“構造法”在高中數學解題中的應用

王力強

摘要：高中階段的學習非常重要，要在短時間內積累足夠多的知識才能更好的應對“高考”。高中數學對于學生來說本身學習起來就很吃力，尤其是到了后期復習過程中，常規的數學思維方式很難順利求解一些數學題。因此，要善于引用新的方法來對求解高中數學題，構造法是一種比較實用的解題解題方法，能夠幫助學生將抽象的數學知識、數學公式更加巧妙的結合起來，從而更加準確更加有效率的解決數學難題。本文對“構造法”在高中數學解題中的應用展開分析，旨在提升高中數學教學的針對性。

關鍵詞：高中數學；構造法；解題

G633.6

常規的解題思維就是根據數學問題中已經給出的條件，向結論方向進行定向思考，然是目前很多數學難題通過常規的思考方法很難得出最后的正確的答案，尤其是某些數學難題在常規解題思路之下甚至會毫無頭緒。這就和我們走路一樣，遇到障礙清除繼續行走是常規的思維方式，但是有些時候有些障礙沒有辦法清除，那么就需要一個新的方法進行解決，才能更好的通行。面對無法用常規的解題方法進行解題的情況時，我們可以嘗試新的思路，例如：構造法，能夠幫助學生將抽象的數學知識、數學公式巧妙的結合起來從而尋求新的解題思路將數學題解決。

一、構造法在數學解題中的應用基礎

目前，構造法在解決數學難題中所展現出來的作用非常明顯，但是如果要熟練的使用構造法解決數學難題，學生必須要有豐富的數學知識作為基礎，還有學生具有一定的觀察能力，形成一定的數學思維，能夠看出和挖掘出已知條件與結論之間的內在關系。使用構造法解決數學難題，還要求學生必須具備一定的綜合能力，能夠靈活運用數學中的方程、幾何等等數學知識，同時還需要培養學生一定的創造能力，這樣是學會使用構造法的關鍵之處。在利用構造法解決數學難題時，可以發現題中有很對形式多樣的對象能夠用來進行構造，根據這些對象的特點將之劃分為圖形、方程、函數等等。還需要注意的是利用構造法解決數學難題時，不能生搬硬套，其實我們需要先了解什么是構造法，才能在實際解題的過程中更好的運用構造法。簡單來說，構造法本身是沒有特定的套路的，這是一種非常靈活的解題方法，所謂構造法重點在于怎么構造，構造沒有通用的法則，但是凡事都有一定的規律可循，構造法也不例外。構造法首先必須要明確構造的目標，其次就是要分析問題，掌握問題的特點，然后再根據具體的情況，明確構造的方案，從而解決相應的數學難題。

二、構造函數應用

函數是高中數學中非常重要的知識，高中學生一般能夠對函數知識靈活運用的話其實可以解決很多數學難題。若要靈活運用，首先得掌握函數的基本特征，函數特征中含有的界性、單調性、周期性、連續形象、復合函數、反函數等等，這些特性都必須掌握才能在實際解題中靈活的運用。通常我們在解決數學難題時，可以根據題目中已經給出條件的特征與結論的特征，對函數的特性進行靈活的使用，從而構造出相應的函數，將一些不等式證明等等問題轉變為函數的特征進行分析，能夠將所解問題簡單化，還能一定程度上提升解題的效率和解題的準確率。需要特別注意的是，利用構造函數的方法解決數學問題有這些難點：第一，數學題多種多樣，如果要分辨出那種題型比較適合運用函數構造法來進行解決，對于高中學生目前來說難度還是很大的。第二，使用構造法本身具有較高的難度，學生具體使用過程中需要教師進行引導。第三，解題過程中，哪一個階段要使用構造法學生也很難分清楚，有些數學題一開始需要進行構造，還有一些數學題解到一半才需要構造，這些客觀的因素也就體現了構造法的難度。例如：已知a、b、c∈（0，1），求證a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）<1.分析：從題目來看，這道題的條件和結論有一定的對稱性，直接證明難度比較大，推薦采用構造法，就能提高解題的效率。證明：通過構造函數f（a）=（b+c-1）a+（bc-b-c+1）.因為b，c∈（0，1），所以f（0）=bc-b-c+1=（b-1）（c-1）>0，f（1）=（b+c-1）+（bc-b-c+1）=bc>0.而f（a）是一次函數，圖形是一條直線，因此，當a∈（0，1）時，恒有f（a）>0，也就是（b+c-1）a+（bc-b-c+1）>0，整理之后得出：a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）<1。

三、構造方程應用

對于高中學生來說方程已經不陌生，所謂方程就是含有未知數的等式，解方程就是求未知數的值，或者求未知數的表達式。實際解題過程中，我們知道很多數學問題當中有很多未知的條件，為了更好的避免逆向思考，可以直接將方程式列出來，可以將未知數利用數學符號來進行替代，從而列出等式，然后根據等式之間的關系來求未知數，這樣可以提高解題的效率，還能省去很多不必要的麻煩。高中很多數學題計算量比較大，而且未知量的數量增加與未知量之間的關系變化也是非常的復雜，如果利用常規的方式去解答很多時候學生感覺無從下手，但是通過分析題目中給出的條件與結論之間的關系，構造對應的方程，不僅能夠讓問題更加簡單，還能開闊學生的思維，培養學生的觀察能力與數學知識靈活運用的能力。例如：（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0，求證：m，n，x為等差數列。針對這道題如果直面思考，感覺很難下手，經過觀察可以發現這個等式與解方程式的 中的b2-4ac的格式是一樣的，正好就可以利用這個特征，構造對應的方程（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0，設W=（m-n）2-4x（n-x）（x-m），w=0，所以構造的方程兩個實數根是相等的，從而得知（n-x）+（m-n）+（x-m）=0，得知t=1，也得知另外一個根等于1，然后根據韋達定理，m+n=2x，由此解出m，x，n都是等差數列。

綜上所述，構造法就有一定的創造性，將這種創造性思維融入到解題思維當中，能夠解決更多數學難題。構造法還可以運用更多的數學問題當中，在實踐中不斷提高學生利用構造法解決數學難題的能力。構造法能夠發散學生的思維，讓學生對所掌握的數學知識進行融會貫通，一旦真正讓學生掌握了這種方法，筆者相信很多問題都能夠迎刃而解。因此，在高中數學教學中加強培養學生使用構造法的能力是值得深入研究的重要課題。

參考文獻：

[1]項啟威. 淺論高中數學解題過程中構造法的運用[J]. 考試周刊，2016，10：55-56.

[2]劉顯奮. “構造法”在高中數學解題中的應用——以等差數列教學為例[J]. 廣西教育，2016，14：155-156.

[3]王鸞. 高中數學解題教學中如何巧用構造法[J]. 新課程（下），2016，03：154.