基于ADAMS的Stewart次鏡平臺運動學和動力學仿真

梁鳳超， 黃 剛， 譚 爽， 康建兵， 林 喆， 康曉軍

(北京空間機電研究所， 北京 100090)

基于ADAMS的Stewart次鏡平臺運動學和動力學仿真

梁鳳超， 黃 剛， 譚 爽， 康建兵， 林 喆， 康曉軍

(北京空間機電研究所， 北京 100090)

調整次鏡位姿是空間相機提高成像質量的有效方法之一。為優(yōu)化Stewart次鏡調整平臺的結構設計，研究了基于ADAMS虛擬樣機技術的并聯(lián)機構運動學和動力學仿真方法。首先對 Stewart 并聯(lián)機構進行了運動學理論分析，建立了運動學逆解數(shù)學模型并計算了解析結果；然后，在ADAMS中建立了并聯(lián)機構虛擬樣機并進行運動學逆解仿真，其仿真結果與解析結果一致，證明了虛擬樣機模型的正確性；再將ADAMS運動學逆解作為各桿驅動函數(shù)，實現(xiàn)了運動學正解及動力學逆解仿真。基于ADAMS虛擬樣機技術的并聯(lián)機構運動學和動力學特性分析方法，為次鏡調整平臺的結構優(yōu)化設計提供了理論依據(jù)和主要參數(shù)。

并聯(lián)機構； 運動學； 動力學； 虛擬樣機； 次鏡

0 引 言

在空間光學遙感器中，主鏡和次鏡的相對位置和姿態(tài)對于高質量成像有著重要影響。但空間相機受發(fā)射沖擊、振動及在軌溫度環(huán)境變化、應力釋放等因素影響，可能會引起主次鏡相對位置的誤差及次鏡傾斜，造成相機的成像質量下降。為保證主次鏡光路的精確重合與對準，需要對次鏡的位置與姿態(tài)做實時調整[1]。

現(xiàn)有的次鏡的位姿調整方案主要包括以下3種：一是四翼梁式十字形中心支撐結構，通過調整螺釘實現(xiàn)五自由度的調整，精度為0.5 mm，滿足不了高精度要求[2]；二是溫正方等[3]設計的串聯(lián)式五自由度次鏡調整機構，結構較為簡單，控制方便，但是存在誤差累計，剛性小，動態(tài)性差，體積大等缺點；三是六自由度并聯(lián)機構，意大利的VST望遠鏡系統(tǒng)中，次鏡調整機構選用Stewart 并聯(lián)六自由度機構[4]，具有高精度、高剛度、高穩(wěn)定性和誤差小、摩擦小、動態(tài)性能好等優(yōu)點，但控制過程復雜。

并聯(lián)機構是在精度、剛性和操作大負載能力方面具有良好性能的閉鏈機械，適用于高精度、大載荷的場合。并聯(lián)機構的最早應用可以追溯到1938年，Pollard提出采用并聯(lián)機構作為汽車噴漆裝置。1948年，Gough等[5]在英國伯明翰的鄧祿普橡膠公司研制出一種用于輪胎檢測的六自由度并聯(lián)機構，但直到1962年才出現(xiàn)相關文字報道。并聯(lián)機構的構型有多種，當前應用比較廣泛的 Stewart 平臺的經典機構是由Stewart[6]于1965年提出的6-SPS(S-球鉸鏈，P-運動副)并聯(lián)結構，用作訓練飛機駕駛員的飛行模擬器。1978年，澳大利亞著名機構學教授Hunt[7]提出將六自由度Stewart平臺作為機器人的機構應用到工業(yè)機器人。1979年，McCallion等[8]首次設計出了在小型計算機控制下的精密裝配中完成校準任務的并聯(lián)機器人。

