重視分類討論，讓初中生數學邏輯更清晰

張國華

(江蘇省張家港塘市初級中學，江蘇 蘇州 215600)

重視分類討論，讓初中生數學邏輯更清晰

張國華

(江蘇省張家港塘市初級中學，江蘇 蘇州 215600)

在初中總復習階段中，數學教師青睞于評講各屆有價值的中考試題來提升學生的綜合解題能力.但在前期教學過程中，建立正確的數學思想才是初中生的根本學習任務，因此本文結合具體實例，就“分類討論”這一思想進行了詳細的分析與探討，望各位同行能有所借鑒.

初中數學；分類討論；思維敏捷

在初中數學教材中，將分類討論思想作為解題突破口的題目十分常見，足以說明此方法的重要性.分類討論是對一實際問題進行分解，使之成為2-3個新的小問題，這種方法對初中生的數學學習非常實用.它的實質其實是“化整為零，各個擊破，再積零為整”，考驗的是學生對一道數學題目的整體剖析能力以及邏輯思維能力.

一、從概念、性質及公式的限制條件角度進行分類討論

在初中數學教學過程中，最基礎的分類討論思想體現在數學概念、性質、定理以及數學公式自身攜帶的限制性條件這幾個方面.比如實數R中，可通過“比較絕對值是否大于其本身”將這一集合劃分為三大部分，分別為負數部分(lt;0，絕對值小于其本身)，零(0)，正數部分(gt;0，絕對值與其本身相等)，所以在接觸與絕對值相關的題目時，必須要進行分類討論.另外，初中數學中一些定理、公式也有固定的適用范圍，因此學生須從最基本的內容出發，掌握分類討論的原理.

二、根據數學運算的要求展開分類討論

作為一種實用的解題思想，分類討論本身也具有一定的嚴密性與復雜性，因此我們必須通過例題講解來讓學生親身體會如何運用分類討論解決一類題目.在教學的過程中，教師要著重強調分類討論思想的重要性，通過加強的練習，提升學生的思維邏輯連貫能力，同時培養起學生對數學的學習興趣.

例如：初中數學中涵蓋了很多分類討論的知識點，根據數學運算的要求展開討論便是其中的一部分.比如一個數的偶次方根一定非負、奇次方根要根據原值進行討論、不等式兩邊同時乘以一個新的數會不會對不等號的方向產生影響等等.在下面一道例題中，分類討論的思想極其重要：請解下列不等式ax+4gt;2x+a+1.首先看到這道題目時，我們要進行分析，因為不等式中有字母，并非全是常數，因此解題難度有所增加.再者，第一個步驟是移項，不等式變為(a-2)xgt;a-3.很多學生解到這一步便束手無策，甚至有學生的答案直接寫為xgt;(a-3)/(a-2).無論是上述哪種錯誤，都能夠說明這些同學沒有建立起分類討論的思想，因此在解決此類題目時比較吃虧.教師必須要引導學生根據不等式特性，將(a-2)xgt;a-3分情況討論：Ⅰ：a-2gt;0；Ⅱ：a-2=0；Ⅲ：a-2lt;0分別求解不等式，當然在求解的過程中要注意區分是小于號還是大于號.

在進行數據運算的過程中，教師著重凸顯分類討論的意義就在于提高學生計算的正確率，有助于他們邏輯思維的拓展與聯系，分類討論證明學生可以進行多維度地考慮問題，因此更提升了解題的熟練程度，提高了初中生的實際解題能力.

三、由幾何圖形的性質確定分類討論

在求解圖形面積或是周長等問題中，教師要教會學生學會結合幾何圖形的特點及性質考慮不同種的可能性，因為多個幾何圖形堆積在一起可能會導致學生眼花繚亂，這樣一來解題時容易思緒混亂，若少考慮一種情況便會造成失分的后果.為了避免這種現象的發生，分類討論的思想應運而生，尤其是在填空題中，很多學生會形成“填空題只可能有一種答案”的思維定式，若教師不幫助學生培養分類討論的思想則會適得其反.

例如：針對幾何圖形類的問題，學生的空間想象能力一定要及時地樹立起來，因此教師要在平面亦或是空間圖形講解的時候，恰當地應用分類討論的思想，將題目分解為不同種類的問題，化繁為簡.下面有一道填空題正是運用了分類討論的思想進行解題的，讓我們舉例分析一下.題目如下：一個等腰三角形△ABC，其中有兩邊長分別為4cm、6cm，求三角形的周長.答題不周到的同學會認為這題很簡單，殊不知其中隱藏了陷阱.本題中，未說明4cm與6cm那條長為腰或者底，因此有待進行分類討論.1)當三角形的腰為4cm、底為6cm時，那么三角形的周長C的算法應該是4+4+6=14(cm)；2)當6cm是三角形的腰，而4cm是三角形的底時，三角形的周長為4+6+6=16(cm).但要注意一點的是我們還要在分類討論時候考慮三邊是否能夠構成三角形，這樣才是解題的全部過程.

四、根據函數的性質進行分類討論

函數是初中數學的主攻方向之一，因此教師在教學函數時，要幫助學生掌握盡可能多的思想方法，才能確保學生日后在應對與函數相關的題目時信心倍增.分類討論在函數教學時有著舉足輕重的作用，它可以將復雜的函數題分解為簡單的正比例函數進行解題，但是往往在分類討論的過程中學生很容易考慮不周全，所以教師一定要時常在函數教學中融入分類討論的思想.

例如下面給出一道典型例題：若將一次函數y=kx-k與反比例函數y=k/x畫在同一直角坐標系內，討論其圖象經過的象限有幾種可能？這道題中的“討論”已給了學生明顯的暗示——分類討論.但是教師在講解題目的過程中仍需要循循善誘.

師：拿到這條題目，首先你們得界定一次函數與反比例函數的定義，然后分析題目，k值我們不確定，應該如何解題呢？

生1：k值相當于系數，正因為其值不確定所以函數的圖象也不確定，所以我認為函數圖象會有多種可能.

接下來教師可給予一些提示.

師：接下來我們分情況進行討論.當kgt;0時，誰可以告訴老師一次函數與反比例函數分別有何特點？

生2：kgt;0，一次函數的系數為正，所以它遞增，又因為它恒過(1，0)這一點，所以該函數經過第一、三、四象限.

生3：kgt;0時，反比例函數只可能經過第一、三象限.

經過以上的誘導，學生能夠一步一個腳印地跟隨教師考慮出kgt;0時兩個函數圖象分別會出現在哪幾個象限中，然后舉一反三得出klt;0時的情況.

在初中數學課堂中，教師要注意將分類討論的思想潛移默化地滲透于日常教學里.分類討論訓練可以讓初中生的數學邏輯思維更加清晰，因為只有按照規定的順序才能保證題目解答沒有漏洞.分類討論思想貫穿于整個初中數學教學生涯，充分發揮這一思想的優越性可以幫助學生將復雜的問題簡單化，有助于學生形成縝密的數學思維，進而提高學生數學學習能力，促進學生更好地學習發展.

[1]沈國平.分類討論思想在數學教學中的應用[J].語數外學習(數學教育)，2013.

[2]楊懷宏.分類討論思想在初中數學中的應用[J].數學大世界(初中生適用)，2010.

[3]李清.分類討論思想在初中數學教學中的滲透探究[J].中華少年：研究青少年教育，2012.

[責任編輯：李克柏]

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1008-0333(2017)26-0042-02

2017-07-01

張國華(1980.2-)，男，江蘇省蘇州人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學.