2016年廣東高考文科數學函數與導數問題教育價值分析與思考

作者簡介：龐進發，男，中學數學高級教師，教育碩士，現任廣東省東莞市東莞中學數學教師、數學科教研組長，兼任東莞市中學數學教研會副秘書長、華南師范大學校外兼職碩士專業學位導師. 2009年被評為東莞市優秀教師，2015年被評為廣東省南粵優秀教師，2013年被評為東莞市第三批學科帶頭人，2016年被評為東莞市高中名師工作室支持人. 2004年參加廣東省高中青年數學教師現場優質課評比獲省一等獎. 2016年主持課題《高中數學問題教育價值研究與實踐》獲市教育科研立項課題，還參與多項市級課題研究并獲獎，有多篇論文在省級以上發表以及獲市一、二等獎.

[摘 要] 數學問題解決的研究很多，而思考其教育價值的不多. 本文通過分析2016年廣東高考文科數學函數與導數問題，探討其中蘊含的教育價值：綜合體現數學核心素養、關注分析與解決問題的能力、體現多種數學思想方法，并提出函數與導數復習備考的啟示.

[關鍵詞] 數學問題；教育價值

期盼了一年，也研究了一年的廣東高考數學全國卷終于見面了，特別是2016年是新課改以來廣東省首次使用全國卷，高考試題自然成為教師們探討的熱點. 全國高考數學試題結構穩定，以主干知識為主線，突出對學生數學能力的考查，常規中顯新意，給中學的教學以及高三的備考指明了方向. 而教師們對高考試題的研究，更多的是停留在試題的特點、規律以及數學問題的解決上，思考其教育價值的不多. 本文筆者試探討2016年廣東高考文科數學試題（全國新課標（Ⅰ）卷或（乙）卷）（下面簡稱“試題”）中函數與導數問題的教育價值.

[?] “試題”再現

9. 函數y=2x2-e在[-2，2]的圖像大致為

[x][O][y][1][-2][2][x][O][y][1][-2][2][A. B.]

[x][O][y][1][-2][2][x][O][y][1][-2][2][C. D.]

12. 若函數f（x）=x-sin2x+asinx在（-∞，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是

21. 已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

函數與導數是高中數學主干知識之一，也是每年高考重點考查的內容之一. 第9題主要考查了函數的性質（偶函數、單調性）、函數的圖像（對稱性），考查了對函數的解析式、函數圖像的分析能力；第12題主要考查了函數的單調性、二次函數的圖像與性質、由函數的單調性確定參數的取值，考查了求導運算能力、換元法、數形結合法、逆向思維等；第21題主要考查了帶參數的函數單調性的判斷、函數的零點、參數取值的確定，考查了分類討論、數學結合的思想方法. 這三道試題都有一定的綜合性，是中高難度的問題，蘊含了豐富的教育價值.

[?] 綜合體現數學核心素養

數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展的人的關鍵能力和思維品質，是數學課程目標的集中體現，它是在數學學習的過程中逐步形成的. 數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析. 這些數學核心素養既有獨立性，又相互交融，形成了一個有機整體. “試題”中函數與導數問題，關注了學生數學核心素養的綜合體現.

例如，第9題函數y=2x2-e的自變量x的結構特征是x2和x，當自變量x取相反數-x時，函數值y相等，符合偶函數的定義，因此直觀可以判斷該函數圖像關于y軸對稱. 而四個選項的圖像都是關于y軸對稱，僅憑此不能做出選擇. 再從給出的數據進行分析：當x=2時，y=8-e2，通過估算可知y∈（0，1），這樣由圖像的直觀，可排除A和B選項. C和D選項的圖像的區別是函數y=2x2-e在區間[0，2]的變化趨勢，即單調性. 首先由函數y=2x2-ex直觀分析2x2在區間[0，2]上是增函數，而-ex在區間[0，2]上是減函數，沒辦法直觀判斷；接著可以嘗試對函數進行求導運算，通過判斷導函數的符號，從而得到函數的單調性，即y′=4x-ex，當0

0，

上是減函數，這樣就排除了C選項，最后剩下D選項為正確答案. 顯然，這道試題蘊含了邏輯推理、直觀想象、數學運算和數據分析等數學核心素養，是數學核心素養的綜合體現.

