數學教學中學生錯誤信息的發現、捕捉及利用

蔣玉琴

教學是一個以教學目標為導向、圍繞教學內容展開的活動，如果將教學課堂比喻成一個網絡，那么學生就是構成網絡的一個個節點，是信息的建構者和發布者。在網絡系統的建構和信息的發布過程中，學生會產生大量的學習信息，其中難免會出現錯誤信息，這些錯誤信息同樣可以成為供教師使用的有效教學資源，其關鍵在于教師如何發現、利用這些錯誤信息，讓學生的思維在多元互動中經歷從錯誤到正確、從混沌到清晰，促進數學教學向縱深推進。

一、發現學生的錯誤認識

學生的錯誤信息往往是學生思維過程的展示，因此，教師應提供機會讓學生充分地表達，并組織學生參與辨錯、糾正和提升的過程。

1.發現基礎性資源中的“認識偏差”

學生原有的知識基礎、學習經驗以及思維能力，是教學得以開展的基礎性資源。在這些基礎性資源中，不乏一些錯誤信息。教師可以組織活動，使學生的錯誤信息得以展示，進而使學生感悟自己的錯誤所在，達到糾誤匡謬的目的。在教學“小數乘法”一課前，讓學生嘗試計算1.6×3，充分展示學生的基礎性資源。結果學生中出現了四種典型的做法：（1）1.6+1.6+1.6=4.8，把沒學過的小數乘法轉化為小數加法來做；（2）1.6×10=16，16×3=48，48÷10=4.8，把小數轉化為整數來進行運算；（3）由于受筆算小數加法計算法則（相同數位要對齊）的影響，出現了自己所理解的筆算小數乘法的法則，列豎式時將因數的整數部分對齊；（4）對于小數乘法的運算法則已理解并會運用。方法（3）中學生“相同數位要對齊”的思想是從基礎性資源中產生的錯誤信息，教師可以針對這個問題引導學生討論、分析，讓他們積極參與到教學活動中。

2.發現差異性資源中的“混沌思維”

在一個班級中，學生之間存在不同程度的差異，不管是學習能力、理解能力、認知水平還是知識基礎都有層次之分，而這些差異同時也是可以供教師使用的教學資源。教學“應用乘法運算定律進行簡便計算”時，在新授課結束后，要求學生運用運算定律進行簡便計算時，并列出兩題：（4×7）×25與（4+7）×25。許多同學都急不可待地高舉小手，努力想將自己的想法表達出來。一位男同學站起來說：“（4×7）×25這樣算：先將4與25相乘得100，然后100乘7，得700；（4+7）×25這樣算：先用4與25相乘，再用相乘的積100加上7，最后得107。”教師面帶微笑地對他說：“你說得很好，只是第二題有一個地方沒有處理好，有些可惜。”然后教師又對大家說：“他的第二題做錯了，為什么老師還說他做得好呢？”學生A說：“因為他善于觀察，知道要把4與25相乘，可得到整數。”學生B說：“我想提醒他注意，連乘時應用乘法結合律，和乘一個加數時用乘法分配律。”學生的積極性都得到了調動。

二、捕捉學生的錯誤信息

由于學生理解能力和認知水平存在局限性，容易出現錯誤信息，教師要捕捉并巧妙地利用錯誤信息，將其放到學生中去“集波成浪”，促進課堂教學的動態化。

1.比較中選擇

課堂上教師要注意引導學生進行思維發散，為產生錯誤信息的學生提供發言機會，在大家有趨同傾向的情況下，它能把學生的注意力引向問題的另一面，并延伸出新的信息，進而提高學生的思維能力。在“筆算乘法”的教學當中，學生之前已經可以熟練地進行一位數乘法和整十位數乘法口算，所以會用自己的方法來計算一位數與兩位數乘法。例如，21元一本的書如果要買14本需要花多少錢？想到的計算方法有很多：（1）先計算出10本書花多少錢，再計算4本書花多少錢，然后加起來就是所需要的總價，即21×10=210（元），加上21×4=84（元），等于294元。（2）先算14個20元是多少錢，然后計算14個1元是多少錢，最后相加，即14×20=280（元），加上14×1=14（元），等于294元。學生大多采用口算方法計算，此時教師可以以此為基礎性資源，引入表1。

學生可以先口算數量為4和10時的價格然后相加得到結果，這是大多數學生采用的方法，教師可以指明這其實就是乘法筆算的過程，由此來激發學生的好奇心和學習欲望。然后，教師順著學生的思路將筆算方法列舉出來，選擇有代表性的三種算法在黑板上展示：

這時引發了全班同學的討論，第一種算法大家都能認同，也有同學補充，加號可以想在腦子里，省略不寫。但對于第二、第三種算法，學生的觀點不一，教師可以請同學代表具體講述一下自己的看法。方法（2）中同學在筆算時是把21分成20和1，先算1×14=14，再算20×14=280，然后把14和280相加，最后可得到結果294。相比第一種算法，這種計算方法略有不同，但也合情合理。認為第三種算法是正確的同學，認為筆算時可以把一些步驟記在腦子里，直接寫出最后結果。筆者決定尊重課堂的具體行進狀態，不為完成預先設定的教學計劃而過早地下結論，鼓勵學生根據實際情況在比較中選擇，以培養創新意識。隨即學生又練習了14份水粉顏料、成語詞典、削筆器各需要多少錢？隨著數據變大，計算也越來越復雜，淘汰第二、第三種算法，選擇第一種算法的同學越來越多。課堂教學實踐表明，在后續的學習和練習中，學生的計算方法不斷調整，并逐漸趨向于最佳方法。學生的思維發散過程就是知識獲取的過程，在教學過程中，教師對教學內容的設計要以學生的興趣為切入點，關注學生的個性化創意，將學生的思維發散過程和成果作為課堂教學資源。

