系.

[關鍵詞] 解題；“源”問題；“靶”問題；關系

導數、函數、數列、不等式綜合問題是各省市高考數學命題的熱點和難點，這類題涉及的知識點多，具有很強的綜合性和靈活性，在高考題中以壓軸題或把關題的形式出現，而解決這類問題的難點是運用導數知識證明不等式時構造適當的函數，或者在導數解決不等式問題的基礎上解決與數列有關的不等式.

對于解題者來說，復雜問題是通過解題者的“漸悟”或“頓悟”來解決，類比思維和轉化思想是解決此類問題最有效的策略之一，記憶已有問題情境稱為“源”，當前問題情境稱為“靶”，在利用“源”問題解決“靶”問題的過程中就是建立方法和結構的對應關系，如果“靶”問題與“源”問題結構上建立了對應關系，那么“源”問題可以直接類比使用于“靶”問題，從而使問題得到解決. 如果“靶”問題與“源”問題方法上建立了對應關系，那么“源”問題方法直接轉化使用于“靶”問題；如果“靶”的問題與“源”問題在結構沒有直接的對應關系，那么就通過解題者改選“源”的問題狀態，使得改造后的狀態與“靶”問題在結構上和方法上具有對應關系，從而順利實現類比遷移，若不能實現“源”結構改造，那么就進行“靶”問題結構改造，使得“源”問題與“靶”問題在結構上和方法上建立對立關系，從而得到問題解決.

下面列舉幾例，談談如何尋找提取學生的“源”問題和經驗（解題模式），并建立與當前問題“靶”的對應關系.

例1：已知函數f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3，a∈R.

（1）若對任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍；

（2）證明：對任意x∈（0，+∞），有lnx>-.

（2015年全國高中數學聯賽陜西預賽題二試5題）

分析：學生做題第（1）之前，曾經做過這樣一道試題：已知函數f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-2x+3，若不等式f（x）≤·[g′（x）+3]恒成立，求實數a的取值范圍.

試題是金太陽高中新課標卷單元測試示范卷數學BSD選修2-2第四單元第一次綜合測試（20）題.

由題意知：2xlnx≤3x2+2ax+1對x∈（0，+∞）恒成立，可得：a≥lnx-x-對x∈（0，+∞）恒成立，設h（x）=lnx--，則h′（x）=-+=-，令h′（x）=0得x=1，x=-.

當00，當x>1時，h′（x）<0，所以h（x）取得最大值h（1）=-2，所以a≥-2，所以a的取值范圍是[-2，+∞）.

上面問題解題方法作為已有問題“源”，下面來看（1）問題“靶”.

由題意不等式f（x）≥g（x），對任意x∈（0，+∞）恒成立.

即xlnx≥（-x2+ax-3），對任意x∈（0，+∞）恒成立，可得ax≤2xlnx+x2+3，對任意x∈（0，+∞）恒成立，可得a≤2lnx+x+，對任意x∈（0，+∞）恒成立.

設h（x）=2lnx+x+，則h′（x）=+1-==，令h′（x）=0，x=1或x=-3（舍）.

當01時，h′（x）>0，

所以x=1時，h（x）取得最小值，h（1）=4，所以a≤4，

所以a的取值范圍是（-∞，4].

學生做第（2）問題之前，曾經做過2014年全國高考數學新課標（Ⅰ）卷（21）題：

設函數f（x）=aexlnx+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為y=e（x-1）+2，

（1）求a，b；（2）證明：f（x）>1.

第（1）問題：由題意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2.

第（2）問題，由（1）知：f（x）=exlnx+，從而f（x）>1等價于xlnx>x·e-x-.

設函數g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，所以當x∈

內單調遞減，在

，+∞

內單調遞增，從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g

= -. 設函數h（x）=xe-x-，則h′（x）=e-x（1-x），所以當x∈（0，1）時，h′（x）>0，故h（x）在（0，1）內單調遞增，當x∈（1，+∞）時，h′（x）<0在（1，+∞）內單調遞減，從而h（x）上的最大值h（1）=-，綜上所述當x>0時，g（x）≥-≥h（x）. 由于在（0，+∞）內兩個等號成立的x取值不同，故g（x）>h（x），即f（x）>1.

