“分數是什么，怎么教”的研究報告

高子林

【摘 要】分數是小學數學教學的重點也是難點。經過長期的教學改革，分數教學始終沒能有效幫助學生解決“量”與“率”的科學建構。從“率”入手的教學偏向于知識的“順應”，是“開一口新井”；從“量”入手的教學是“在老井里打水”，更加重視知識的“同化”。本報告試圖從數學的知識邏輯、學生的認知邏輯和教師的教學邏輯中，找尋突破分數教學困境的路徑——先用“平均除”引入作為量的分數，然后用“倍數除”引入作為率的分數，再構建完整的“商定義”與“份定義”兼顧的分數概念。

【關鍵詞】分數 學情 經驗 教學改進

分數是小學數學教學的重點也是難點。經過長期的教學改革，分數教學始終沒能有效幫助學生解決“量”與“率”的科學建構，令類似“一根鐵絲長2米，平均分成4份，每份長（ ）米，每份占全長的（ ）”這樣的高錯誤率問題長期困擾一線教師。原因是什么？是學生的心智不夠成熟引起的嗎？是教師的教法不夠機智引起的嗎？是教材的編排不夠科學引起的嗎？如果學生的心智能夠接受分數，那么問題一定出在教材或教師的身上。本報告試圖打開這個“心結”。

一、內容解讀

分數是什么？要講清它，我們首先要了解一件很重要的事件——“量的度量”——“在度量的時候，得出一個數，它表示一已知量所含度量單位的倍數，這個數叫作該量的數值……一般說起來，量A如果用度量單位B去度量，如果不是整數倍數時，度量的結果便不能用整數來表示。我們便把B分為n等份，取其中的一等份作度量單位而去量它的剩余部分。假如剛好量m次量盡了，那么量A的剩余部分的度量結果用[mn]來表示所產生的新數。這新數叫作分數，數m叫作分子而數n叫作分母”。而類似于“度量”的情況，也可能在“分物”時出現，而且統統都是“平均除”解決問題的過程——“分數的真正來源，在于自然數除法的推廣”。因此，人教版教材在“分數的產生”一節中就講到“在進行測量、分物或計算時，往往不能正好得到整數的結果，這時常用分數來表示”。這也可能是北師大版教材在“分數的意義”教學中，會有“用紙條量數學書的長寬”“豬八戒分餅”“分數與除法”等專題的道理。

分數有一種十分流行的定義：“把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數，叫作分數?！边@正是目前所編教材所采用的觀點，即所謂的份數定義。

但是，分數的本質卻是“分數是兩個整數相除（除數不為0）的商”（商定義），或“分數是整數q與整數p（p≠0）之比”（比定義）。由此看，分數的“份數定義”其實就是“比定義”的一部分（部分和整體的比）。

“比的定義和商的定義相近，值相同，表達的方式不同。在教學處理上，第一階段的分數教學，先出份數的定義，然后過渡到商定義”?，F行教材，基本上就是按照這樣的邏輯展開的，因而大同小異。

六年級學生用“商定義”或“比定義”的方式進行思考：把8個月餅平均分成4份，每份是8個除以4份等于2個，也是2個除以8個等于總數的4分之一（筆者注：這是數量比的方法），或者1份除以4份等于總數的4分之一（筆者注：這是份數比的方法）。

由此，我們是不是可以這樣說，分數的“份數定義”從某種意義上講，是橫亙在學生基于“平均分思想（自然數除法）”將自然數自發擴展至有理數的巨石，令學生不能從一開始就有效建構“分數”與“除法”的因果聯系。

三、經驗回顧

近二十年來，教育界對待分數教學的主流策略是從“率”入手——對一個整體平均分后用“部分與整體的份數關系”定義分數，再逐步溝通“分數與除法、分數與比的關系”。這也是現行教材的特點。而小眾做法是從“量”入手，雖然也用“份數關系”定義分數，但表征的是分物或測量時不能用整數表示部分的數量，再逐步溝通“分數與除法、分數與比的關系”。兩者雖然各有千秋，但均是圍繞分數的“份數定義”展開的。

（一）由“率”入手的設計（邱向理：分數的初步認識）

從激活學生的生活經驗切入，通過操作活動提升為活動經驗和數學知識——把一個蘋果平均分成兩份，其中的一份可以用[12]表示；把一張紙平均分成兩份，其中的一份可以用[12]表示；把一張紙平均分成四份，其中一份可以用[14]表示……學生新認識的分數是一種以“率”的身份存在的數。

