數學建模過程中的抽象化原則

吳青

數學知識來源于生活，而我們學習數學的最終目的，也是為了能夠靈活運用所學的數學知識去解決生活中的實際問題。但事實上，我們所學的數學知識和生活實踐之間還存在著一段距離，因為我們在數學課堂上所呈現的問題，都不是生活問題的本來面目，而是經過一定抽象和概括的數學問題，幾乎沒有或者只有很少的無關干擾信息，所以學生解決這些問題時，能夠比較方便地找到所需信息，并順利求解。但是，真正的生活問題含有大量的無關信息，帶有更多的直觀、形象性，甚至看起來與數學似乎沒有絲毫聯系，此時就需要我們能夠敏銳地捕捉其中的數學信息，將其抽象為數學問題，并使之得到解決，這就是數學建模的過程。數學模型就是對實際問題進行分析、簡化、抽象后所得出的數學結構，它是使用數學符號、數學表達式以及數量關系對實際問題簡化的、本質的描述。

在數學建模過程中，比較關鍵的一點就是需要對實際問題進行分析、簡化，并經過一定的抽象，從而得出相應的數學模型。對于具體的生活問題，我們需要根據不同的實際情況來進行適當的抽象。下面就以蘇教版《數學》四年級下冊“用數對確定位置”一課為例，來談談數學建模過程中的抽象化。

一、直覺性

我們在分析生活問題時，可以依據自己的直覺進行抽象，其中包括人們默認的一些方法和原則。

比如在這節課的一開始，讓學生進行“心有靈犀猜猜猜”的游戲，出示一排小動物，老師指定其中一個小動物的位置（比如小兔）并告訴一位學生，然后讓他用一個手勢告訴其他學生這個小動物的位置，但是不能說話，看誰能理解他所做出的手勢，準確找到這個小動物。這位學生用手勢做出了一個數字“4”，意思很明確，表示第4個，幾乎所有的孩子都能明白，是從左往右的第4個。接下來再出示6×6的小動物方陣，同樣指定其中一個小動物并告訴一位學生，這時他用兩只手分別做出了4和3的數字，可是下面的學生卻出現了不同的理解，得到了好幾個不同的位置。

在這個片段中，面對一排動物和一個動物方陣這樣的生活情境，學生都選擇將小動物的位置抽象成一個或兩個數字，這種抽象是自發的，是在無法用言語表達時學生的直覺。這樣一個簡單的游戲讓學生在無形之中經歷了形象問題抽象化的過程，初步感悟到數學建模的思想。而學生在依據自己的直覺進行抽象時，都遵循了自己的生活習慣。當只有一排小動物時，我們一般都會從左往右看，從左往右數，所以作出的手勢4就表示從左往右數第4個。而當小動物排成一個方陣時，有的學生類比為一頁書上的漢字，我們在看書時，總是從上往下看，從左往右看，因此，作出的手勢4和3，其實表示從上往下第4行，從左往右第3個，有的學生類比成排隊做操，我們會先數是第幾列，再數這一列的第幾個。因此就出現了不同的理解。

不管是哪一種直覺想法，都是學生在嘗試著將生活問題抽象成數學問題，這就是數學建模的開始。所以，我們在遇到生活問題時，首先可以考慮依據學生的直覺，依據自己的生活習慣來進行抽象。

二、統一性

因為每個人的生活習慣不同，直覺思維不同，所以每個人依據自己的直覺抽象出來的模型可能與別人并不相同，在與別人交流時會出現一些困難和錯誤。但是，數學模型應該是一個統一的數學結構，它應該有固定的形態，應該能被所有人理解和接受，而不會產生歧義。所以，在生活問題抽象的過程中，還必須要注意統一性原則，以便于交流、便于推廣。

比如在這節課上，針對剛才第二次猜小動物位置時出現的幾種情況，分別讓學生說說自己是怎么想的，有的是先行后列，有的是先列后行，有的是從上往下，有的則是從下往上……正是由于大家對兩個數字有著不同的理解，所以得到了不同的位置。接下來，教師讓同桌兩人先商量一下，然后再進行游戲，一人比劃，另一人猜，這時候同桌的兩人都能猜對。詢問緣由，原來是兩個人相互之間已經約定了一個規則，按照規則來猜，當然都能猜對位置。這比第一次抽象的程度更高，思維的要求也更高。這時候抽象成的數學模型，在兩個人之間就沒有歧義，是他們共同認可的。再進一步，怎樣才能讓全班同學都能一下子就猜對呢？很簡單，只要在全班范圍內統一一個規則，就可以了。