[?] 關注分析與解決問題的能力

課程標準指出，培養學生從數學角度發現和提出問題的能力，分析和解決問題的能力，這些能力的獲得是其自主學習、實現可持續發展的關鍵，評價對此應有正確導向[1]. 能力是通過知識的掌握和運用水平體現出來的，從而高考試題更多注重考查學生運用知識和方法的能力，分析和解決問題的能力. “試題”中函數與導數問題，涉及對函數相關的概念本質的理解、分析函數的基本方法以及解決函數問題的策略方法等.

例如，第12題已知函數f（x）=x-sin2x+asinx在（-∞，+∞）上單調遞增，確定a的取值范圍. 首先題目的條件涉及函數單調性的本質理解，即函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增就是自變量x增加時對應的因變量f（x）也在增加，從函數圖像上呈現出從左到右上升的趨勢，其導函數f′（x）的符號為非負數. 有了這些知識的理解，接著對函數f（x）的模型進行分析，即函數f（x）由兩類基本函數（一次函數與三角函數）組合而成，解決的思路就可以有兩個方向：①分別從一次函數和三角函數進行研究；②直接求導運算，運用導函數進行研究. 基于對函數f（x）的結構的直觀分析，聯想到函數x，x-sinx和x+sinx在（-∞，+∞）上都是單調遞增的，又由函數結構的對稱性可知函數x+asinx在（-∞，+∞）上單調遞增可猜測a∈[-1，1]. 現在f（x）多了一項，可猜想a的取值范圍是[-1，1]的真子集并且是關于原點對稱的區間，這樣就可以判斷C為正確選項. 通過直觀分析猜想到答案后，還需要嚴謹的推理. 首先對函數進行求導，再由函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增可得導函數f′（x）≥0恒成立，從而求出a的取值范圍. 解答如下：

由函數f（x）=x-sin2x+asinx在（-∞，+∞）上單調遞增，可得

f′（x）=1-cos2x+acosx=-cos2x+acosx+≥0在（-∞，+∞）上恒成立.

令cosx=t∈[-1，1]，則

g（t）=-t2+at+≥0在[-1，1]上恒成立.

結合二次函數圖像（如圖1）可得

g（-1）≥0，

g（1）≥0.

[t][O][y][1]

所以

-

-a+≥0，

-

+a+≥0，解得-≤a≤.

故a的取值范圍是

-，

.

[?] 體現多種數學思想方法

數學思想方法是數學的靈魂，引領數學問題的分析與解決，在數學學習中是至關重要的，同時也是高考考查的重點之一. “試題”中函數與導數問題，體現了多種數學思想方法的應用.

1. 分類討論的數學思想方法

所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象按某個標準進行分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答. 分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想[2]，這種思想對于簡化研究對象、發展學生的思維有著重要的作用. 同時分類討論的數學思想方法的應用也體現了學生邏輯推理、數據分析等數學核心素養. 因此，有關分類討論的數學問題在高考試題中占有重要地位. 而為什么要分類？分類討論的標準是什么？這是在分析問題中學生首先需要思考的問題.

“試題”第21題是導數的綜合應用問題，函數f（x）含有參數a，由于a的不同取值會影響函數f（x）的變化性態，因此要對a的取值進行分類討論. 通過對函數進行求導運算，發現a的取值影響了導函數f′（x）的零點個數以及零點的大小，即影響了函數f（x）的單調性，因此第（1）問討論f（x）的單調性，就是要對a進行分類討論. 由a的取值對函數f（x）的影響自然得到第一級的分類標準就是導函數f ′（x）的零點個數：有且只有一個零點時a≥0，有兩個零點時a<0；第二級的分類標準是在有兩個零點，即在a<0的情況下比較兩個零點x=1和x=ln（-2a）的大小，由此分為a<-，a=-， -

第21題詳細解答如下：

（1）函數f（x）的定義域為R.

f′（x）=（x-1）（ex+2a），令f ′（x）=0，則x=1或ex=-2a.

若a≥0，則ex+2a>0.

當x<1時， f ′（x）<0，則f（x）在（-∞，1）上是減函數；

當x>1時， f ′（x）>0，則f（x）在（1，+∞）上是增函數.

若a<0，則由ex=-2a，可得x=ln（-2a）.

當ln（-2a）=1，即a=-時，則f′（x）=（x-1）（ex-e）≥0恒成立.

所以， f（x）在R上是增函數.

當ln（-2a）<1，即-

當x>1時， f ′（x）>0，則f（x）在（1，+∞）上是增函數.

