以問題促專題，重視思維參與，

洪金姬

[摘 要] 二元函數值域問題是高考和各類競賽的熱點，由于此類問題涉及的知識面廣，難度大，往往包含了高中數學各方面的知識，經常與函數、方程、不等式、三角、向量與幾何等知識整合，靈活性、綜合性強，求解方法較多，蘊含豐富的數學思想和方法，而且利于學生思維發散，培養學生轉化與化歸能力.

[關鍵詞] 二元函數值域；三角換元；函數與方程；轉化與化歸

二元函數問題最早出現在人教版教材必修5中的線性規劃部分，以探究二元線性目標函數z=ax+by在線性區域上的值域為主，通過轉化，變化為平行線族y=-x+z在線性區域上的縱截距值域問題，并在此基礎上繼續研究與距離相關的二元非線性目標函數z=（x-a）2+（y-b）2或與斜率相關的二元非線性目標函數z=為主的值域問題. 在高三數學一輪復習后，我們發現很多高三學生對于二元函數的值域問題，還是比較陌生，無從下手，導致失分，或者不能馬上找到解題的切入點，耗費較長時間來答題，效率低下，甚至影響整張試卷的得分，高三學生處理二元函數值域問題的能力亟待加強. 為此，我們高三備課組在二輪復習中，把這一塊內容與函數內容相融合. 由于是復習課，我們盡可能將知識與方法融合在一起，力求從多個視角、多種思想方法來滲透. 教師將通過“一題多解”，實現知識的縱向關聯以期有效構建學生的知識方法體系，最后回歸“多題一解”，實現問題解法的優化，使得學生能脫離“題海”，提高解題效率.

[?] 專題學案：二元函數值域問題的解法

問題1：若正數x，y滿足2x+y=xy，則x+y的最小值為_______，此時x=______，y=_______.

1. 試題回放，梳理知識系統

高三復習中二元函數值域問題蘊含知識內容多，思想方法也多，一個問題由于視角不同，往往可以開展“一題多解”；而多個問題看似不同，蘊含的知識或思想方法相似甚至相同，往往可以開展“多題一解”. 通過一輪復習中發現的問題以及高三模擬卷的檢測，我們高三備課組發現，學生對于解決此類問題的思維和解題能力頗有欠缺. 教師要彌補這些缺失，勢必從學生的認知基礎出發，以一輪復習及高三模擬題中的典型問題為引子，通過試題回放，學生參與解題，力求讓學生自主探究，梳理知識系統，提高解題能力，進一步培養學生的糾錯能力，幫助他們樹立信心，提升數學素養.

2. 課堂活動，體現生本課堂

在課堂教學中，教師應成為學生學習活動的組織者、引導者、合作者，如果這樣，教師就起到了主導作用，也就把課堂交給了學生，體現生本課堂的理念.教師在課堂教學中，應調動每位學生的積極性，重視每位學生的思維參與，教師要注重思維品質，讓學生在課堂教學中展示解題過程，充分暴露思維過程，喚起學生對數學問題“火熱”的思考. 如若教師獨自講解，則換來的是學生對數學問題“冰冷美”的感觸，效果不佳.在考慮學生主體作用的基礎上，對本專題的學習活動，我們備課組做了如下設計：

（1）展示學生的解法（拍照后用多媒體展示），提出解題思路；

（2）師生交流，點評小結.

在問題1學生展示中有2個片段：

片段1：傳統解法 水到渠成

學生1：因為x，y都是正數，用基本不等式來處理，根據條件給出的結構特點，等式兩邊同除以xy，得到+=1，代入有x+y=（x+y）

+

=3++≥3+2，再檢驗等號可以取到.

學生2：根據方程2x+y=xy，得出y=，代入有x+y=x+=3+（x-1）+≥3+2. 由條件中的y=>0，可以得到x>1，最后檢驗等號能否取到.

學生3：令x+y=t，則y=t-x，代入2x+y=xy，整理成關于x的方程x2+（1-t）x+t=0.

由題知x2+（1-t）x+t=0在（0，t）上有解，所以Δ=（1-t）2-4t≥0，得t≥3+2.

檢驗：當t=3+2時，有x=1+，y=2+，符合題意，故（x+y）min=3+2.

備注：三位學生的解法是根據高三一輪復習后，對此類二元函數最值解法已經形成的思維定式. 根據解題經驗，代表了傳統解法，思維與解法非常流暢，水到渠成.

片段2：另類解法 旁敲側擊

給出這三種解法后，學生一片歡呼，大部分同學認為已無別法，教師繼續問：還有其他解法嗎？

學生4：先將條件轉換成+=1，然后用三角換元來處理.令=cos2θ，=sin2θ，得出x=，y=，但代入后，我就做不下去了，形式太復雜了.

教師按照學生4的解法，在黑板上給出如下過程：x+y=+.

教師追問：你打算怎么求？

學生4：通分，但是感覺很煩瑣，好像做不出來.

教師繼續按照學生4的要求，板書過程：x+y=+=.

教師：同學們，如果我們按照這個辦法堅持下去，應該怎么做？

教室里沉默了. 過了一會兒，有學生提出用降冪公式，教師按照學生的要求繼續板書：

==.

教師追問：那然后呢？

學生3（又站起來）：用我剛才的方法，令=t，看成以cos2θ為整體的二次方程有解問題.

教室里又一片歡呼，教師繼續板書：tcos22θ+2cos2θ+6-t=0，看成以cos2θ為變量的二次方程，在（-1，1）上有解，必有Δ≥0，解得t≥3+2，再檢驗等號取到是否有意義.

備注：方法4是本節課的一個意外，是個別學生思維的自然生成，是教師在執教過程中沒有預料到的. 但通過教師循循善誘，學生思維拾級而上，看似解法不合理，但是最后卻能解決，實屬意料之外. 不一樣的收獲，培養了學生的運算求解能力、消元意識，有較好教益.

