復Finsler度量射影等價

翁 桂 英

(仰恩大學 數學系, 福建 泉州 362014)

復Finsler度量射影等價

翁 桂 英

(仰恩大學 數學系, 福建 泉州 362014)

主要研究復流形上復Finsler度量射影等價及仿射等價的若干充要條件，討論了復Finsler流形上的測地線及2種平行移動，從而得到復Finsler度量仿射等價的另一充要條件，并將其應用于乘積復Finsler流形中.

復Finsler度量; 測地線; 射影等價; 仿射等價; 乘積復Finsler度量

Projectively equivalent complex Finsler metrics. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(2):154-160

流形上Finsler度量的射影等價性是Finsler幾何的一個重要課題，文獻[1]在實Finsler度量下研究了一般射影等價及仿射等價成立的充要條件.復Finsler度量的射影等價這一概念由YAN[2]和ALDEA等[3-6]于2012年引入并進行研究.本文將對復Finsler度量的射影等價、仿射等價性及復Finsler流形上的2種平行移動進行研究并給出其應用例子.

1 預備知識

首先,簡單介紹本文所需的一些記號，更多細節參見文獻[7].

定義1[7]復流形M上的連續非負函數F:T1,0M→R+若滿足下列條件,則稱其為復Finsler度量:

3)任意v∈T1,0M,ξ∈C,F(ξv)=|ξ|F(v).

賦有復Finsler度量的復流形稱為復Finsler流形，簡記為(M,F).

下文若不特別說明,復Finsler度量總表示強擬凸的.

(1)

且稱D為(M,F)上的Chern-Finsler(c.n.c.)聯絡.

在局部坐標下,Chern-Finsler(c.n.c.)聯絡系數為

(2)

定理2[8]設 (M,F)為復Finsler流形, 則其為復Berwald當且僅當 (M,F) 為K?hler且為弱的復Berwald度量.

2 測地線

由文獻[7],復Finsler流形上的測地線需滿足:

(3)

從而，測地線σ=σ(s)需滿足:

(4)

證明 充分性. 在局部坐標系下, 有

因此，

必要性顯然.

3 射影等價及仿射等價

因此，

由σ(s)的正則性, 得

等式兩邊積分，有

最終得到

必要性顯然.

(5)

注4 若一階齊次函數P1(z,υ)滿足式(5),S為(0,1)階齊次,則P2=P1+S也為一階齊次,且P2亦滿足式(5);反之,若一階齊次函數P1(z,υ),P2(z,υ)滿足式(5),則S=P2-P1為(0,1)階齊次.故滿足式(5)的一階齊次解相差一個(0,1)階齊次函數.

(6)

所以，

(7)

(8)

(9)

將式(9)代入式(7),可得

(10)

因此，

(11)

而且，

代入式(11),定理7得證.

反復利用式(6)可得：

證明 1)?2)

(12)

因此，有

2)?3)

3)?1)

(13)

由Gτ為(2,0)齊次,可知

必要性顯然.

結合定理10和定理11，可以得到以下結論：

4 平行移動

如不特別說明,下面復Finsler流形均指弱K?hler,其測地線σ=σ(s)滿足二階微分方程

定義5 復Finsler流形(M,F)上,σ=σ(s)為光滑正則曲線,U=Uα(s)?α|σ(s)為沿著σ定義的向量場,則U(s)沿著σ的線性共變導數:

(14)

注意到F為K?hler,則

定義7 弱K?hler-Finsler流形(M,F)上,設σ=σ(s)為光滑正則曲線,U=Uα(s)?α|σ(s)是沿著σ定義的向量場,那么U(s)沿著σ的共變導數:

(15)

證明 由于

因此，

注意到

經化簡, 可得

又因為

則

即F(σ(s),U(s))為常數.

例1 設二元函數f:R2→R+滿足:對任意的λ>0,f(λs,λt)=λf(s,t),且對于任意的 (s,t)≠(0,0)，f(s,t)>0.

又(Mi,αi),i=1,2為Hermitian度量,M=M1×M2,M1為n維,M2為m維復流形. 可以構造新的度量

fs>0,ft>0,fs+sfss>0,ft+tftt>0

及

fsft-ffst>0.

Ga(z,v)=Ga(z1,v1)，Gα(z,v)=Gα(z2,v2),

[1]CHENSS,SHENZM. Riemann-Finsler Geometry[M]. Singapore: World Scientific,2005:1-85.

[2] YAN R M. Affinely equivalent K?hler-Finsler metrics on a complex manifold[J]. Science in China： Mathematics,2012,55(4):731-738.

[3] ALDEA N, MUNTEANU G. On projective complex Randers changes[J]. Bulletin of the Transilvain University of Brasov,2012,54(4):1-10.

[4] ALDEA N, MUNTEANU G. On projective invariants of the complex Finsler spaces[J]. Differential Geometry and Its Applications,2012,30(6):562-575.

[5] ALDEA N, MUNTEANU G. Projectively related complex Finsler metrics[J]. Real World Applications,2012,13(5):2178-2187.

[6] ALDEA N, MUNTEANU G. The main invariants of a complex Finsler space[J]. Acta Mathematica Sciential,2014,34(4):995-1011.

[7] ABATE M, PATRIZIO G. Finsler Metrics-a Global Approach with Applications to Geometric Function Theory[M]. Berlin: Springer-Verlag,1994:1-101.

[8] ZHONG C P. On real and complex Berwald connections associated to strongly convex weakly K?hler Finsler metric[J]. Differential Geometry and Its Applications,2011,29:388-408.

[9] ZHONG C P. On unitary invariant strongly pseudoconvex complex Finsler metrics[J]. Differential Geometry and Its Applications,2015,40:159-186.

[10] ALDEA N, MUNTEANU G. On complex Landsberg and Berwald spaces[J]. Journal of Geometry and Physics,2012,62(2):368-380.

[11] 肖金秀,嚴榮沐.復Finsler流形上的兩個問題[J].廈門大學學報:自然科學版,2006,45(5):614-616. XIAO J X, YAN R M. Two topics in complex Finsler geometry[J]. Journal of Xiamen University: Natural Science,2006,45(5):614-616.

[12] WU Z C, ZHONG C P. Some results on product complex Finsler manifolds[J]. Acta Mathematica Scientia,2011,31B(4):1541-1552.

WENG Guiying

(DepartmentofMathematics,YangenUniversity,Quanzhou362014,FujianProvince,China)

complex Finsler metrics; geodesics;projectively equivalent; affinely equivalent; product complex Finsler manifold

2016-01-28.

翁桂英(1983-),ORCID:http://orcid.org/0000-0002-3469-1466,女,碩士,講師,主要從事多復變數和復Finsler幾何研究,E-mail: yeuwgy@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.02.006

O 186.1

A

1008-9497(2017)02-154-07