當ln（-2a）

當x0，則f（x）在（-∞，ln（-2a））上是增函數.

當ln（-2a）>1，即a<-時，則

當x>ln（-2a）時， f ′（x）>0，則f（x）在（ln（-2a），+∞）上是增函數；

當1

當x<1時， f ′（x）>0，則f（x）在（-∞，1）上是增函數.

綜上所述，當a≥0時， f（x）在（-∞，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數；

當-

當a=-時， f（x）在R上是增函數；

當a<-時， f（x）在（ln（-2a）+∞）和（-∞，1），上是增函數，在（1，ln（-2a））上是減函數.

（2）由（1）可知：

當a=0時， f（x）在x=1處取得的最小值f（1）=-e<0，

而當x<1時， f（x）=（x-2）ex<0恒成立，此時f（x）沒有兩個零點，不滿足題意.

當a>0時， f（x）在x=1處取得的最小值f（1）=-e<0，

又f（2）=a>0，所以f（x）在（1，+∞）上有一個零點.

又由x→-∞時，（x-2）ex→0，a（x-1）2→ +∞， f（x）→+∞，

所以f（x）在（-∞，1）上有一個零點.

所以f（x）在R上有兩個零點（如圖2）.

當a=-時， f（x）在R上是增函數，不符合題意.

當a<-時， f（x）在（ln（-2a），+∞）和（-∞，1）上是增函數，在（1，ln（-2a））上是減函數，

所以當x=1時， f（x）取得極大值f（1）= -e<0，

所以f（x）沒有兩個零點，不符合題意（如圖3）.

[x][O][y][1][a]

當-

f（ln（-2a））=[ln（-2a）-2]（-2a）+a[ln（-2a）-1]2=a[ln（-2a）-2]2+a<0，

所以f（x）沒有兩個零點，不符合題意（如圖4）.

[x][O][y][1][a]

綜上所述，a的取值范圍是（0，+∞）.

2. 數形結合的數學思想方法

數形結合即數形滲透，兩者相互推進，層層深入，這樣就能使復雜問題簡單化，抽象問題直觀化，是中學數學中常見的解題思想和方法，經常應用在研究函數、解析幾何等問題中. 在應用數形結合思想方法時往往體現了數學模型建構、直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養.

“試題”第21題第（2）問由函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點等價于方程（x-2）ex+a（x-1）2=0有兩個不同的實數根，然后變形可得a=-，再建構兩個函數y=a與g（x）=-，這樣函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點就等價于函數y=a與g（x）=-的圖像有兩個公共點，然后畫出函數g（x）的圖像，結合圖像從而得出實數a的取值范圍. 這樣通過分離參數轉化為兩個函數圖像公共點的問題，避免了對實數a進行復雜的分類討論，同時圖像直觀，非常容易得出答案. 從高考答卷反饋的情況分析，大部分考生選擇了這種方法.

第21題第（2）問另解：

由（x-2）ex+a（x-1）2=0，可得x≠1，

所以a=-.

令g（x）=-，

則函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點等價于函數y=a與g（x）的圖像有兩個公共點.

g′（x）=-=-，

所以，當x>1時，g ′（x）<0，g（x）在（1，+∞）上是減函數；

當x<1時，g ′（x）>0，g（x）在（-∞，1）上是增函數.

又因為，當x→1時，g（x）→+∞；

當x<1時，g（x）>0，當x→-∞時，g（x）→0；

當10；

當x=2時，g（x）=0；

當x>2時，g（x）<0，當x→+∞時，g（x）→ -∞；

所以，函數g（x）的圖像如圖5所示，

[x][O][y][1][y=a]

圖5

當a>0時，函數y=a與g（x）圖像有兩個公共點，即函數f（x）有兩個零點.

故實數a的取值范圍為（0，+∞）.

[?] 對函數與導數復習備考的啟示

2016年“試題”以“兩小一大”的題型對函數與導數進行了比較全面的考查，關注導數及其應用，側重考查利用導數研究函數圖像的性態，重視對函數的圖像與性質問題的考查，這也給2017年高考文科數學復習備考給出了啟示.

