小學數(shù)學建模教學應注意三個問題

朱貴璽

小學階段的數(shù)學建模教學實際上是依據(jù)學生的年齡和思維特點，調動學生已有的知識經驗，從現(xiàn)實問題情境抽象出直觀數(shù)學模型，并且運用數(shù)學模型解釋、驗證一些數(shù)學問題，從而體會模型思想在小學數(shù)學教學中的價值和作用，感悟一些解決問題的策略和思想方法，學會用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)和解決日常生活中的問題，形成靈活、合理的數(shù)學思維方式，增強應用數(shù)學的意識和能力。結合筆者的教學實踐和反思，在數(shù)學建模教學過程中要做到以下幾點。

一、準確把握學生數(shù)學建模的起點

小學數(shù)學教學更多地依靠生活經驗與幾何直觀。因此在數(shù)學建模教學中，應該以學生的生活經驗和思維特點為基礎，準確定位、科學設計，從數(shù)學的角度引導學生從現(xiàn)實問題中抽象出直觀模型，為學生深入開展數(shù)學建模活動奠定堅實的基礎。

1.問題設計有科學性

小學階段實施數(shù)學建模教學，首先要解決的是問題設計。因為一個好的問題，可以喚醒學生已有的知識經驗，讓學生在觀察操作、合作交流、歸納反思中不斷碰撞出思維的火花，重組自己的認知機構，形成新的知識體系。建模教學中的問題設計要滿足以下要求：現(xiàn)實問題情境是學生熟悉或者經歷過的，問題中的數(shù)學信息比較清晰，能夠喚醒學生已有的數(shù)學知識，問題應是學生感興趣的新問題，解決問題的過程具有開放性，問題對學生有一定的吸引力。如蘇教版《數(shù)學》四年級下冊“數(shù)字與信息”一課，先從生活中一些常見的數(shù)字編碼入手（固定電話號碼、門牌號及火車車次等），讓學生初步感受數(shù)字編碼在生活中的原型。接著以自己及家庭成員的身份證為問題設計的開始，讓學生在觀察比較中認識身份證數(shù)字編碼的基本情況。然后以為全班同學設計編號為模型應用，讓學生在解決實際問題的過程中進一步感受數(shù)學模型的實際價值。最后，讓學生進一步回顧整個建模教學的過程，總結數(shù)字編碼表達信息的好處，增強應用數(shù)學模型的興趣和意識。

2.情境選擇要合理化

小學數(shù)學建模教學還要解決問題情境合理化引入的問題。因為小學階段的一些知識，受小學生認知特點的限制，不能直接用數(shù)學內部的邏輯說明，只好利用一些現(xiàn)實問題引入和說明。在實際教學中，需要教師準確利用學生的生活經驗，合理地設計問題情境，激發(fā)學生用數(shù)學思維去探究、解決問題的興趣。如蘇教版《數(shù)學》五年級上冊“負數(shù)的初步認識”一課，一位教師在教學中是這樣的引入：“已知7-5=2，7-7=0，那么7-9=？”由于教師在引入過程中創(chuàng)設的是購物付錢的情境，所以很多學生最后得出了“欠2”的結論，這時教師適度揭示本課要學習的內容，幫助學生從現(xiàn)實的模型逐漸過渡到數(shù)學直觀模型。這樣的問題情境不僅簡練，而且激發(fā)了學生解決數(shù)學問題的興趣。

3.知識定位要多樣化

小學階段的數(shù)學知識呈現(xiàn)主要有以下三種情況：一是純屬數(shù)學內部的規(guī)定，不需要從生活原型引入；二是先從現(xiàn)實原型引入，然后從數(shù)學內部揭示知識建構的整個過程；三是先在數(shù)學范圍內討論，然后應用于解決實際問題的過程中。我們在建模教學的開始就要先對所學數(shù)學知識進行定位，根據(jù)不同的情況具體內容具體處理，避免一刀切、模式化，流于形式，出現(xiàn)異化。如蘇教版《數(shù)學》六年級下冊“正反比例”的概念，在教學之前，應該定位它的呈現(xiàn)方式。因為它是一次函數(shù)、負一次函數(shù)的特例，我們在實際教學中，應該選擇第二種呈現(xiàn)方式，從現(xiàn)實問題問題情境入手。又如蘇教版《數(shù)學》四年級上冊“混合運算”一課，整數(shù)四則混合運算的順序是“先算乘、除，再算加、減”。對此，我們在教學中應該有這樣的教學定位：今后教學中還要引進括號，因為有一些實際問題，需要“先加、減，后乘、除”，所以應該選擇第一種呈現(xiàn)方式。再如蘇教版《數(shù)學》五年級下冊“因數(shù)和倍數(shù)”一課，如果從現(xiàn)實原型引入，就會增加學生學習的難度，只能先在數(shù)學范圍內研究和討論，從中發(fā)現(xiàn)一個數(shù)因數(shù)和倍數(shù)的特點，然后利用這些特點來解決一些實際問題。這樣的教學定位更符合小學生的認知特點，在教學實踐中會產生較好的教學效果。