Stewart 平臺機構包括上、下2個平臺和6個可伸縮的驅動桿，動平臺和驅動桿之間使用6個球鉸或虎克鉸連接，靜平臺和驅動桿使用6個虎克鉸連接，這6根驅動桿都可以獨立地自由伸縮。通過對6根驅動桿的協(xié)調控制，動平臺可實現(xiàn)沿空間X、Y、Z軸的平移和繞X、Y、Z軸的轉動共6個自由度的運動，從而實現(xiàn)位置和姿態(tài)的變化[9-10]。由于該結構平臺能靈活地實現(xiàn)六自由度的三維空間運動，而且具有穩(wěn)定性強、承載能力大、精度高、誤差小、響應快等一系列的優(yōu)點[11]。某型號空間相機采用Stewart構型的次鏡調整平臺，實現(xiàn)地面相機光學系統(tǒng)裝調階段的次鏡組件位姿調整以及在軌后的次鏡位姿調整。

并聯(lián)機構是一個多輸入、多輸出系統(tǒng)，桿間耦合性強，容易產生奇異位形、靈活性差等缺點。為避免或減少上述缺點對機構性能的影響，須對并聯(lián)機構進行結構優(yōu)化設計，這就須要對并聯(lián)機構的運動學和動力學進行仿真研究，為次鏡調整平臺的結構優(yōu)化設計、制造和模擬運動提供理論依據(jù)和主要參數(shù)。

1 理論基礎

并聯(lián)機構的運動學分析是進行動力學分析、控制策略研究、結構優(yōu)化設計的基礎，因此建立準確的運動學模型對并聯(lián)機構的研究至關重要。運動學分析是求解并聯(lián)機構的輸入與輸出構件之間的位置、速度、加速度之間的關系。當已知并聯(lián)機構的主動件的位置，求解并聯(lián)機構的末端件的位姿，稱為并聯(lián)機構的運動學正解；反之，若已知并聯(lián)機構末端件的位姿，求解并聯(lián)機構的主動件的位置，稱為并聯(lián)機構的運動學反解[12]。

Stewart并聯(lián)機構結構如圖 1 所示，由上下兩個平臺和6個并聯(lián)的、可獨立自由伸縮的桿件組成，伸縮桿和平臺之間通過虎克鉸A1～A6和球鉸B1～B6連接。下平臺作為靜平臺，以伸縮桿的位移作為輸入變量，則可以控制動平臺(上平臺)的空間位移和姿態(tài)。實際機構中通過改變6根可以伸縮的支桿長度來實現(xiàn)并聯(lián)機構動平臺的運動，即沿x、y、z軸的平移和繞動坐標系z、y、z軸的轉動的歐拉角U、V、W。

圖1 Stewart并聯(lián)機構坐標系

為了定量地表示動平臺各處的坐標，在靜平臺的綜合質心處建立慣性坐標系(靜坐標系)O-xyz，坐標原點為O；在負載的綜合質心處建立連體坐標系(動坐標系)P-xyz，坐標原點為P，各坐標系的方向如圖1所示。上鉸點旋轉中心在連體坐標系中的坐標向量為Bi(B1,B2,B3,B4,B5,B6)，下鉸點旋轉中心在慣性坐標系中的坐標記為Ai(A1,A2,A3,A4,A5,A6)。坐標系確定之后，并聯(lián)機構的運動平臺的位姿用廣義坐標向量q表示，其中q=[q1,q2,q3,q4,q5,q6]T, [q1,q2,q3]T表示運動平臺中心在慣性坐標系中的坐標向量，[q4,q5,q6]T表示運動平臺在慣性坐標系中的姿態(tài)角即歐拉角。這6個參數(shù)就確定了動平臺的空間位姿。將歐拉定理中提到的剛體繞某一軸的有限轉動分解為依一定順序繞連體坐標軸的3 次有限轉動，則每次轉過的角度可定義為確定剛體轉動前后相對位置的3個廣義坐標[13]。按照不同的旋轉順序，可以有24 種旋轉方式，本文選取繞x→y→z坐標軸的順序旋轉，如圖2所示。

(1)