1. 理解函數與導數相關概念的本質

對于函數與導數，全國卷往往以函數概念、定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、周期性、極值、最值、函數的零點等基本知識為載體，考查學生多種數學能力. 這啟發我們在進行復習時要注重研究課標與考綱，鉆研教材，深刻感受概念、方法的形成過程，深入挖掘函數與導數相關概念的本質，打好解決相應數學問題的知識與方法基礎[3]. 如函數的概念形成過程在教材中是通過三個例子（分別是函數解析式、圖像、表格三種形式表示的函數模型），從不同的視角讓學生抽象概括它們的共同特征：兩個集合中元素的唯一對應關系，即對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系“f”，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應. 這也是函數概念的本質，是建構函數模型的依據，不管是x與y，還是a與b，只要滿足這樣的唯一對應，就可以把它們看成是一個函數模型，然后用函數的思想方法解決相應的問題. 函數的概念本質是自變量x與因變量f（x）唯一對應關系，然而函數的奇偶性與周期性的本質是自變量x與因變量f（x）的等量關系（如f（-x）=f（x），f（-x）= -f（x），f（x+T）=f（x）），函數的單調性的本質是自變量x與因變量f（x）的不等關系（如x1

2. 以函數與導數的核心概念建構知識網絡

函數與導數的概念比較多，而在高考復習中如何圍繞函數與導數的核心概念把它們聯系起來，形成一個知識網絡，這對于學生理解相關概念，提高邏輯思維能力，從而提高復習的效率，都有重要的作用[4]. 函數與導數的諸多概念主要是以函數的概念、函數的單調性、函數的零點為核心進行研究的，特別是函數的單調性最為核心. 研究函數問題，就是研究函數的變化規律，研究函數的單調性，其中函數的奇偶性、周期性都是起到簡化研究函數過程的作用. 函數的零點是建立函數與方程、函數與不等式、函數與圖像的聯系的重要知識，在研究函數的極值點、方程的根、不等式的邊界以及函數圖像與x軸交點等問題時，通常都可以轉化為研究函數零點的問題. 也就是說，在高三函數與導數的復習中以建立函數模型，研究函數的單調性、函數的零點為核心，可以很好地幫助學生建構相關的知識方法網絡.

3. 以函數與導數問題培養學生的數學核心素養

全國高考對函數與導數的綜合題考查重在對函數與導數知識理解的準確性、深刻性，重在與方程、不等式相關知識的聯系，要求考生具備較高的數學建模、邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養. 因此在高考復習中除了梳理知識概念、建構知識網絡外，還要分析函數與導數問題的教育價值，選擇合適的問題，以問題為驅動，培養學生的數學核心素養.

例如，2016年全國新課標（Ⅱ）文科數學第12題：已知函數f（x）（x∈R）滿足f（x）=f（2-x），若函數y=x2-2x-3與y=f（x）圖像的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則xi=（ ）

A. 0 B. m

C. 2m D. 4m

該題主要考查了函數圖像的對稱性、絕對值函數及其圖像、抽象函數、數形結合等知識方法. 函數f（x）沒有具體的解析式，通過對f（x）=f（2-x）進行推理，得出函數f（x）的圖像關于x=1對稱. 再由函數y=x2-2x-3可知，該函數圖像也關于x=1對稱并畫出其圖像，同時也嘗試畫出函數f（x）的圖像. 最后通過直觀分析、推理，利用中點坐標公式，得出xi=×2=m. 因此通過這個問題，可以培養學生邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養.

4. 以函數與導數問題提高學生分析、解決問題的能力

分析和解決問題的能力是衡量學生掌握數學知識與方法水平的標準之一[5]，也是高考重點考查的能力之一，對于學生數學核心素養的培養也非常重要. 函數與導數的復習應以問題為載體，教會學生分析問題、解決問題的基本思路. 一般地，首先對函數模型結構進行分析，直觀分析其整體性質（定義域、奇偶性、對稱性和周期性等）、局部性質（單調性、特殊點和函數值符號等），然后根據解決問題的需要考慮是否需要建構新的函數模型，接著利用導數分析函數的變化性態，畫出函數圖像，最后結合函數圖像以及推理解決相應的問題.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（實驗）[S]. 北京：人民教育出版社，2003.

[2] 何小亞. 與新課程同行：數學學與教的心理學[M]. 廣州：華南理工大學出版社，2003，6.

[3] 章建躍，陶維林. 概念教學必須體現概念的形成過程[J]. 數學通報，2010，1.

[4] 劉秀湘. 在穩定中注重數學概念和思維的考查[J]. 中學數學研究，2014，8.

[5] （美）G·波利亞著，涂泓，馮承天譯. 怎樣解題[M]. 上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007，5.