二、精心組織學生數(shù)學建模的過程

小學階段的數(shù)學建模教學，需要教師通過一些數(shù)學化的訓練策略，引導學生對現(xiàn)實問題情境進行抽象概括，總結歸納出它的數(shù)學直觀模型，并用數(shù)學語言說明、表達、解釋數(shù)學模型的價值和意義。在這一過程中，應該引導學生學會用數(shù)學的眼光觀察，用結構化、系列化、一般化的思維方式推理和抽象，進而選擇正確的數(shù)學知識和技能加以靈活應用。

1.學會用數(shù)學化的眼光觀察

所謂數(shù)學化的眼光，主要是指教師引導學生從眾多的問題信息中，準確地捕捉具有建模意義的、可操作的數(shù)學信息，并能夠利用學生已有知識經驗進行數(shù)學思維。這種數(shù)學化其實就是一種數(shù)學直觀思維，是建立在細致的數(shù)學觀察基礎上的一種基本思維方式，它是學生完成數(shù)學建模不可或缺的能力基礎，需要在日常教學中根據(jù)級段的不同有意識地逐步培養(yǎng)。如在四年級學習了“垂直和平行”以后，讓學生觀察教室中的四個墻角，分別有幾條垂線？幾條平行線？學生在觀察完一個墻角的基礎后，對比發(fā)現(xiàn)相鄰的兩個墻角中還有垂線和平行線，繼續(xù)深入觀察，發(fā)現(xiàn)相對的兩個墻角也有平行情況出現(xiàn)。在觀察對比的基礎上學生思維空間由兩維到三維逐漸拓展，這里數(shù)學化的觀察體現(xiàn)的漓淋盡致。

2.學會用結構化的思維進行訓練

所謂結構化的思維，主要是指學生在建模教學中能夠從現(xiàn)實原型抽象出數(shù)學結構，并且能夠掌握數(shù)量關系的主干，形成以簡馭繁的思路，在實際教學中往往會產生“舉一反三”的效果。比如在“列方程解決問題”的教學中，可以先出示基本題“學生栽樹，前5天每天栽125棵，后3天每天栽95棵。一共栽了多少棵？”學生解答完畢后，教師提出改編要求：請改編成求已知條件的問題。學生對于基本題中原來的條件和問題進行了充分的分析，發(fā)現(xiàn)無論怎樣變化，基本題的數(shù)量關系就好比是大樹的主干，是學生改編成列方程解決問題的根本。最后，教師在學生充分討論的基礎上，引導學生總結出本題的數(shù)量關系：五個不同的實際問題具有結構性的內在聯(lián)系，它們的數(shù)量關系（數(shù)學結構）都是“兩積之和”。

3.學會用系列化的思維進行拓展

所謂系列化的思維，主要是指學生在建模教學中能夠對已經抽象出的數(shù)學模型進行變式，讓學生通過比較每種情況之間的聯(lián)系，加深對數(shù)學模型概念的認知，形成網狀知識結構，豐富學生數(shù)學基本活動經驗，形成一定的數(shù)學思想方法。比如蘇教版《數(shù)學》三年級“間隔排列”一課，在學生通過觀察發(fā)現(xiàn)間隔排列的一般規(guī)律（植樹問題的模型）后，教師提出問題：“把□與○一個隔一個地排成一行，如果□有6個，○最少需要多少個？最多需要多少個？”通過擺一擺、畫一畫，讓學生體會數(shù)學模型的其他變式：（1）兩端物體如果都是□，則○有6-1=5（個）；（2）兩端物體不同，如果分別是□與○，則○有6個。至此，教師沒有停止，而是繼續(xù)提問：如果把○放在前面呢？可能會出現(xiàn)哪些情況？學生拿出學具拼一拼、擺一擺，進一步感受數(shù)學模型的內涵，最后教師幫助學生梳理總結一下數(shù)學模型的各種情況。這樣的教學可以最大限度地整合各種數(shù)學問題，形成問題鏈，形成系列化的思維拓展資源，幫助學生建構自己的知識體系。

