融合創(chuàng)新 追尋滲透 夯實(shí)數(shù)學(xué)高效課堂

戴昌虎

新課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)教學(xué)中的“雙基”發(fā)展為“四基”，在要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的基本思想以及積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，將學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本思想的學(xué)習(xí)提升為課堂教學(xué)的主要目標(biāo)之一。那么根據(jù)“四基”要求，教師在數(shù)學(xué)課堂上應(yīng)如何做到基礎(chǔ)知識(shí)技能以及基本思想的兼顧，既注重基礎(chǔ)知識(shí)的傳授和基礎(chǔ)技能的訓(xùn)練，又能在課堂內(nèi)容中有效滲透基本的數(shù)學(xué)思想呢？

一、有效融合，引領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的方方面面，包括數(shù)學(xué)概念、公式與定理、普適規(guī)律、數(shù)學(xué)方法和模型等等。因此，在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)在講授這些方面的知識(shí)時(shí)，有意識(shí)地融合其中一些基本的數(shù)學(xué)思想，以此達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

例如，解決平面幾何圖形的面積計(jì)算問(wèn)題就經(jīng)常會(huì)用到化歸等基本的數(shù)學(xué)思想，以小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)的《平行四邊形和梯形》這一章節(jié)為例，通過(guò)介紹平行四邊形面積的計(jì)算方法來(lái)讓學(xué)生初步體驗(yàn)化歸的數(shù)學(xué)思想。首先，筆者用手邊的四支筆作為道具，擺成了一個(gè)長(zhǎng)方形的樣子，并假設(shè)該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為12cm，寬為8cm，學(xué)生根據(jù)原有的知識(shí)儲(chǔ)備能夠快速計(jì)算出長(zhǎng)方形的面積。

接著，筆者將長(zhǎng)方形拉伸成為一個(gè)對(duì)邊分別平行的平行四邊形，問(wèn)道：“那么大家想想長(zhǎng)方形變成平行四邊形之后，面積變成了多少平方厘米呢？用什么方法可以計(jì)算得到平行四邊形的面積呢？”不少學(xué)生運(yùn)用知識(shí)關(guān)聯(lián)的意識(shí)，認(rèn)為平行四邊形的面積計(jì)算也應(yīng)該與長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法一致，即底邊與鄰邊相乘。而有的學(xué)生則思考得更為深入，認(rèn)為平行四邊形的面積=底邊×高。這時(shí)筆者開(kāi)始引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步分析：“大家對(duì)平行四邊形的面積計(jì)算方法有不一樣的觀點(diǎn)，那么請(qǐng)大家想想能夠用什么方法來(lái)證明自己的猜想呢？”有學(xué)生認(rèn)為可以通過(guò)在紙上進(jìn)行實(shí)際畫圖和測(cè)量的方法計(jì)算面積并對(duì)比結(jié)果。

于是，學(xué)生根據(jù)自己的觀點(diǎn)分為兩組，分別對(duì)自己的猜想進(jìn)行驗(yàn)證，在實(shí)際畫圖過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“平行四邊形的面積=底邊×鄰邊”這一猜想是不成立的，而持有另一種觀點(diǎn)的學(xué)生通過(guò)對(duì)平行四邊形的剪裁和拼接，將原有的平行四邊形拼接成一個(gè)長(zhǎng)方形后，成功計(jì)算出了平行四邊形的面積。在此過(guò)程中成功探索出平行四邊形與長(zhǎng)方形之間存在的正確關(guān)系，即經(jīng)過(guò)拼接的平行四邊形，底邊與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)度相等，高與長(zhǎng)方形的寬度相等。因此，學(xué)生很快得出結(jié)論：平行四邊形的面積是底邊長(zhǎng)度與高的乘積。在學(xué)生自主驗(yàn)證猜想的過(guò)程中，親身體驗(yàn)了平行四邊形面積計(jì)算公式的正確推導(dǎo)方式和過(guò)程，也初步接觸到了化歸這一基本的數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生未來(lái)學(xué)習(xí)其他定理奠定了良好的基礎(chǔ)。

二、有效追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)理念

教師在完成數(shù)學(xué)思想的講授之后，還應(yīng)提出新的問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生將新學(xué)的數(shù)學(xué)思想真正運(yùn)用到解決問(wèn)題的具體過(guò)程中去，這樣學(xué)生才能更加深刻和全面地理解該思想的精髓所在，從而學(xué)會(huì)將基本的數(shù)學(xué)思想更靈活地運(yùn)用到其他問(wèn)題的解決過(guò)程中。因此，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全方位的思考和多次嘗試，以此來(lái)鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，獲得更多感悟。

例如，筆者在教學(xué)“雞兔同籠”之一“課堂拓展”內(nèi)容時(shí)，先出示了《孫子算經(jīng)》中的原題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？”大多數(shù)學(xué)生在看到這樣一道實(shí)際應(yīng)用題時(shí)都感覺(jué)找不到解題的突破口。于是筆者通過(guò)提問(wèn)的方式向?qū)W生了解解決這個(gè)問(wèn)題存在的困難。于是，教師提問(wèn)：“大家有什么好方法可以解決同學(xué)們提出的困難呢？”部分學(xué)生認(rèn)為首先應(yīng)該將題意讀懂，其次可以將題目中的數(shù)值合理改小，再研究其普遍規(guī)律。這兩種方法均是可行的，因此教師要給予學(xué)生以肯定和表?yè)P(yáng)。

