度拓展跨越斷層
——關(guān)于“圖形的旋轉(zhuǎn)”整體教學(xué)的認(rèn)識與思考

任　寧　楊紅娟

從幾何教學(xué)改革來看，圖形變換是新增內(nèi)容，它改變了人們用靜止的觀點(diǎn)研究幾何的傳統(tǒng)方法，開啟了用運(yùn)動的觀點(diǎn)研究幾何問題的視角。圖形變換可以分為剛性變換和相似變換，小學(xué)教材中的對稱、平移和旋轉(zhuǎn)就是剛性變換，圖形的放大和縮小則是相似變換。圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形的三種剛性變換方式之一，包含旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度三要素。本文將從整體教學(xué)的思路入手，談?wù)勗谛W(xué)如何對旋轉(zhuǎn)中心的教學(xué)進(jìn)行適度拓展，以期跨越教材編排的斷層，更好地銜接前后的學(xué)習(xí)通道。

教材有什么

在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)修訂教材中，涉及旋轉(zhuǎn)知識的內(nèi)容主要如下：

所在冊數(shù)及單元　相關(guān)內(nèi)容二下《圖形的運(yùn)動（一）》　直觀感受生活中旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象。四上《角的度量》　利用動態(tài)方式對角進(jìn)行定義。五下《圖形的運(yùn)動（三）》　認(rèn)識旋轉(zhuǎn)三要素，能夠在方格紙上對簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°。五下《圖形的運(yùn)動（三）》　能夠借助操作發(fā)現(xiàn)“旋轉(zhuǎn)對稱圖形”的特點(diǎn)。六下《圓柱和圓錐》知道沿著長方形的一條邊或直角三角形的一條直角邊旋轉(zhuǎn)，能形成圓柱或圓錐。

在人教版教材編排中，二下的內(nèi)容體現(xiàn)了課標(biāo)對第一學(xué)段的要求：初步感受旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，認(rèn)識生活中的旋轉(zhuǎn)。五下的內(nèi)容則是課標(biāo)對第二學(xué)段的要求：進(jìn)一步認(rèn)識旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上將簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°。而四上《角的度量》單元中，對平角和周角的動態(tài)定義，則是對五下學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)知識的鋪墊。五下的這個(gè)“有關(guān)旋轉(zhuǎn)對稱圖形”練習(xí)的編排，則是對旋轉(zhuǎn)中心位置的拓展，從例題的“以圖形頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心”轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙詧D形的中心點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心”。最后六下的《圓柱和圓錐》單元的相關(guān)內(nèi)容，則是突破了平面幾何的范疇，引領(lǐng)學(xué)生溝通平面圖形和立體圖形之間的關(guān)系，把旋轉(zhuǎn)中心從點(diǎn)拓展到了線。

翻閱其他版本教材的例題編排，考慮到學(xué)生的接受程度和理解能力，一般只要求學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)中心在圖形頂點(diǎn)上的旋轉(zhuǎn)方式。但是考慮到在生活中、數(shù)學(xué)中的旋轉(zhuǎn)變式很多，因此各版本的教材都以不同的方式對旋轉(zhuǎn)中心的位置進(jìn)行了拓展，具體如下：北師大版六下第三單元《圖形的運(yùn)動》第29頁，旋轉(zhuǎn)中心在線段上任意一點(diǎn)。北師大版六下第三單元《圖形的運(yùn)動》第38頁，旋轉(zhuǎn)中心在圖形內(nèi)部任意一點(diǎn)。浙教版四上第13小節(jié)《圖形的旋轉(zhuǎn)》第46頁，旋轉(zhuǎn)中心在圖形中心點(diǎn)或圖形外部。浙教版四上第13小節(jié)《圖形的旋轉(zhuǎn)》第47頁，旋轉(zhuǎn)中心在圖形中心點(diǎn)和頂點(diǎn)。