4.學會用一般化的思維進行概括

所謂一般化的思維，主要指學生在建模教學中能夠從一個問題的解決，總結概括出一類問題解決的數(shù)學模型，并且能夠進行推廣應用。這是當前小學數(shù)學教學一直忽視和欠缺的一個問題。究其根源，主要是我們常常低估小學生的潛能，對于學生的最近發(fā)展區(qū)認識不到位，所以在很多需要我們進行一般化教學處理的時候，大部分教師往往選擇放棄。其實，一般化的教學處理往往能夠讓學生進一步感受數(shù)學模型的應用價值。比如蘇教版《數(shù)學》五年級上冊“用字母表示數(shù)”的練習課，教師出示情境圖：每個足球a元，5個足球一共（ ）元？學生得出5a元后，教師將情境圖去掉，你能用自己的語言說一說5a還可以表示什么嗎？大部分學生能夠結合自己的知識經驗，用具體的數(shù)量說明問題。最后，教師組織學生總結出這樣的數(shù)量關系就是“總價=單價×數(shù)量”。在一般化教學理念的指引下，我們可以進一步推廣：還可以找到類似的數(shù)量關系嗎？你能用一個具體的式子表示嗎？學生很快就可以說出“總量=每份量×份數(shù)”“工作總量=功效×時間”等。實踐表明，這樣的教學處理，有利于提高學生學習數(shù)學的興趣和應用意識，也有助于學生初步形成模型思想。

三、優(yōu)化促進學生數(shù)學建模的應用

學生建模學習的落腳點最終要回到應用中，所以，在建模教學中必須重視學生利用數(shù)學模型進行實際問題求解的應用，積累數(shù)學活動經驗，形成一些解決問題的基本策略，體會數(shù)學思想方法的應用價值。

1.在應用過程中注重培養(yǎng)學生的符號意識

小學數(shù)學教材中常用的語言表現(xiàn)形式主要有文字、符號、圖形三種。隨著學生年齡的增長以及學段的升高，學生學習過程中會出現(xiàn)文字語言逐漸減少，符號語言增多的趨勢。因此，在建模應用的過程中，教師應引導學生在解決問題的過程中嘗試用符號語言表達、解釋數(shù)學模型，從而初步培養(yǎng)學生的符號意識。在低年級解決問題的教學中，我們主要讓學生列一步計算或者兩步計算的算式來解決問題，而在中年級解決問題的教學中，學生就可以在分步列式計算的基礎上嘗試列綜合算式解決問題，到高年級解決問題的教學中，則主要讓學生根據(jù)數(shù)量關系式直接列綜合算式或者方程解決問題。

2.在應用過程中注意培養(yǎng)學生的方程、函數(shù)思想

3.在應用過程中注意培養(yǎng)學生的幾何直觀能力

小學階段學生的思維特點以直觀形象思維為主，輔以抽象邏輯思維。所以在應用數(shù)學模型解決數(shù)學問題的過程中，教師應該重視學生幾何直觀能力的培養(yǎng)，讓學生能夠在數(shù)形結合中體會模型思想的內涵和外延。如六年級學生在“數(shù)與形”一課認識三角形數(shù)和正方形數(shù)以后，教師設計了這樣的練習：到苗族旅游參加長桌宴，1張桌子可以坐6人，兩張桌子可以坐10人，3張桌子可以坐14人。照這樣計算，如果旅游團有50個人，需要擺多少張桌子？

思考之后，學生逐漸發(fā)現(xiàn)：如果增加1張桌，可多坐4人。可是長桌張數(shù)與人數(shù)之間的數(shù)量關系卻比較難找。教師適時組織學生列表，數(shù)形結合后，學生就可以找出數(shù)量關系以及各種變式：總人數(shù)=長桌張數(shù)×4+2，長桌張數(shù)=（總人數(shù)一2）÷4等。由此可見幾何直觀能力在學生建模應用過程中有著巨大的作用，應該被一線教師重視并加以實踐和應用。

小學階段的數(shù)學建模教學目前依然處在探索階段，我們應該激活小學生的建模潛能，為學生的數(shù)學建模學習搭建平臺，促進其數(shù)學學科核心素養(yǎng)的全面提升。

參考文獻

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[3] 王永春.小學數(shù)學與數(shù)學思想方法.上海：華東師范大學出版社，2014.

[責任編輯：陳國慶]