……

（二）由“量”入手的設計（朱國榮：分數的初步認識）

按照認識自然數的邏輯順序，組織學生以平均分為基礎認識表示數量的分數，并滲透分數表示部分與整體關系的含義——把8個月餅平均分成4份，其中1份有2個；把1個月餅平均分成4份，其中1份的大小是[14]個；把1個月餅平均分成3份，其中1份的大小是[13]個……學生新認識的分數是一種以“量”的身份存在的數。

師：把8個月餅平均分給4人，每人分得幾個？（略）

師：把9個月餅平均分給4人，結果是什么？

生：每人2個，多1個。

生：每人2個，最后1個分成4份。

師：老師也分成了4份，你們同意這樣分嗎？

生：不同意。要平均分。

師：他說要平均分，你們明白他的意思嗎？是不是這樣？

師：我們把這個餅平均分成了4份。那一個人吃多少個呢？（生上來指出其中的1份）

師：這一份如果要用一個數來表示，你會怎么表示？

（4個學生分別寫了：一塊；半個的半個；[14]個；[41]個）

師：4位小朋友有4種不同的寫法，你贊同哪一種，為什么？

生：我同意[14]個。

生：我覺得半個的半個也可以，就是寫起來比較麻煩。

生：最后一個寫倒了。

師：寫“一塊”行不行？

生：寫“一塊”是不行的，如果寫“一塊”，我們不知道這一塊有多大。

師：大家都認同寫[14]個比較好，到底好在哪里？

生：寫[14]個，我們就知道是把這個月餅平均分成4份，表示的是其中1份的大小。

師：這個數讀作四分之一，是我們今天這節課要認識的一種新的數——分數。

師：把1個月餅平均分成3份，每份是（ ）個月餅。（略）把1個月餅平均分成5份，每份是（ ）個月餅。（略）

……

四、教學改進

雖然上面兩位教學專家都利用“份數定義”指導學生認識分數，但是，從學的角度講，從“率”入手的設計偏向于知識的“順應”，是“開一口新的井”；而從“量”入手的設計是“在老井里打水”，更加重視知識的“同化”。這是因為學生之前一直學習“自然數除法”，對于“量”的生活經驗和數學認知明顯多于“率”，從“量”入手進行分數教學，就是像自然數那樣學習分數，更容易進入學生的認知結構。這也吻合分數的起源。從“量”入手既代表了小學數學界對“生本課堂”的追求，也預示了分數教學改革的趨勢。

從“量”入手，已經距離“用分數表示商”不遠。我們能不能以“自然數除法”為依托再向前推進一步，采用“商的擴展”（商定義）方式組織分數教學呢？有專家也曾說過：從知識銜接的角度，建議可在有關實物均分的整體與部分的例子中增加若干運用到簡單除法運算的例子，從而引導學生關注分數與除法的關系，一方面顯示分數就是除法運算的結果，另一方面幫助學生將分數從具體事物中抽象出來。

從學生的學習經驗和知識儲備看，他們有豐富的“平均除”和“倍數除”經驗，尤其是“平均除”，具有在原有整數商的基礎上建構分數商的基礎。

從數學的發展來看，如果拋開分數的公理化定義，分數的商定義和比定義涵蓋作為量的分數和作為率的分數，外延較之份數定義要大。如下圖。

筆者認為：把從“量”入手認識分數的策略進一步推向前進，引入分數的“商定義”，同時兼顧“份數定義”，可以更好地幫助學生“同化”和“建構”分數，實現有理數認識的自然生長。具體做法是：先用“平均除”引入作為量的分數，然后用“倍數除”引入作為率的分數，再構建完整的“商定義”與“比定義”兼顧的分數概念。

（一）“認識分數（量）”的新設計（在朱國榮團隊研究成果上改進，見表1）

（二）“認識分數（率）”的新設計（在朱國榮團隊研究成果上改進，見表2）

雖然從最終獲得知識的結果看，分數的教學無論是“先率再量”還是“先量再率”，無論是“先份數定義，再擴展到商定義”還是“商定義兼顧份數定義”，殊途同歸，似乎并沒有多大差別。但是，從學生的認識邏輯看，意義卻是非同凡響的——前者，以知識為本，學習方式以順應為主；后者，以學生為本，學習方式以同化為主。在尊重認知規律、倡導生本課堂的今天，我們或許更應該考慮后者。

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（浙江省海寧市仰山小學 314400）