由此可以看出，北師大版和浙教版教材對于旋轉(zhuǎn)中心的拓展力度更大，出現(xiàn)了以線段上任意一點(diǎn)、六邊形內(nèi)任意一點(diǎn)、圖形中心點(diǎn)、圖形外一點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的多種情況，除了北師大版要求學(xué)生畫出以線段上任意一點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)后的圖形，其余各種情況都是以讓學(xué)生欣賞和實(shí)物操作、語言描述為主。教材通過動手操作、觀察欣賞等方式，一方面開闊了學(xué)生的視野，使學(xué)生能夠?qū)ι钪械男D(zhuǎn)現(xiàn)象有更加全面的認(rèn)識；另一方面也為了后續(xù)相關(guān)知識的學(xué)習(xí)打下一定的基礎(chǔ)；最后讓學(xué)生在觀賞過程中感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，從而激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正興趣。

學(xué)習(xí)缺什么

筆者以旋轉(zhuǎn)中心的位置為關(guān)注點(diǎn)，對人教版教材相關(guān)例題、習(xí)題進(jìn)行歸類統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)中心的位置主要有以下幾類：

旋轉(zhuǎn)方式　中心點(diǎn)的位置旋轉(zhuǎn)中心在圖形上在對稱軸交點(diǎn)處（圖形中心）圖形內(nèi)部任意位置旋轉(zhuǎn)中心在圖形外部繞線旋轉(zhuǎn) 旋轉(zhuǎn)中心是平面圖形的一條邊（其他情況暫不涉及）繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)中心在圖形內(nèi)部在圖形頂點(diǎn)其他任意位置

對五年級的學(xué)生來說，對以上幾種情況有不同的要求：

1.“繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)中的旋轉(zhuǎn)中心在圖形邊的轉(zhuǎn)折點(diǎn)”是必須掌握的，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確要求：以點(diǎn)為中心，在方格圖內(nèi)把一個(gè)簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°。

2.“繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)中的旋轉(zhuǎn)中心在對稱軸的交點(diǎn)處”屬于理解的范疇，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求：學(xué)生不必知道“旋轉(zhuǎn)對稱圖形”的概念，但是要求學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)“旋轉(zhuǎn)對稱圖形”的特點(diǎn)，并用自己的語言描述這些圖形繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)多少角度后，還能與原來圖形重合。

3.“其他繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”只需了解和欣賞，看到圖形知道這是由某個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)得到即可。

4.“繞線旋轉(zhuǎn)”是后續(xù)知識學(xué)習(xí)的需要，提前簡單滲透，避免出現(xiàn)前后學(xué)習(xí)通道的斷裂。

我們發(fā)現(xiàn)在五年級下冊學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，要求學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)三要素并能夠在方格紙上將一個(gè)簡單圖形繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°。包括此前四年級上冊出現(xiàn)的角的動態(tài)定義，都是以圖形的邊界上的一個(gè)點(diǎn)（即頂點(diǎn)）為中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的。因而，當(dāng)學(xué)生在五下接觸到“旋轉(zhuǎn)對稱圖形”繞著圖形的中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，很多學(xué)生就不知所措。進(jìn)而，在六下接觸到“長方形繞著它的長旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱”之類的描述時(shí)，更是無法在頭腦中建立起相關(guān)的表象。雖然只是要求理解或者了解的內(nèi)容，但是從中可以看出從“繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”到“繞著中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”再到“繞著直線旋轉(zhuǎn)”，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)出現(xiàn)了明顯的斷層，影響了學(xué)習(xí)過程的順利展開。因此就需要教師精心設(shè)計(jì)，在原有教材基礎(chǔ)上適度拓展，對經(jīng)驗(yàn)的斷層進(jìn)行修補(bǔ)。

教學(xué)補(bǔ)什么

綜合各版本的教材內(nèi)容編排，吸取各方的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合教材前后的內(nèi)在聯(lián)系，我們認(rèn)為在常規(guī)的例題教學(xué)之外，還可以從以下幾個(gè)方面對旋轉(zhuǎn)中心的教學(xué)進(jìn)行拓展。