式中：cU= cosU, cV= cosV, cW= cosW, sU= sinU, sV= sinV, sW= sinW。動平臺姿態(tài)廣義坐標系q=[x,y,z,U,V,W]T時，各支桿的長度為

(2)

式中：li為圖1所示支桿矢量AiBi，li為桿長，i=1, 2, …, 6。

2 Stewart并聯(lián)機構參數(shù)化建模

建立虛擬樣機模型和建立物理樣機模型的道理相同，要盡量簡化模型。在滿足虛擬樣機仿真運動的完整性的同時，應盡量減少模型的零件數(shù)。在最初的仿真分析建模時，不必過分追求構件幾何形體的細節(jié)部分和實際一致，因為這往往要花費大量的建模時間，而此時的關鍵是能夠順利地通過仿真并獲得初步結果。從程序的原理來看，只要虛擬樣機模型的質量、質心、轉動慣量等和實際構件相同，仿真結果與物理樣機就是等價的。

ADAMS軟件是集建模、求解、可視化技術于一體的虛擬樣機軟件[14]。通常用ADAMS軟件建模時都是利用其自帶的幾何體模塊建模，確定了幾何體的各參數(shù)后幾何體也隨之確定，當幾何體尺寸發(fā)生變化或需要分析參數(shù)對整個系統(tǒng)影響時，就需要手動修改參數(shù)，這樣就大大增加了工作量。為了避免重復的工作，ADAMS提供了參數(shù)化建模功能，即將所建立模型的特征值都用ADAMS中的設計參數(shù)表示，這樣, 模型就會隨著設計參數(shù)的修改而自動改變。特別是在ADAMS中作參數(shù)分析時，對設計參數(shù)在設置區(qū)間內平均化，模型自動更新，ADAMS自動進行系列仿真，能夠觀察不同參數(shù)值下樣機性能，大大簡化了人工修改過程。

本文分析過程中的模型就是在ADAMS/View下建立的。將整個并聯(lián)機構系統(tǒng)簡化為靜平臺、動平臺、6個支桿、6個球鉸鏈和6個虎克鉸鏈，將上鉸點Bi(B1,B2,B3,B4,B5,B6)、下鉸點Ai(A1,A2,A3,A4,A5,A6)及平臺半徑等設置為變量，參數(shù)化建模參數(shù)表及模型如圖3所示。

3 運動學仿真

建完模型之后，ADAMS/Solver模塊自動生成機械系統(tǒng)模型的動力學方程，提供靜力學、運動學和動力學的解算結果。ADAMS/Postprocessor模塊可以用來輸出高性能的動畫、各種數(shù)據(jù)曲線，還可以對曲線進行積分、求導、求和、求差等處理。應用這兩個模塊可以對并聯(lián)機構的運動學和動力學進行仿真分析。

圖3 Stewart并聯(lián)機構參數(shù)表及虛擬樣機

當并聯(lián)機構的動平臺以一定的形式運動時，其速度和加速度與各桿伸縮的速度和加速度有著嚴格的依賴關系，但驅動桿桿長和動平臺位姿之間的關系是非線性的。從伺服控制的角度來說，動平臺的運動空間為虛軸空間，而驅動關節(jié)空間為實軸空間。因此，在進行運動控制時，必須通過位置逆解模型，將實現(xiàn)給定的動平臺位姿和速度信息變換為伺服系統(tǒng)各桿桿長的控制指令，從而驅動并聯(lián)機構動平臺實現(xiàn)期望的運動。