教師評析1：方法1適用的范圍是：當二元是正數，且給出的等式與所求式子是次數互補的結構特點時，又例如ax+by=1（a，b，x，y∈R），求二元函數z=+（c，d，x，y∈R）最值時往往用“1”的代換，結果不變，但效果變了，沒有和（或積）一定，但可以構造積（或和）一定. 此類問題形式靈活，需要我們觀察并轉化，在用基本不等式的時候務必檢驗等號能否取到.

教師評析2：方法2適用的范圍是：通過給定的等式，減少變量，也就是消元后代入二元函數轉化為單元函數，最后可以采用對勾函數的圖像與性質來求最值，也可以用基本不等式求最值，需檢驗等號能否取到.

教師評析3：方法3適用的范圍是：通過換元，即將所求的二元函數（往往是一次）換元為變量t，再確定某主元為變量的二次方程有解，利用判別式構建不等式，等號能否取到要檢驗. 實際上，當x，y為實數時，用方程有根即Δ≥0來獲得t的取值范圍較受推薦，當然最后還是應該檢驗是否符合題目條件.

教師評析4：方法4主要適用于有平方關系的兩個變量，是方法2與方法3的并用. 利用三角換元雖然煩瑣，但可以實現消元，蘊含的數學思想與方法2如出一轍，有異曲同工之妙，都是減少未知數，實現多元消元的功能，體現了數學中的轉化與化歸，值得肯定，也值得推薦.

教師：我們來小結一下常見的求二元函數值域的方法（板書展示）.

（1）基本不等式法：主要適用于兩個正數和（積）一定時，求積（和）的單向值域.

（2）多元消元法：借助換元或代入，實現多元函數單元化，用函數視角或基本不等式來求最值.

（3）判別式法：記所求二元函數（往往為一次）為t，確定某主元為變量的二次方程有解，利用判別式來構建不等式，特殊情況要檢驗.

（4）三角換元法：適用于有平方關系的兩個變量，往往分別用正弦、余弦來換元.

教師：二元函數值域的求解方法還有很多，比如，二元函數問題能轉化成函數圖像（曲線），若所求目標有幾何意義，則用數形結合來求解更直觀有效，只要掌握基本的數學思想方法，如分類討論、數形結合、函數與方程、轉化與化歸等數學思想，再以一些基本方法為輔助，如換元法、配方法、待定系數法、判別式法等，很多問題的求解會更加方便.

3. 鞏固訓練，實現“一題多解”（“多題一解”）

為了鞏固學生已有方法，提升解題效率，教師又布置了如下任務，要求每位學生嘗試不同方法，讓他們學會同類遷移，實現二元函數值域問題“一題多解”，如若掌握了一種題型的解法也就實現了“多題一解”.

問題2：（1）課堂訓練：已知實數x，y滿足4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為________.

（2）鞏固訓練：①已知正數x，y滿足x2+4y2+2xy=1，則x+y的取值范圍為________.

②已知x，y滿足x2+2y2-xy=1，則x2+2y2的取值范圍為________.

③已知0

④已知a>0，b>0，且+=1，則a+2b的最小值是________.

對于課堂訓練，學生給出了以下幾種方法進行展示：

解法1：不妨設x，y>0，則（2x+y）2==1+=1+≤1+=. 故2x+y≤. 經檢驗，等號可以取到.

解法2：4x2+y2+xy=1?（2x+y）2-3xy=1?2x·y=[（2x+y）2-1]≤（2x+y）2，解得2x+y≤. 經檢驗，等號可以取到.

解法3：不妨設x，y>0，（2x+y）2=4x2+4xy+y2=1+3xy，根據條件，結合基本不等式有：

4x2+y2+xy=1?4x2+y2=1-xy≥4xy，得出xy≤，故（2x+y）2=1+3xy≤，即2x+y≤. 經檢驗，等號可以取到.

解法4：令2x+y=t，則y=t-2x，代入4x2+y2+xy=1，有6x2-3tx+t2-1=0，則Δ=9t2-4·6（t2-1）≥0，得≤t≤，即2x+y的最大值為.

解法5：4x2+y2+xy=1?

y+x

+

x

=1，則可得cosθ=

x，

sinθ

=y+x，解得

x=cosθ，

y=sinθ

-cosθ.代入得2x+y=cosθ+sinθ-·cosθ=sinθ+cosθ=sin（θ+φ）≤.

鞏固訓練的學生展示不再贅述.

教師評析：這是2011年浙江理科高考題，從問題1變化到問題2，雖然題設條件變了，但是對于問題解決的方式還是可以從原有視角出發，入口較寬，能夠鞏固已有方法，教學效益好.

4. 對話交流，升華專題價值

教師：通過今天的二元函數值域專題復習，大家有何收獲？

學生經過小組討論、交流、匯總，教師整理最終形成以下認識：二元函數值域問題的處理方式多種多樣，關鍵是轉化，將未知轉化為已知的解題模型，比如基本不等式模型、函數模型、二次方程模型、三角模型等.

波利亞指出：“拿一個有意義又不復雜的題目去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域.”本節內容是高三二輪關于“二元函數值域問題”的專題復習，由于是二輪復習，高三學生對二元函數值域問題已有一定的認知基礎，故從一個基本的問題1解法引入，根據解法中的數學思想方法歸納出通法，從而實現“一題多解”；再提出問題2，實現同類遷移、類比鞏固，實現“多題一解”.本節課的專題復習，學生思維參與，有比較，有發現，師生互動，重視思維碰撞，實現思維多元化、明了化，提高二輪專題復習效率，升華專題價值，對學生以后的相關問題的解決有較大幫助.