一、從“線”出發(fā)，拓展旋轉(zhuǎn)中心種類

小學(xué)階段的“圖形的旋轉(zhuǎn)”是以平面圖形的旋轉(zhuǎn)為主，平面圖形的旋轉(zhuǎn)又是建立在線段的旋轉(zhuǎn)基礎(chǔ)之上。那么，在線段的旋轉(zhuǎn)中，我們就可以讓學(xué)生感受旋轉(zhuǎn)中心不同帶來的旋轉(zhuǎn)結(jié)果的變化。

以線段AB為例，可以選擇點(diǎn)A、B、O為旋轉(zhuǎn)中心，分別畫出順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形。讓學(xué)生先想象旋轉(zhuǎn)后的線段位置，用手勢比劃，然后指名學(xué)生上臺借助小棒進(jìn)行操作，最后用課件演示確認(rèn)。進(jìn)而，教師可以讓學(xué)生思考，如果線段AB繞著點(diǎn)C（線段延長線上一點(diǎn)）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，會是什么結(jié)果？也可以讓學(xué)生借助小棒操作，然后進(jìn)行課件演示。

通過以上環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生明白不同的旋轉(zhuǎn)中心得到的結(jié)果是不一樣的，同時(shí)知道旋轉(zhuǎn)中心可以在線段上（包括線段的端點(diǎn)和線段的中間），也可以在線段外（基于學(xué)生的水平，這里只出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)中心在線段的延長線上，暫時(shí)不出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)中心在線段外任意一點(diǎn)），從而拓展學(xué)生的觀察視角。當(dāng)然，對于圖1、圖2的旋轉(zhuǎn)類型是要求學(xué)生掌握的，對于圖3、圖4這兩種類型只作了解即可。

二、以“面”溝通，聯(lián)結(jié)不同旋轉(zhuǎn)方法

基于學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平和教材的要求，我們要突出兩種旋轉(zhuǎn)中心的典型位置：第一種，教材例題要求的旋轉(zhuǎn)中心在圖形的轉(zhuǎn)折點(diǎn)上；第二種，旋轉(zhuǎn)中心在圖形內(nèi)的對稱軸交點(diǎn)處。前者是例題的類型：以點(diǎn)為中心，在方格圖內(nèi)把一個(gè)簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°。對這種旋轉(zhuǎn)中心的類型，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求的程度是“掌握”：不僅要求學(xué)生會用課本要求的語句清楚闡述圖形旋轉(zhuǎn)的過程，還要根據(jù)要求畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形。對于后者，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求是“理解”：學(xué)生不必了解“旋轉(zhuǎn)對稱圖形”的概念，但是要求學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)“旋轉(zhuǎn)對稱圖形”的特點(diǎn)，并用自己的語言描述這些圖形繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，還與原來圖形重合。

在方格圖內(nèi)把一個(gè)簡單圖形繞旋轉(zhuǎn)中心（圖形頂點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)90°，其基本方法是先將與旋轉(zhuǎn)中心相連的線段進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，然后將其余線段連接即可。所以，平面圖形的旋轉(zhuǎn)本質(zhì)上是線段的旋轉(zhuǎn)。在教學(xué)圍繞圖形的中心點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，借助實(shí)物圖形，學(xué)生能夠理解如何繞著中心點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，可是由于圖形的邊線沒有與旋轉(zhuǎn)中心相連，因而無法判斷出旋轉(zhuǎn)的角度，也很難畫出旋轉(zhuǎn)一定角度后的圖形。這時(shí)教師就要激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，既然圖形的邊線沒有與旋轉(zhuǎn)中心相連，我們就以與旋轉(zhuǎn)中心相連的對稱軸為參照物，觀察當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的圖形與原來的圖形重合時(shí)，相應(yīng)的對稱軸旋轉(zhuǎn)的角度，就是圖形旋轉(zhuǎn)的角度。進(jìn)而明白旋轉(zhuǎn)這個(gè)角度的倍數(shù)角也可以和原圖形完全重合。

通過對比讓學(xué)生明白，不管旋轉(zhuǎn)中心在圖形的頂點(diǎn)還是在圖形的內(nèi)部，圖形的旋轉(zhuǎn)最終是轉(zhuǎn)化為線的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行思考。