由于并聯(lián)機構的運動學逆解容易而正解困難，一般設計并聯(lián)機構時通過運動學逆解計算各支桿的行程、速度、加速度，從而使設計的并聯(lián)機構能夠滿足需要的運動能力。動平臺在運動范圍內的運動，都是通過6根桿長的變化來使動平臺中心到達運動范圍內的任意位置。為了在ADAMS中實現(xiàn)并聯(lián)機構虛擬樣機動平臺6個自由度的運動，在動平臺中心處施加一般點運動激勵來實現(xiàn)其運動仿真，使動平臺實現(xiàn)沿x、y、z軸的移動以及沿x、y、z軸的旋轉，以此來模擬動平臺在實際工作中的一般運動。一般點運動驅動對話框如圖4所示。 將驅動加在動平臺中心點，即MARKER_79， 參考點選擇靜平臺中心點MARKER_80，這樣就保證了給定的運動指標的參照系是靜坐標系。自由度驅動類型有位移、速度、加速度以及驅動函數(shù)。同時建立上、下鉸點的位移測量，測量兩點之間的距離，得到實時桿長曲線。

圖4 在動平臺中心點施加一般點運動驅動

為不失一般性，在動平臺中心點處六自由度方向同時加載正弦位移/轉角驅動函數(shù)，在ADAMS中仿真此驅動下的平臺運動，再經后處理可得到6條支桿的長度變化曲線，此即為運動學逆解。加載驅動即動平臺的規(guī)劃軌跡函數(shù)見圖4，x、y、z方向的位移函數(shù)設置為5sin(2pit)，是振幅為5 mm、f=1 Hz的正弦驅動信號；U、V、W旋轉方向的驅動函數(shù)為5d·sin(2pit)，是振幅為5°，角頻率為360°/s的角度驅動，其中的‘d’表示角度單位為(°)。

設定仿真時長為1 s，仿真步數(shù)為100 步，這樣可以得到一個周期內各支桿的長度。仿真結果如圖5所示。為了得出各支桿的變化量，先測出每一時刻各支桿的長度，然后通過長度值減去初始值而得到各支桿的伸縮量。

圖5 ADAMS中運動學仿真得到的6支桿長度曲線

為了驗證理論模型和ADAMS 模型的正確性，通過Matlab 編程，計算出了動平臺x、y、z、U、V、W方向加載驅動函數(shù)5sin(2pit)時各支桿的實時長度。再將理論模型計算曲線與ADAMS虛擬樣機模型仿真曲線在每個時刻上相減，得到圖6所示的誤差曲線，可見兩種模型的6支桿的伸縮量誤差維持在10-5mm量級，說明兩種模型在同一時刻的伸縮量一致，理論模型和ADAMS虛擬樣機模型是正確的。

圖6 并聯(lián)機構6支桿長度仿真與計算誤差

4 動力學仿真

對于給定的各關節(jié)連桿的驅動力或力矩，并聯(lián)機構的位姿將發(fā)生什么變化，其運動的動態(tài)過程如何，不僅取決于其幾何結構，而且還依賴于各關節(jié)連桿的慣性，即質量。對于并聯(lián)機構，在一定載荷作用下，動平臺實現(xiàn)某一運動時，各桿的驅動力也將隨之變化。在整個運動過程中，各桿的驅動力變化是否平緩，力的大小是否符合要求，對于機構的設計、伺服執(zhí)行元件的選擇和實際的控制有著重要的意義。

并聯(lián)機構的動力學研究包括機構的動力學建模、受力分析、慣性力計算、動力平衡、動力響應等方面，在六自由度并聯(lián)機構的設計與控制中起到非常重要的作用，是確定并聯(lián)機構主要結構參數(shù)的基礎。由于并聯(lián)機構的復雜性，其動力學模型通常是一個多自由度、多變量、高度非線性、多參數(shù)耦合的復雜系統(tǒng)。利用ADAMS仿真并聯(lián)機構動力學時，ADAMS會根據(jù)機械系統(tǒng)模型，自動建立系統(tǒng)的拉格朗日運動方程，對每個剛體，列出6個廣義坐標帶乘子的拉格朗日方程及相應的約束方程，并自動求解，不需用戶編程計算。許勇等[15]通過ADAMS對一種扭擺下行被動移動裝置進行了動力學仿真驗證，設計制作了原理樣機并進行測試。