接著，筆者再通過(guò)引導(dǎo)來(lái)突出數(shù)學(xué)思想在這里發(fā)揮的作用：“將條件數(shù)值改小，就意味著將題目簡(jiǎn)單化，通過(guò)對(duì)更簡(jiǎn)單的‘雞兔同籠’問(wèn)題的規(guī)律探究，再將此規(guī)律運(yùn)用到數(shù)據(jù)更復(fù)雜的問(wèn)題中，這是非常好的一個(gè)數(shù)學(xué)方法。”由此，“化繁為簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)思想在這里就順其自然地體現(xiàn)出來(lái)了。根據(jù)學(xué)生想出的方法，筆者對(duì)原題中的數(shù)值進(jìn)行了合理的改編：“雞兔同籠，一共有5個(gè)頭和16條腿，請(qǐng)問(wèn)籠子中的兔子和雞各有多少只呢？”

學(xué)生各自運(yùn)用不同的方法解出了答案，有按照一定順序列表枚舉的方法，還有運(yùn)用假設(shè)籠中全為雞或全為兔子的極端假設(shè)法來(lái)求出實(shí)際雞兔的數(shù)量，基礎(chǔ)較好的學(xué)生則想到通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。大部分學(xué)生都通過(guò)自己的方法算出了簡(jiǎn)化后的問(wèn)題結(jié)果。這時(shí)筆者再次呈現(xiàn)出原題，讓學(xué)生根據(jù)自己發(fā)現(xiàn)和總結(jié)出的規(guī)律解決數(shù)字更加復(fù)雜的題目，很多學(xué)生都能將此類題目做的得心應(yīng)手了。因此，只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷探究規(guī)律和解決問(wèn)題的過(guò)程，才能從更深的層次領(lǐng)悟到枚舉、假設(shè)和轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學(xué)理念的精髓。

三、有效創(chuàng)新，引發(fā)學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

創(chuàng)新和感悟數(shù)學(xué)思想的最終目的是為了能夠?qū)W會(huì)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)思想。因此，教師在實(shí)際教學(xué)中，不僅要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體問(wèn)題體驗(yàn)和感悟數(shù)學(xué)思想，還要引導(dǎo)學(xué)生在每一次解決問(wèn)題時(shí)都能運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到進(jìn)一步發(fā)展。

例如，在教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》時(shí)，為了讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”這一數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用，筆者首先設(shè)計(jì)了這樣一道略有挑戰(zhàn)性的題目：先在課件上給出一個(gè)大正方形，將大正方形分成了16個(gè)小正方形，并涂上紅、黃、藍(lán)三種顏色，其中紅色占3格，黃色占5格，藍(lán)色占6格，要求學(xué)生說(shuō)出這三種顏色分別占大正方形的幾分之幾。對(duì)于剛剛接觸分?jǐn)?shù)這一概念的學(xué)生來(lái)說(shuō)，此題具有一定難度。因此筆者讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，裁剪出一個(gè)大正方形紙片進(jìn)行折疊，首先讓學(xué)生將正方形對(duì)折，提問(wèn)：“對(duì)折之后紙片被分成了幾個(gè)部分呢？”學(xué)生都能答出是“兩部分”，接著筆者要求學(xué)生將對(duì)折后的紙片再對(duì)折后展開(kāi)，這時(shí)學(xué)生數(shù)出四部分……這樣通過(guò)連續(xù)對(duì)折與展開(kāi)的過(guò)程學(xué)生逐步確定紙片被分成幾部分，從而了解的概念。這時(shí)，再將目光收回到課件上這個(gè)大正方形中，筆者繼續(xù)引導(dǎo)：“同學(xué)們手中的正方形已經(jīng)被分成了16個(gè)部分，也就是16個(gè)小正方形，其中一個(gè)小正方形占大正方形的，那么兩個(gè)小正方形占大正方形的幾分之幾呢？”學(xué)生很容易就能回答出“”，“那么我們看，這張圖片上的格子總數(shù)是多少呢?其中紅色占了多少格？我們可以用什么數(shù)字來(lái)表示呢？”學(xué)生經(jīng)過(guò)剛才折紙的聯(lián)想，說(shuō)出了正確答案，即“”，黃色和藍(lán)色的格子也不難用數(shù)字表示了。

除了數(shù)形結(jié)合的例子，教師還可以創(chuàng)設(shè)具體的生活情境，比如分蘋果、分蛋糕這類情境來(lái)幫助學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)的具體概念，這也是基本數(shù)學(xué)思想的一種體現(xiàn)。在這樣簡(jiǎn)單的練習(xí)中，學(xué)生成功運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決了問(wèn)題，提高了自主解決問(wèn)題的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

總而言之，數(shù)學(xué)思想既能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、規(guī)律結(jié)論以及公式定理等等各方面的知識(shí)，又能在學(xué)生解決具體問(wèn)題時(shí)發(fā)揮重要作用。因此，教師應(yīng)巧妙地設(shè)計(jì)一些課堂提問(wèn)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生不斷追尋數(shù)學(xué)的本源，并不斷對(duì)基本數(shù)學(xué)思想進(jìn)行學(xué)習(xí)、滲透和探索，才能使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有大的提升。