2.沖突中生成

在“小數乘法”的教學中，正式進入教學之前可以通過問題發現學生的學習障礙，然后分析障礙、克服障礙。如先給出題目“3.5乘以17的結果是多少”，學生的計算方法主要有3種：

在學生經過討論判斷出正誤后，教師引導學生進行錯誤原因分析。方法（1）的計算是不正確的，因為計算過程中數位沒有對齊，如果進行估算，得到結果肯定要大于28，所以這種方法是不可取的。此時有學生提出方法（2）和方法（3）得到的結果都是正確的，只是多加了小數點，這一點大多數學生都比較贊同。然后又有學生提出，認為方法（2）和方法（3）中小數點的錯誤是受到了小數加減法的影響，所以這一點錯誤并不那么簡單，兩個小數的乘法可以先以整數乘法計算，然后運用因數變化規律來確定積的位數，最后根據因數和乘積的關系確定積的位數。這位學生的想法令人眼前一亮，多么精彩的感悟。在學生不同想法的“沖突”中，不僅生成了教學的資源，而且澄清了原先部分學生似是而非的想法。

三、利用學生的錯誤信息

在教學過程中，教師不應對學生的錯誤信息直接矯正，而要順水推舟，對錯誤巧妙利用，促使學生深入理解所學知識，突出學生獲取知識的思維過程。

1.“個別替代”到“多元互動”

如果課堂上的錯誤資源由學生而來，討論由錯誤而起，那么課堂就會成為學生自覺、主動參與學習的場所。這樣的學習氛圍會使學生進入“憤悱”的狀態，不斷激發學生之間的思維交鋒。如教學 “不連續進位加”，教師創設超市購物的問題情境，出示商品及其標價，讓同桌根據自己的愛好選購兩樣商品，并計算需要多少錢。其中學生A選擇上衣807元和洗衣機934元，并列式筆算。教師讓筆算的同學（生A）上黑板展示計算結果并接受同學們的提問。

生1：為什么在個位上寫11？生A：因為7+4=11，要寫在個位上。生2：把11寫在個位上就多了一位數，應該進到十位上。生3：我來提個建議，個位進上來的1可以標在“0”的上面。師：你為什么這樣標？生3：我們學習退位減法時也作過類似的記號。生4：我覺得進上來的1寫在橫線上比較好，因為如果標在0的上面，容易與退位混淆。當學生出現錯誤時，教師不是自己代替他說，也不是讓個別優秀的學生代替他說，而是讓同學們各抒己見，在對話中比較、分析，得出大家都認可的方法。這樣的教學過程有利于挖掘學生的潛能，點亮學生的智慧之光。

2.“教師控制”到“重心下移”

為了追求教學過程的真正開放和學生思維的清晰，我們強調教學“重心下移”。所謂“重心下移”涉及到兩個方面：首先，教學要以學生的需求為出發點和重心，根據學生的需求完成教學設計；其次，教師要盡可能將問題“放下去”，讓學生獨立面對問題，并設法解決問題，同時引導學生積極參與問題的解決過程。

在“萬以內數的退位減法筆算”教學中，教師可以先讓學生進行預習，并對退位減法的法則進行討論、交流，然后要求學生自創題目并進行計算、評價，最后組織學生質疑。其中有一個小組提出這樣一道題2031-1641，問：被減數十位上的3減4不夠減，就從百位退1，可是百位上是0，直接從千位上退1，結果是390，對嗎？這個問題在講“筆算萬以內數的退位減法”第一課時提出，很意外。當然可以告訴學生這個問題可以先放一放，因為“筆算被減數中間有0的退位減法”是接下來要學習的內容。然而，既然學生產生了學習需要，教師就應及時調整教學思路，即時解決。筆者及時將教學的重心下移，組織學生小組討論，不僅促使學生進一步理解了所學知識，而且為下一步學習埋下了伏筆。

3.“機械預設”到“動態生成”

在“萬以內數的退位減法筆算”教學中，首先讓學生自由發揮，結合自己的生活實際收集各種萬以內的數，并適當選取一些數作為教學素材，分別是6 004、9 050、1 862、254、4 000、5 008、2 432、960、3 070、110，然后要求學生對上述數字進行分類，并說明為什么這么分類。學生1：我們把這10個數字總共分成了4類，不含0的、0在中間位置的、0在末尾位置的、中間末尾都有0的。教師：這種分類方法很不錯（按照分類在黑板上板書出來）請你讀一讀。學生2：我們把這10個數字按照位數分成兩類，一類是三位數，一類是四位數，這樣讀起來比較簡單，不容易出錯。教師：這種方法也非常好。學生3：我們把這10個數字總共分成了3類，一類末尾是0，一類末尾是2，其余為一類，這樣讀起來比較簡單。教師：這種方法也非常不錯。學生4：我們把這10個數字按照從小到大的順序排列，這樣讀起來比較快。教師：這種方法非常棒，數字按照從小到大的順序排列，讀起來非常簡單。

對于小學生來講，這是一道發散性的題目，學生1、學生2的分類方法是教師意料之中的，而學生3和學生4的分類方法則出乎意料，這是動態的生成，學生能夠按照0的位置對數字進行分類說明學生對萬以內數的讀法已經基本掌握。接下來，教師帶領學生探討這些數之間的關系，找到相同點和不同點，引導學生探索更多的分類方法，并思考分類的理由，體會其產生的效果。該題目中，學生動態生成的兩種分類方法不僅有利于激發學生的學習積極性，同時也可以作為正確的分類參照，學生在教師的引導下經歷了系統的思維優化過程。另外，教師在課堂教學中對動態生成的處理也可以有效提高其課堂應對能力。[責任編輯：陳國慶]