上面問題的解決方法作為已有問題“源”，下面來看原問題“靶”.

由題意，對任意x∈（0，+∞），有xlnx>-與上述問題結論完全一樣，從而得出解答.

變式訓練：已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-6，

（1）求函數f（x）的最小值；

（2）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍.

例2：（1）證明：對任意的x>0，y>0，有：≥-·（x-y）；

（2）證明：C+C+C+…+C≥.

（2009年陜西全國高中數學聯賽預賽題測試（四））

分析：學生做這道試題以前，曾做了這樣一道試題：

已知數列{an}的a1=，an+1=，n=1，2，…，

（1）求{an}的通項公式；（2）證明：對任意的x>0，an≥-

-x

，

n=1，2，3，…；

（3）證明：a1+a2+…+an>（2008年全國高考數學陜西卷（理科）第22題）

解：（1）由an+1=，有=+，-1=

則a1+a2+…+an≥=>，原不等式成立.

上面問題的解題方法，作為已有問題“源”，下面來看原問題“靶”.

證明：（1）因為-+（x-y）=+（x-y）=

-

=≥0，故原不等式成立.

取y==，得C+C+…+C≥=，

故原不等式成立.

例3：已知數列{xn}滿足x1=，xn+1=（n∈N*），

（1）猜想數列{xn}的單調性，并證明你的結論；

（2）證明：

（2009年全國高考數學理科試卷（陜西卷）22題）

分析：學生做這道試題之前，曾做了這樣一道試題：

已知函數f（x）=，數列{an}，{bn}滿足a1>0，b1>0，an=f（an-1），bn=f（bn-1），n=2，3，….

（1）求a1的取值范圍，使得對任意的正整數，都有an+1>an；

（2）若a1=3，b1=4，求證：0

（2009年全國高中數學聯賽陜西賽區預選賽試題13題）

注意到an>0（n∈N*），要使an+1>an，只需a2>a1，>a1，解得0

（2）當a1=3時，由（1）知an+1>an，只需>an，解得0

又因為a1=3，所以3≤an<（n∈N*）.

當b1=4時，由（1）知bn+1≤bn，得≤bn≤4（n∈N*）.

于是：bn-an=（-）=·（bn-1-an-1）≤×（bn-1-an-1）=（bn-1-an-1）≤（bn-2-an-2）

≤…≤（b1-a1）=.

綜上所述0

上面問題解答方法作為已有問題的“源”，下面來看原問題“靶”

證明：（1）由x1=，xn+1=，得x2=，

x3===，x4===，x5===，

x6===.

由x2>x4>x6，猜想{x2n}是遞減數列，下面證明：x2n+2

因為x1=>0，xn=>0（n∈N*），x4-x2<0，

所以x2n+2-x2n<0， 所以x2n+2

下面用數學歸納法證明

（1）當n=1時，已證命題成立.

（2）假設n=k時，命題成立，即x2k+2

已知xk>0，

那么x2k+2-x2k+4

即x2k（k+1）>x2（k+1）+2，

也就是說 當n=k+1時命題成立，結合（1）和（2）知命題成立.

（2）當n=1時

故原不等式成立.

總之，在新的問題情境中，學生依據“靶”問題的初始狀態，把例題選擇為“源”問題的首選，其次才是自己做的數學問題，學生在解決對自己來說有一定困難的問題，都需要積極思維，努力在自己的記憶中尋長并提取“源”的問題，以期與“靶”問題進行類比.

例題教學，對解題的作用，首先讓學生自己體會更為一般的解題策略，其次是如何將其應用于具體問題，以此樹立解題的“榜樣”和操作的“示范”，旨在為學生的高效解題提供有力的參考.