在“厚重課堂”中培養學生的數學核心素養
——《斐波那契數列》教學與思考

張紅娜

一、提出問題

師：你們知道上下樓梯中蘊含的數學問題嗎？下面我們以上樓梯為例，來看一個有關的數學問題：一段樓梯有10級臺階，規定每一步只能跨一級或兩級。要登上第10級臺階有幾種不同的走法？

二、解決問題

師：大家先猜一猜要登上第10級臺階會有多少種不同的走法？

生：4種、10種、36種……

師：究竟有多少種需要我們共同來研究，要一下子找出從第1級到第10級臺階的所有走法，你們感覺怎么樣？

生：很不容易。可以先把臺階數減少一些，比如先看看從第1級到第5級臺階有多少種走法，再慢慢增加。

師：這位同學說的是一種重要的研究問題的方法：對一些直接研究難度大的問題，我們要學會從一些小的數據入手，把復雜問題變得簡單化。

（第1、2、3級臺階方法略）

師：登上第4級臺階共有幾種走法？

（學生出現不同的答案）

師：問題難度增加了，出現了不同的意見。遇到這樣的情況時，我們應該怎么辦？

生：應該聽聽他們都是怎樣想的，看誰說的有道理。

師：很好，先請答案是“4種”的同學來說說看。

生：因為前面到第1級、第2級、第3級臺階的走法分別是1種、2種、3種，所以到第4級臺階我推出應該是4種。

師：這位同學是借助已經有的學習經驗來判斷。從登上前3級臺階的走法中發現了存在的規律，然后借助規律來推理出較復雜的問題的答案。

生：這樣推理不對！我把情況一種一種地列舉出來了，是5種。

師：這位同學是一一列舉出答案的，我們親自動手找找看，再與小組同學交流，看看到底有多少種方法。

（教師巡視并收集不同的列舉方法，在黑板上展示）

師：結果怎么樣？到底有幾種走法？

生：5種！

師：這個答案讓我們意識到，解決這個問題不能匆忙地進行推理和判斷。剛才大家發現的所謂“規律”在這里其實是不成立的。那能說這個問題中就不存在規律嗎？

生：不能。也許還有別的規律呢！

師：老師想看看同學們剛才列舉出的方法，想聽聽你們的想法。好嗎？

組1：我們小組找出了5種不同的走法，用圖畫出來是這樣的：

師：這個小組用圖示演示出他們的想法，非常形象，一目了然！

組2：我們是用文字表述的：一級、一級、一級、一級的；兩級、兩級的；兩級、一級、一級的；一級、一級、兩級的；一級、兩級、一級的。

師：這一小組是用文字把每一種走法描述出來了，同樣很清楚地表示了每種走法。

組3：我們和前面兩個小組的想法是一樣的，一共找出了5種不同的走法，只不過我們是用數字表示一級或兩級。“1、1、1、1；1、1、2；1、2、1；2、2；2、1、1”。

師：你們覺得第三組的方法怎么樣？

生：這樣記錄簡單明了，是個好方法。

（其他方法略）

師：同學們用不同的方法都列舉出了登上第4級臺階共有5種不同的走法。如果登上第5級臺階呢？走法是不是會更多？

生：是。

師：怎么辦?是一一列舉找答案，還是依據經驗來判斷？

（受剛才學習的影響，大部分學生表示采用一一列舉出各種方法找答案，并立即開始了操作）

師：有多少種走法？

生：有 7種，有 8種，有 9種……

師：為什么出現了不同的答案？難道一一列舉的方法也出問題了么？

（請不同答案的學生分別進行展示，得出結果為8種）

師：通過剛才的觀察，你們發現了什么？在列舉的過程中，遇到了什么問題？有什么感受？

生：臺階多了就不好列舉了。不是重復，就是漏掉。

師：看來問題難了、方法多了，列舉的方法就不容易了。我們現在研究登上第5級臺階就要列舉出8種方法，如果登上第10級呢？

生：就更不容易了！

師：愿意繼續列舉下去嗎？

生：（大部分面露難色）不愿意。

師：剛才大家在埋頭列舉的時候，有幾個同學卻沒有這樣做，他們已經有了新發現并且悄悄地告訴了我，你們想知道嗎？

師：這次掌握在少數人中的，還真不知道是不是真理呢，同學們可要認真辨別。

（出示課件，學習過程中隨機生成表格）

臺階數　1　2　3　4　5　……走法　1　2　3　5　……

生：我是根據登上前4級臺階的方法發現了其中的規律，然后根據規律推理出登上第5級臺階有8種走法。

生：從表中看，登上第3級的走法是第1、2級走法的和，第4級的走法正好是第2、3級走法的和。照這樣的規律，登上第5級臺階的走法就應該是第3、4級臺階走法的和，也就是3+5=8（種）。