做動力學分析時需要知道并聯(lián)機構動平臺在任意位姿時各支桿的出力，可通過對并聯(lián)機構做運動學正解得到支桿出力。利用ADAMS模型運動學逆解仿真結果可得到支桿1～6對應的樣條函數(shù)：SPLINE_1～SPLINE_6。樣條函數(shù)SPLINE_1如圖7所示，第1列是各仿真點的時間，第2列為對應的伸長量。這樣就知道了每個仿真時刻所對應的各支桿伸長量。再將ADAMS模型的動平臺點對點驅動去除，在每條支桿的移動副關節(jié)處加上平移驅動MOTION_1～MOTION_6，設定驅動函數(shù)為AKISPL(time，0，SPLINE_1，0)，…，AKISPL(time，0， SPLINE_6，0)，這樣就可以保證每個仿真時間點各支桿伸長量與反解時一致。為了驗證在正解時動平臺確實是做x、y、z、U、V、W向的正弦運動，需測量動平臺在x、y、z方向的位移曲線及動平臺的姿態(tài)角U、V、W。同時測量每個驅動所受的力，則可得到動平臺做運動時每個桿的出力。最后，對仿真時間設置，由于用的是反解的樣條線型數(shù)據(jù)，故仿真時間設置為1.0 s，仿真步數(shù)為100步。設置完成后對模型進行仿真，得到圖8所示的動平臺位姿曲線。可見，ADAMS中6支桿加載SPINE1～ SPINE6位移驅動，動平臺的位姿正解曲線與求反解時加載在動平臺上的6維驅動一致。

圖7 支桿1伸長量SPLINE_1數(shù)據(jù)

圖8 動平臺位姿軌跡

ADAMS模型中6條支桿加載SPINE1～SPINE6位移驅動、動平臺外負載力為0 N時，6條支桿的驅動力曲線如圖9所示。觀察圖9中的曲線可知，當動平臺沿六自由度方向均為正弦運動規(guī)律時，每個支桿所受的力不相同。桿6所出的力最大，最大值達到16.6 N；桿4出力最小，其最大值為10.1N。

圖9 動平臺負載為0 N時6條支桿驅動力曲線

利用ADAMS中的添加力選項給動平臺質心添加一個固定在動平臺質心的常力，設負載力沿Z軸負方向，大小為500 N，則可測得動平臺6個自由度運動規(guī)律均為5sin(2pit)時，6條支桿出力如圖10所示：桿6所出的力最大，最大值達到129.9 N；桿3出力最小，其最大值為93.6 N。在判定各桿的最大出力后，即可根據(jù)此數(shù)值判定并聯(lián)機構的負載能力，還可以據(jù)此選用各作動桿的驅動執(zhí)行元件。從圖9、10中可見，當并聯(lián)機構平臺沒有外力作用時，作動桿的力用來克服自身重力，隨著動平臺的運動而變化，添加外力后，受力曲線整體上升，即桿的出力增加但運動曲線沒有變化。

圖10 動平臺負載為500 N時6條支桿驅動力曲線

5 結 語

并聯(lián)機構運動學、動力學仿真分析是Stewart平臺結構優(yōu)化設計、伺服元件選型及實現(xiàn)控制的基礎。并聯(lián)機構運動學和動力學分析多采用的是解析法，但其數(shù)學建模困難靈活性差、動平臺工作空間復雜、空間運動很難直觀想象，需要建立適當?shù)哪Ｐ筒⑦M行仿真。本文使用CAE仿真軟件ADAMS來對并聯(lián)機構的運動和動力性能進行分析，這種方法與理論建模的解析方法相比，具有參數(shù)化建模靈活、無繁雜理論公式推導及計算、運動模擬可視化等優(yōu)勢，為Stewart次鏡調整平臺的研究提供了一種新方法。

[1] 譚 爽. 空間光學遙感器次鏡六自由度精密控制方法研究[D]. 北京：中國空間技術研究院工學碩士學位論文, 2015.

