利用數學模型“點到圓的最值距離”來研究動點最值問題——數學解題策略剖析

馮 麗

(江蘇省蘇州市相城區太平中學，江蘇 蘇州 215000)

利用數學模型“點到圓的最值距離”來研究動點最值問題——數學解題策略剖析

馮 麗

(江蘇省蘇州市相城區太平中學，江蘇 蘇州 215000)

動點問題常與幾何圖形相結合，解決此類問題要靈活運用這些圖形的特殊性質. 利用點圓的最值距離來研究動點問題，這個點可以是在圓外，圓上，圓內.不管點在哪里，只要該點連接圓心并延長，與圓有兩個交點，該點與遠交點的距離就是最大值，與近交點的距離就是最小值，以此來構造數學模型解決動點最值問題.

動點；模型；距離；最大值；最小值；圓；直角三角形

動點問題常與幾何圖形相結合，解決此類問題要靈活運用這些圖形的特殊性質， 解決這類問題時，不管是點動、線動、圖形動都要發揮自己的想象力，不被“動”所迷，應在“動”中求“靜”，把問題變成靜態問題解決，要注意在運動中探究問題的本質，發現變量之間的互相依存關系.

教學中，教材教學的背景初中的教材中并沒有對動點問題進行獨立的章節介紹,更多的是要依靠學生根據自身已有的知識及對知識的靈活應用的基礎上,對相關問題進行思考解決.利用點圓的最值距離來研究動點問題，便于學生快速掌握解題方法，這個點可以是在圓外，圓上，圓內，不管點在哪里，只要該點連接圓心并延長，與圓有兩個交點，該點與遠交點的距離就是最大值，與近交點的距離就是最小值，以此來構造數學模型解決動點最值問題.如表所示：

點的位置數學模型點到圓的最大值點到圓的最小值點P在圓外BPAP點P在圓上BP就是直徑的長度AP=0點P在圓內BPAP

總結：通過數學模型可以發現P,A,B連線經過圓心，點P可以在圓外、圓上、圓內，連接PO并延長交圓點A和點B，點A與點P近，AP就是點到圓的最小距離|PO-r|，點B與點P遠，BP就是點到圓的最大距離PO+r,利用這一數學模型來構造圓求兩點的最值問題.運用如下：

第一類：已知圓，利用點到圓的最值距離來研究動點最值問題

(1)單動點問題

例1 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點D，P是 弧CD上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是____．

分析點A在圓外，點P在圓上，要使AP最小，取圓心O,連接圓心O與點A,OA與圓的交點就是點P.AP的最小值=AO-r.

總結：本道題是典型利用點圓關系來求最值問題.P是圓上的動點，A是圓外的定點，利用模型來求最小值，當然延長AO交圓另一點P′，AP′是最大值AO+r.

(2)雙動點問題

例2 如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以邊AB的中點O為圓心，作半圓與AC相切，點P，Q分別是邊BC和半圓上的動點，連接PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是多少？

分析Q在半圓上運動，P在圓外的線段上運動，不管是求PQ的最大值還是最小值，都要連接PO，此時P,Q,O三點一線，最小值時Q的位置就是PO與圓的交點，最小值就是PO-r.最大值時Q的位置就是延長PO到圓的交點，此時最大值就是PO+r.

如圖(1)，要使PQ最小，則PO就要最小，在P運動過程中，當PO⊥BC時，PO最小.半圓與AC相切，∠ADO=90°，又在△ABC中AB=10，AC=8，BC=6，根據勾股定理的逆定理，可得∠C=90°，所以OD∥BC，O為AB的中點，平行得相似，半徑OD=3,OP=4,

所以此時PQ的最小值就是4-3=1.如圖(2)，此時P與B重合，PQ最大，PQ=BO+OQ=5+3=8

綜合以上兩種情況，則PQ長的最大值與最小值的和是8+1=9.

