“正弦函數的圖像與性質”教什么

凡勝富

[摘 要] 通過對兩節“同課異構”公開課教學細節的觀察與感悟，讓筆者學會了在比較中學習、反思，在反思中理解教材、領悟教學，不能沉浸在自己的教學理念中，更不能“拿來主義”.

[關鍵詞] 正弦函數的性質；反思；理解

近日筆者有幸參加了阜陽市高一數學聯片教研活動，觀摩了兩節題為“正弦函數的圖像與性質”公開課，學生發言積極，合作頻繁，聽課者一致認為突出了學生的主體地位，下面本人結合自己的教學實踐對課例分析談談教學思考.

[?] 課堂教學實錄

1. 教學過程與方法

教師甲：通過引導學生回顧畫出正弦函數的圖像，由形到數，進而定性發現三角函數的性質，并做定性研究.

教師乙：從一般函數與三角函數之間的關系出發，滲透分而治之、各個擊破的研究策略，通過對正弦函數圖像的觀察，發現性質、解釋性質，掌握由數到形、數形結合的數學思想.

2. 片斷呈現

（1）問題情境設置環節

教師甲：如何作出正弦函數的圖像？一般來說，我們從哪些方面去研究一個函數的性質？引導學生自主研究正弦函數的性質，并自行提煉相關結論.

學生：根據老師提出的問題，逐一解答，師生互動交流、步步深入，進而為進入新知搭建好平臺.

教師乙：研究基本初等函數的一般過程：定義—圖像—性質—應用. 我們共同回顧正弦函數的定義和作出正弦函數的圖像.

學生：學生在老師的引領下回顧了研究初等函數的一般過程，很快有了研究正弦函數的思路，然后投入到畫正弦函數的圖像和觀察圖像過程中去.

教師甲引導學生根據已有的知識經驗，通過思考分析來獲得知識，在學習過程中充分發揮學生的主觀能動性，積極參與學生活動，思考問題. 教師乙帶領學生回顧研究函數的性質來點明主題，讓學生感受、理解知識的產生和發展過程，培養學生的問題意識和科學精神. 課堂導入在于導入的目的性、針對性、啟發性，故筆者認為做以下調整導入更有啟發性：在必修1中我們學習了指數函數、對數函數、冪函數的圖像與性質（簡單回顧一下這些函數的圖像與性質），那么今天我們學習的正弦函數又有哪些性質呢？

（2）新知構建及學生活動環節

學生活動：小組討論、交流，然后小組代表分別上講臺展示正弦函數曲線f（x）=sinx（x∈R）的圖像及性質、導學案上的導學自測.

（學生活動8分鐘左右）

小組代表結合正弦函數圖像一一給大家講解定義域、值域、周期、單調性、奇偶性.

教師甲：在學生討論交流過程中，深入到小組中去發現問題，及時幫助學生解疑，學生點評展示環節及時補充和點撥不到位的地方，重點幫助學生在單調性和對稱軸、對稱中心問題上做一感性認知.

學生：學生分兩組分別用五點法、單位圓中正弦線畫出f（x）=sinx（x∈[0，2π]）的圖像，然后觀察圖像得到一個周期內的性質.

教師乙：在學生從一個周期內的圖像觀察得到的性質進行拓展到整個定義域內的性質，重點帶領學生用周期定義?x，f（x）=f（x+T）講解正弦函數的周期性，奇偶性定義?x，f（x）=±f（-x）解釋正弦函數的奇偶性，用數學本質教學并用幾何畫板演示了中心對稱，

教師甲用導學案模式很好地體現了先學后教、以學定教，教師的主導作用和學生的主體作用，然而這節課從形式上看學生的學習方式涉及獨立思考、自主探究、合作交流等，但是學生的思維沒有真正撞擊出火花. 從學生對正弦函數的單調性、對稱性、周期性講評來看，學生收獲的只是從形上感性認知，沒有真正從數學本質上去探究，而教師的補充也只是幫助學生由形到數的理解. 教師乙注重問題引領，學生自主探究，時刻關注學生自主學習能力的培養，本節課很好地教會了學生研究三角函數的一般流程. 筆者認為在學生結合圖像研究性質之前應引導學生找出單調區間、對稱軸、對稱中心時去發現他們分別有何規律？強化正弦函數的周期性的理解及這個難點的突破而不應只引導學生由圖像得出性質，這樣不僅容易把學生思維局限在圖像上，也不利于學生全面理解數學.