三、為“體”鋪墊，修復(fù)前后經(jīng)驗(yàn)斷層

在六下的《圓柱和圓錐》單元中，教材出現(xiàn)了以長方形的一條邊為軸旋轉(zhuǎn)形成圓柱和以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)形成圓錐的內(nèi)容，以此來凸顯平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系。在學(xué)習(xí)這個(gè)知識點(diǎn)的時(shí)候，不少學(xué)生無法在頭腦中建立正確的表象，想象不出長方形繞一條邊旋轉(zhuǎn)會形成怎樣的圖形。從前面的測試情況來看，學(xué)生憑生活經(jīng)驗(yàn)認(rèn)同這是旋轉(zhuǎn)，可是卻無法找到旋轉(zhuǎn)中心。顯然是由于繞“點(diǎn)”旋轉(zhuǎn)和繞“線”旋轉(zhuǎn)之間出現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)斷層，沒有進(jìn)行有序地銜接，導(dǎo)致學(xué)生無法建立有效的認(rèn)知。為了修復(fù)這個(gè)經(jīng)驗(yàn)的斷層，筆者認(rèn)為可以從以下兩個(gè)角度進(jìn)行嘗試。

1.借助實(shí)物圖形，直觀感知。

借助生活中的旋轉(zhuǎn)門圖片，首先讓學(xué)生思考左圖中的門框是怎樣旋轉(zhuǎn)的，在明確門框是繞著中間門軸上的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，教師直接采用利用課件動畫出示多條線段，明確這些線段都是以左邊端點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心；再用多條長度相同、以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的線段進(jìn)行疊加形成一個(gè)長方形，那么旋轉(zhuǎn)中心“點(diǎn)”疊加形成了“線”；最后，線段組成的長方形圍繞旋轉(zhuǎn)中心——“線”旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱。

2.通過實(shí)物操作，親身體驗(yàn)。

對于六下教材中的這兩個(gè)操作活動，可以在五下學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)的時(shí)候讓學(xué)生先行嘗試。教師可以先提供給學(xué)生一個(gè)長方形，按照書上的方式進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，思考旋轉(zhuǎn)后形成的是什么形狀的圖形？而后繼續(xù)讓學(xué)生思考，還可以怎么旋轉(zhuǎn)形成圓柱。從而讓學(xué)生明確可以繞著長或?qū)掃M(jìn)行旋轉(zhuǎn)，也可以繞著兩條對稱軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，形成圓柱。同理，在讓學(xué)生明確繞著直角三角形的兩條直角邊旋轉(zhuǎn)可以形成圓錐之后，也應(yīng)該讓學(xué)生通過探究發(fā)現(xiàn)繞著等腰三角形的對稱軸旋轉(zhuǎn)也可以形成圓錐。從而豐富學(xué)生對不同的旋轉(zhuǎn)方式的認(rèn)知，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

圖形的旋轉(zhuǎn)，在各種公開場合的研討課、展示課上，課的結(jié)尾總有教師播放各種精美的圖片讓學(xué)生欣賞，以示拓展之意。但也只是停留在淺層次的欣賞，留給學(xué)生一時(shí)的驚嘆、贊美，而缺乏了數(shù)學(xué)的意味。我們其實(shí)可以在教學(xué)中以“旋轉(zhuǎn)中心”作為拓展點(diǎn)，出現(xiàn)各種不同位置旋轉(zhuǎn)中心的圖形，豐富學(xué)生的表象，讓學(xué)生在欣賞、操作的過程中深化對旋轉(zhuǎn)的認(rèn)知。進(jìn)而，我們還可以適度溝通前后知識之間的聯(lián)系，從繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)拓展到繞線旋轉(zhuǎn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，為立體圖形和平面圖形的溝通奠定基礎(chǔ)。依上述方式操作，既能夠使原來旋轉(zhuǎn)板塊呈點(diǎn)狀的內(nèi)容連成一個(gè)整體，也可以使我們的教學(xué)形成一個(gè)整體的思路，同時(shí)讓學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程更為系統(tǒng)流暢。