總結：本題利用模型來解決問題，但本道題是雙動點問題，圓外的點在動，圓上的點也在動，具體做法圓外動點P連接圓心O來尋找圓上動點Q, 不被“動”所迷，應在“動”中求“靜”,在連接PO中，O就是“靜”，P是“動”，PO最小，只有當PO⊥BC時，PO最小.PQ最大值的求法也是借助上述模型，P運動到與點B重合，來確定點Q,以此來解決問題.

(3)三動點問題

例3 如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動點，則PE+PF的最小值是____．

分析點P在圓外，點E,F分別在兩個圓上，要使PE和PF最小，必須AE和BF兩條線段交CD于同一點，該點就是點P.由題意可知菱形ABCD，∠A=60°，所以當P與D重合時，E點在AD上，F在BD上，此時PE+PF最小.

解連接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD.

∴△ABD是等邊三角形. ∴BD=AB=AD=3.

∵⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，

∴PE=1，DF=2.

∴PE+PF的最小值是3．

總結： 本題是三動點問題，比上面兩題要難，但我們在解題時還是不被“動”所迷，應在“動”中求“靜”，利用模型，抓住模型中的“靜”，兩個圓心點A點B是不動點，圓外點P.連接PA和PB來確定E,F,只有D與P重合時，符合題意要求.

第二類，通過Rt△來構造圓，利用點到圓的最值距離來研究動點最值問題

(1)利用Rt△來構造圓來解決單動點問題

例4 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，在△ABC內部以AC為斜邊任意作Rt△ACD，連接BD，則線段BD長的最小值是多少？

分析抓住Rt△ACD，且點D為直角頂點，以AC為直徑構造圓，且點D在圓上，點B在圓外，當B,D,O三點共線時此時BD的長度最小.

解由題意可知，圓周角為90 °所對的弦是直徑.取AC的中點O,CO為半徑作圓，連接BO交圓于點D，此時BD最短.

∵O為AC中點，

∴CO=AO=3.

∴BD=BO-OD=5-3=2.

總結：在動態問題中尋找靜態點B,動態點D，點D不管怎么動，△ACD始終是以D為直角頂點的Rt△，以此我們就可以構造AC為直徑的圓，且點D在圓周上.利用模型來求點圓的最小值.

(2)利用Rt△來構造圓解決雙動點問題

例5 如圖,∠MON=90°,在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5.若△ABC的頂點A,B分別在OM,ON上,當點B在ON上運動時,點A隨之在OM上運動,且△ABC的形狀和大小保持不變,則運動過程中點C到點O的最大距離為____.

分析因為∠MON=90°，所以以AB中點D為圓心，OD為半徑作圓.此時就是求點C到圓的最大距離.在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，根據勾股定理的逆定理可知∠C=90°.點A,O,B,C四點共圓，點C到點O的最大距離就是直徑.∠MON=90°，AB就是直徑5.所以點C到點O的最大距離為5.

總結：本題是雙動點問題，點A和點B分別在OM,ON上運動，但不變的是△AOB始終是以AB為斜邊的Rt△，通過Rt△AOB來構造圓，本題有特殊性，∠ACB=90°，點C在圓周上，利用模型來求最大值,在圓中最大的弦是直徑.

動點問題所涉及的知識是相當廣泛的,對于不同的知識點都可以衍生出不同類型的動點問題，它對學生的知識水平也是有相對較高的要求,同時對學生的思維有著較高的要求,它體現了學生綜合應用知識能力的水平.但對動點問題的進一步探究,將對中學生探究欲望的激發、課堂教學水平的提升都起著至關重要的意義.

[1]關于“動點問題”的基本剖析.論文網,2012.5.

[2]劉永智.一動點問題的多種求解思路分析[J].中學數學,2015.

[責任編輯：李克柏]

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1008-0333(2017)26-0002-03

2017-07-01

馮麗(1980.07- )，女，江蘇蘇州人，中學一級教師 ，本科，從事初中數學教學．