這次抽象，是在個人直覺抽象的基礎上，在和同伴交流的過程中，為了統一規則而進行的抽象，經過這樣的抽象所得出的數學模型，就能夠被大家所接受。數學家用數對來表示位置，也正是規定了一個統一的規則，這樣大家就能明白一個數對所表示的位置。

三、簡化性

數學是追求簡約的科學，力圖用最簡潔的文字或符號，來表示復雜的實際內容。在將實際問題進行抽象時，同樣需要考慮簡化性原則。

在這節課上，為了讓學生理解數學家所制定的數對的規則，接下來教師出示了教室的座位圖。在教室里，老師站在講臺的位置觀察下面的學生，就是按照第幾組第幾個的方法進行描述的，也就是先數列后數行。數學家們所確定的原則，正和教室里的座位圖一致，所以接下來將教室里的每一位同學都抽象成一個圓點，將座位圖抽象成點陣圖，這樣學生就能理解，為什么數學家制定的規則是先列后行，從前往后數（在圖上也就是從下往上數）。

將座位圖抽象成點陣圖，具體的生活場景抽象成了數學元素，保持不變的是它們的規則，但是更加簡潔了。我們在將生活問題進行抽象時，同樣也可以采用這樣的簡化性原則，去除那些無關緊要的因素，保留最主要、最根本的內容，從而將生活問題所要表達的內容抽象成數學問題表達出來。

接下來，針對“第4列第3行”這樣的數對表述方式，又一次進行了簡化。教師告訴大家，這個小動物方陣中，有些小動物將要參加接下來的動物運動會，你們趕快把它們的位置記錄下來，可不能記錯了。于是教師開始報一串數對，開始的時候速度很慢，學生還能把每一個字都記錄下來，但是接下來報的速度越來越快，根本就來不及記錄。但是有許多同學把這些小動物的位置準確地記錄了下來，原來他們都自覺地采用了簡化原則，只是把表示列和行的兩個數據記錄下來。

教師用這種方法，“逼著”學生完成了數學建模道路上的又一次抽象化。確實，數學家們也是把列和行的兩個數據保留下來組成一個數對，其他那些無關緊要的文字都不需要了，因為大家都知道是“先列后行”，所以順序上不會出現錯誤的理解。至于用小括號將兩個數括起來，則是形式上的表達方式，為了不和其他數學符號混淆而已，沒有特別的含義。

從這兩個片斷中可以看出，在把生活問題抽象成數學模型時，簡化是一個很不錯的方法，可以使抽象的數學結構更加簡潔，更加符合數學模型的要求。

四、對抽象之后的再抽象

數學模型是高度抽象的，有時候一個模型中可能會包括許多具體的模型，所以我們在對生活問題抽象得出數學模型之后，要及時回顧反思，將其上升到一個新的高度，更加抽象概括地表達出來。

在課堂上，抽象出數對的模型后，教師引導學生回顧生活中有哪些地方也用到了類似的表達方式，結果發現飛機票、國際象棋棋盤、地球經緯線等也是用兩個數據來確定位置。在對這些具體模型進行對比分析之后，有學生認為，這些方法都是根據兩條不同的直線相交于一點來確定位置的。這樣，就把這些數學模型的共性揭示出來了，由此我們就可以抽象出更為一般的數學模型。

接下來教師和學生又一起回顧分析了一維隊列和二維點陣中確定位置的方法，發現在一維隊列中只用一個數據就可以確定位置，而二維點陣中需要用兩個數據來確定位置，那么在魔方這樣的三維空間中，要確定某一個小方塊的位置，需要幾個數據呢？通過這樣的反思分析，數對這個數學模型又經過了進一步的抽象，從而向更一般的數學模型發展。

從上面的分析可以看出，“用數對確定位置”這一課在進行數學建模的過程中，經歷了四次不同水平的抽象，由低到高逐步展開，層層推進，充分體現出數學建模過程中抽象化的不同要求。

[責任編輯：陳國慶]