高中數(shù)學(xué)中一元二次不等式解題技巧及需注意的問題

湖南省湘潭縣第一中學(xué)(411100)

譚曉鵬●

高中數(shù)學(xué)中一元二次不等式解題技巧及需注意的問題

湖南省湘潭縣第一中學(xué)(411100)

譚曉鵬●

高中數(shù)學(xué)中一元二次不等式是重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是最為基礎(chǔ)的內(nèi)容，高中生在練習(xí)一元二次不等式解題時，應(yīng)當(dāng)注重解題技巧的培養(yǎng)，鍛煉自己解題的速度和準(zhǔn)確性，能夠在最短的時間內(nèi)找到解題思路，讓解題成為一種慣性的思維方式，同時要注意解題中容易犯錯的地方，規(guī)避存在的解題陷阱，提高自身的數(shù)學(xué)修養(yǎng).

高中數(shù)學(xué)；一元二次不等式；解題技巧

一、不等式在高中數(shù)學(xué)中的重要意義

一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)教材的必修內(nèi)容，也是解決其他數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)工具，不等式內(nèi)容的綜合性較強(qiáng)，不等式直接反映了客觀事務(wù)的數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的重要部分，一元二次不等式是研究高中數(shù)學(xué)的必備知識，在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中占據(jù)著重要地位.再者不等式知識和函數(shù)、方程及三角函數(shù)等有密切的聯(lián)系，在研究函數(shù)定義域時常用到不等式的概念，在方程組求解中也會遇到不等式求解問題，一元二次不等式常用于判別方程根存在與否，以及空間線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系等，同時在概率范圍判別中應(yīng)用頻率較高，因此一元二次不等式和數(shù)學(xué)中集合、函數(shù)、方程、數(shù)列、解析幾何及立體幾何等知識點(diǎn)交叉，因此，一元二次不等式解題對于我們高中生而言至關(guān)重要.

二、一元二次不等式解題技巧及注意事項(xiàng)分析

1.不等式和線性規(guī)劃結(jié)合

在關(guān)于一元二次不等式的高考題目中，和線性規(guī)劃結(jié)合的題目較為常見，其考查的內(nèi)容包含了不等式最值求解、定義域界定、區(qū)間面積計算等，一旦對于不等式和線性性質(zhì)把握不準(zhǔn)確，就會造成解題出現(xiàn)錯誤.例如在例題中，不等式組y≤-x+2；y≥kx+1；x≥0，所表示的區(qū)域面積等于1，求解k的值.這類問題是通過不等式范圍界定來求解不等式中的未知參數(shù)，對于這類題目的解答，首先要對不等式組中的定量區(qū)間進(jìn)行劃分，根據(jù)三條直線設(shè)計所圍成的三角形示意圖來界定區(qū)域面積.這種問題的解題技巧的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確界定區(qū)域面積，理解題目的幾何意義，同時要從題目要求來反推不等式區(qū)域，從目標(biāo)函數(shù)入手，根據(jù)圖形的動態(tài)變化分析來準(zhǔn)確定位相關(guān)變量，從而求解出題目要求的參數(shù)值.

2.觀察推理論證求解不等式

觀察推理論證是求解不等式的技巧之一，利用推理論證可以讓我們更加深入了解不等式中數(shù)形結(jié)合的解題方法，提高我們對于不等式解題的思維認(rèn)知.通過觀察和推理能夠掌握不等式推導(dǎo)的過程，由圖象找到一元二次不等式和幾何圖形的銜接點(diǎn).例如對于高次不等式解題，往往會忽略了特殊區(qū)域以及不等函數(shù)升降，這是我們需要注意的解題陷阱，例如

求(x+3)(x-2)(x-4)≤0解集.這個問題的解題思路是建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，在數(shù)軸坐標(biāo)中標(biāo)出方程的零點(diǎn)x=-3，2，4，將數(shù)軸分為4個區(qū)間范圍，對區(qū)間取值的正負(fù)進(jìn)行標(biāo)記，最右的第一區(qū)間為正，以后正負(fù)相間，從而得出不等式的解集，這種求解方式可以快速得出解題答案，避免陷入繁瑣的計算中.

3.參數(shù)不等式和絕對值不等式

含參數(shù)的一元二次不等式是常見的題目，對于不等式中的參數(shù)要進(jìn)行分類討論，在不同的參數(shù)取值區(qū)間內(nèi)進(jìn)行計算，避免漏掉解題結(jié)構(gòu).例如解關(guān)于x的不等式ax2-2x+1>0(a為常數(shù)，a∈R).此題要分情況來討論，分別是a=0、a>0和a<0三種情況，同時在a≠0時還要區(qū)分Δ的值.對于絕對值不等式的求解，要采用同解變形的解題方法，對多個絕對值的不等式，一般可用零點(diǎn)分段法求解，但利用實(shí)數(shù)絕對值的幾何意義求解較便捷，對于最值問題也可以考慮絕對值三角不等式.核心思想是“想方設(shè)法”將其轉(zhuǎn)換成不含絕對值的式子求解.

4.不等式恒成立的解題技巧

對于不等式恒成立的問題，這種題目的考點(diǎn)側(cè)重于結(jié)合不等式、函數(shù)導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值并研究函數(shù)的單調(diào)性.解答此類題型往往采取分離變量或適當(dāng)變形，或變換主元，或構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式進(jìn)行求解.最值問題常常轉(zhuǎn)化成利用基本不等式求解，同時在轉(zhuǎn)化不等式中要注意不等式不等號的方向.

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)一元二次不等式學(xué)習(xí)中，我們要深入分析每一個題目的解題要求，并根據(jù)題目來選擇合適的解題方法，注重不等式中隱藏的條件，將不等式和線性規(guī)劃結(jié)合在一起，強(qiáng)化對參數(shù)不等式和絕對值不等式題目練習(xí)，逐步熟悉這一類問題的解題方法，通過反復(fù)練習(xí)固化解題技巧，規(guī)避可能出現(xiàn)的解題陷阱，提高解題準(zhǔn)確性.

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[2]王禮麗.絕對值不等式的解法綜述[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2012(04)

[3]張惠淑.高中數(shù)學(xué)不等式高考試題分析與教學(xué)策略研究[J].數(shù)學(xué)教育，2013(18)

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