（3）知識應用環節

研究完正弦函數性質后，教師甲分別找了4位學生板書導學案上題目如下：

1. 利用五點法畫出函數f（x）=sinx+1的簡圖，并根據圖像討論它的性質.

想一想：函數f（x）=sinx+1與正弦函數f（x）=sinx有何異同？

變式訓練：已知函數f（x）=asinx+b的最大值是1，最小值為-3，試確定該函數的單調區間.

2. 利用函數的單調性，比較下列各組數的大小.

（4個學生板書中其他學生各自完成自己的任務，大約6分鐘以后）

學生：上臺板演的學生各自講解自己的解題思路.

教師甲：由于難度問題，教師對變式訓練、2（2）進行補充講解，最后由于時間緊張簡單的對課堂作了小結.

1. 利用五點法畫出函數f（x）=sinx+1的簡圖，并根據圖像討論它的性質.

2. 不求值，比較各組數的大小關系.

（1）sin-與sin-，

（2）sin與sin.

學生：給學生留了3分鐘時間各自獨立思考，問題1找學生口述，問題2學生上黑板板演

教師乙：對問題2引導學生借助正弦函數圖像利用單調性進行比較大小，最后帶領學生進行本節課總結.

兩位教師教學設計思路是一致的，可見對教材的理解是透徹的，而知識應用的載體選擇不同，帶來的效果自然也不相同，作為正弦函數性質第一課時教師甲的選題難度明顯較大，且變式訓練題沒有能起到變式的作用，對本節課學習目標完成沒有起到畫龍點睛的作用. 教師乙緊扣教材，有利于達到學習目標. 練習要做到目的性、針對性、層次性，本節練習就是要進一步熟悉三角函數的圖像，進一步理解三角函數的性質.

[?] “正弦函數的圖像與性質”教什么

鑒于對兩位教師的教學比較，筆者認為“正弦函數的圖像與性質”教學應該從以下幾個方面入手：

1. 教數學的對象研究的一般方法與規律

在本章4.3節已經有了“利用單位圓研究正弦函數、余弦函數的性質”的情況下，再安排本節意義何在？本節開頭的那句話“本節進一步研究正弦函數的性質”體現在哪？以及教材上的“思考與交流”處，“利用正弦函數的圖像和誘導公式探究對稱軸和對稱中心”，鑒于這些筆者認為本節應在定性到定量上下功夫. 在4.3節在單位圓中學生已經直觀地認識了正弦函數的性質，本節應該結合誘導公式理性來說明性質，不能總“螺旋”而不“上升”.

2. 教周期函數的一般研究思路和方法

三角函數是刻畫周期現象的函數模型，在本章應教會學生研究函數周期現象的一般方法：在一個基本周期內研究性質，該函數在其他周期內重復基本周期區間的性質.

3. 教“真難點”

正弦函數的性質中真正的難點是對單調區間的認識，和對稱軸、對稱中心的獲得，突破這些難點的手段是強化周期概念和認識，教學中應在此處下功夫. 另外學生未必對k∈Z真正理解，教學中應對單調區間、對稱軸、對稱中心具體化.

4. 教數形結合，利用圖像研究性質，教學中應強化數形結合思想的應用

圖形是看得見的語言，應重視單位圓的教學，單位圓不僅僅說明了三角函數定義和繪制圖像，還可以借助單位圓的直觀特點，來很好地幫助學生理解正弦函數、余弦函數的周期、最值、誘導公式、單調性、奇偶性等性質，又能更好地反映問題的本質. 在學習三角函數的整個過程中，都給我們提供了很好的幾何直觀.

最后，一個教學理念：“教什么永遠比怎樣教更重要”. “教什么”是內容是本質，“怎么教”是形式是技術，形式要服從內容. 章建躍說過“理解數學，理解學生，理解教學”，只有這樣，課堂立意才能深遠.