[2] 王富國,張景旭,楊 飛，等.四翼梁式次鏡支撐結構的研究[J]. 光子學報， 2009, 38(3):674-676.

[3] 溫正方, 張景旭, 張麗敏. 五自由度次鏡調整機構的研究[J]. 工程設計學報， 2010, 17(6): 473-478.

[4] Schipani P, Perrotta F, Molfese C,etal. The VST secondary mirror support system[J]. Advanced Optical and Mechanical Technologies in Telescopes and Instrumentation pt.3., 2008(6)：23-28.

[5] Gough V E, Whitehall S G. Universal tyre test machine[C]∥Proceedings of the 9thInternational Technical Congress F.I.S.I.T.A, May 1962:117.

[6] Stewart D. A Platform with six degrees of freedom[C]∥Proceedings of International Mechanical, Engineering, London: 1965, 180(15): 370-386.

[7] Hunt K H. Kinematic geometry of mechanisms[M]. Oxford, Clarendon Press, 1978.

[8] McCallion H, Truong P D. The analysis of six-degree-of-freedom work station for mechanism assembly[C]∥Proceedings of the Fifth World Congress on Theory of Machines and Mechnisms,1979:611-616.

[9] 葛耀崢，程 佳，陶國良. 并聯(lián)6自由度電動實驗教學平臺[J] . 實驗室研究與探索，2012, 31(5): 34-36.

[10] 唐曉強，尹文生，孟明辰，等. 可重構并聯(lián)實驗裝置設計與實驗教學初探[J]. 實驗室研究與探索，2005, 24(12): 11-13.

[11] Kong Xianwen. Type synthesis of parallel mechanisms[M]. Springer Berlin Heidelberg, 2007:1-4 .

[12] Merlet J P. Parallel Robots[M]. 2nd. Netherland: Springer Science & Business Media, 2006: 66-74.

[13] John J Craig. Introduction to Robotics Mechanics and Control[M]. Prentice Hall, 2005: 28-41.

[14] 趙玉俠，狄杰建，高德文. 基于ADAMS的微型管道機器人三維實體運動仿真[J]. 實驗室研究與探索，2011, 30(1): 26-29.

[15] 許 勇， 王春燕， 王義燦，等. 扭擺下行被動移動裝置的動力學建模及參數(shù)仿真[J].實驗室研究與探索，2015, 34(10): 116-120.

Simulation of Kinematics and Dynamics of Stewart Platform for Secondary Mirror Based on ADAMS

LIANGFengchao,HUANGGang,TANShuang,KANGJianbing，LINZhe,KANGXiaojun

(Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100090, China)

Posture adjustment of the secondary mirror is one of the effective ways to improve the image quality of space camera. In order to optimize the structural design of Stewart platform for secondary mirror posture adjustment, simulation method of kinematics and dynamics of parallel manipulator based on ADAMS virtual prototyping technology was studied. First, theory analysis of inverse kinematics of Stewart parallel manipulator was performed, and the analytical results of inverse kinematics were obtained via mathematical modeling and calculating. Then, inverse kinematics simulation was carried out in ADAMS after the virtual prototype of parallel manipulator was established. The simulation results in ADAMS and analysis results were consistent, hence it proved the correctness of the virtual prototype model. Then, the kinematics and inverse dynamics simulation were realized by using result of inverse kinematics in ADAMS as drive function of each strut. The analysis method of kinematics and dynamics of parallel manipulator, based on ADAMS virtual prototyping technology, provided a theoretical basis and the main parameters for optimizing design of secondary mirror.

parallel manipulator; kinematics; dynamics; virtual prototyping; secondary mirror

2016-05-09

梁鳳超(1978-)，男，吉林松原人，博士，高級工程師，研究方向為并聯(lián)機構控制技術。

Tel.：010-68114781; E-mail: fc.liang@qq.com

TH 113.2

A

1006-7167(2017)02-0107-05