師：你們認可他的想法嗎？

生：認可！

師：登上第6級臺階有幾種不同走法呢？

生：有 13 種，5+8=13，是第4、5級走法的和。

師：登上第 7級、8級、9級呢？

（學生回答略）

師：登上第10級呢？

生：89種。

師：和我們開始的猜測有出入嗎？想到有這么多種走法沒有？

生：這么多種走法，根本沒有想到。

生：用列舉的方法難度不可想象啊！

師：是啊，為什么這么難的問題，同學們卻很簡單地就解決了？

生：因為我們發現了其中的規律，并且利用了規律。

師：遇到復雜問題，要先從簡單中發現規律，然后再利用規律解決問題，這樣再難的問題也會變得簡單。

三、延伸問題

師：登上咱們這座教學樓的二樓共有29級臺階，如果還規定一步可以跨一級或兩級臺階，又會有多少種不同的走法呢？（課件順次出示）

?

師：有什么感覺？

生：太不可想象了！

師：這些數據讓我們再次見識到了數學規律的神奇！

四、提升問題

師：再請同學們來觀察發現的這一組有規律的數：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……數學上把這組數叫數列。（板書：數列）

師：其實在很早以前就有人發現了類似的數列。這個數列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……

觀察：我們的發現與他有什么不同？

生：在這個數列的前面多了一個1。

師：前面增加一個1，數列還有這樣的規律嗎？

生：有。前兩個數的和正好是第三個數。

師：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……這個數列叫斐波那契數列。（板書：斐波那契）

師：斐波那契數列的特點就是從第三項起，每一項的數都是它前面兩項的和。這個數列是斐波那契發現的，人們為了紀念他，所以以他的名字命名。我們一起來詳細了解一下有關情況。

（課件出示）

“斐波那契是歐洲中世紀的數學家，他對歐洲的數學發展有著深遠的影響。他出生于意大利的比薩，曾經游歷過世界上許多地方。1202年，斐波那契出版了《算盤書》，在這部名著中，他首先引入了阿拉伯數字，將十進制計數法介紹到歐洲。在此書中他提出了有趣的兔子問題。”

師：你對這段文字中的什么內容感興趣？

生：什么是兔子問題？

師：是啊，兔子問題與斐波那契數列有什么聯系呢？請繼續看。

“斐波那契數列又因數學家斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，所以又被稱為‘兔子數列’。”

師：斐波那契是怎么從兔子的繁殖得到了這個數列，你們還有興趣了解嗎？

生：（興趣盎然）有！

師：下面我們就一起來關注“兔子問題”。

（課件出示）

“假定一對剛出生的小兔一個月后就能長成大兔，再過一個月便能生下一對小兔，并且此后每個月都生一對小兔。一年內沒有發生死亡。那么，由一對剛出生的兔子開始，十二個月后會有多少對兔子呢？”

師：大家都明白題意吧？我們逐一來分析：（配上課件演示）第一個月什么狀態？

生：一對小兔子。

師：也就是一對兔子。（板書：1）第二個月呢？

生：一對大兔子。

師：還是一對兔子。（板書：1）第三個月呢？

生：是一對大兔子和一對小兔子。

師：有兩對兔子。（板書：2）第四個月？

生：是兩對大兔子和一對小兔子。

師：有三對兔子。（板書：3）五個月、六個月……

生：5對、8對、13對……144對。

師：十二個月后有144對兔子。斐波那契就是通過兔子的繁殖發現了這樣一組有規律的數列。所以，這個數列又叫“兔子數列”。

五、拓展問題

師：自然界中有很多現象都與斐波那契數列所反映的規律驚人地一致！老師也搜集到了一個，我們一起來看這是什么？

生：海螺。

師：這些大大小小、形態各異的海螺都有一個殼，殼的背部都有一條線，你們知道它叫什么線？

生：螺線。

師：這些螺線描述下來大致是這樣的。

師：想不想知道是怎樣畫成的？（課件動畫演示）

師：如果最小正方形的邊長為1，它下面的正方形邊長是幾呢？

生：2。

師：左邊的正方形邊長是幾呢？

生：3。

師：請同學們依次讀出正方形的邊長。

生：1、1、2、3、5、8。

師：如果接著往下畫，下面正方形的邊長是幾？

生：13。

師：同學們，你們又有什么感覺？

生：太神奇了！

生：這樣下去，就是斐波那契數列了！

師：這只是大自然中的一種現象。其實，斐波那契數列在現實生活中還有更多的應用。真說不清是生活成就了數學，還是數學創造了生活！請同學們課下到網上了解更多有關斐波那契數列的知識，相信你們對數學的感受會更深刻！