度拓展跨越斷層
——關于“圖形的旋轉”整體教學的認識與思考

任　寧　楊紅娟

從幾何教學改革來看，圖形變換是新增內容，它改變了人們用靜止的觀點研究幾何的傳統方法，開啟了用運動的觀點研究幾何問題的視角。圖形變換可以分為剛性變換和相似變換，小學教材中的對稱、平移和旋轉就是剛性變換，圖形的放大和縮小則是相似變換。圖形的旋轉是圖形的三種剛性變換方式之一，包含旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度三要素。本文將從整體教學的思路入手，談談在小學如何對旋轉中心的教學進行適度拓展，以期跨越教材編排的斷層，更好地銜接前后的學習通道。

教材有什么

在人教版小學數學修訂教材中，涉及旋轉知識的內容主要如下：

所在冊數及單元　相關內容二下《圖形的運動（一）》　直觀感受生活中旋轉的現象。四上《角的度量》　利用動態方式對角進行定義。五下《圖形的運動（三）》　認識旋轉三要素，能夠在方格紙上對簡單圖形旋轉90°。五下《圖形的運動（三）》　能夠借助操作發現“旋轉對稱圖形”的特點。六下《圓柱和圓錐》知道沿著長方形的一條邊或直角三角形的一條直角邊旋轉，能形成圓柱或圓錐。

在人教版教材編排中，二下的內容體現了課標對第一學段的要求：初步感受旋轉的現象，認識生活中的旋轉。五下的內容則是課標對第二學段的要求：進一步認識旋轉，能在方格紙上將簡單圖形旋轉90°。而四上《角的度量》單元中，對平角和周角的動態定義，則是對五下學習旋轉知識的鋪墊。五下的這個“有關旋轉對稱圖形”練習的編排，則是對旋轉中心位置的拓展，從例題的“以圖形頂點為旋轉中心”轉變為“以圖形的中心點為旋轉中心”。最后六下的《圓柱和圓錐》單元的相關內容，則是突破了平面幾何的范疇，引領學生溝通平面圖形和立體圖形之間的關系，把旋轉中心從點拓展到了線。

翻閱其他版本教材的例題編排，考慮到學生的接受程度和理解能力，一般只要求學生理解旋轉中心在圖形頂點上的旋轉方式。但是考慮到在生活中、數學中的旋轉變式很多，因此各版本的教材都以不同的方式對旋轉中心的位置進行了拓展，具體如下：北師大版六下第三單元《圖形的運動》第29頁，旋轉中心在線段上任意一點。北師大版六下第三單元《圖形的運動》第38頁，旋轉中心在圖形內部任意一點。浙教版四上第13小節《圖形的旋轉》第46頁，旋轉中心在圖形中心點或圖形外部。浙教版四上第13小節《圖形的旋轉》第47頁，旋轉中心在圖形中心點和頂點。

由此可以看出，北師大版和浙教版教材對于旋轉中心的拓展力度更大，出現了以線段上任意一點、六邊形內任意一點、圖形中心點、圖形外一點為旋轉中心的多種情況，除了北師大版要求學生畫出以線段上任意一點為旋轉中心的旋轉后的圖形，其余各種情況都是以讓學生欣賞和實物操作、語言描述為主。教材通過動手操作、觀察欣賞等方式，一方面開闊了學生的視野，使學生能夠對生活中的旋轉現象有更加全面的認識；另一方面也為了后續相關知識的學習打下一定的基礎；最后讓學生在觀賞過程中感受數學的內在美，從而激發學習數學的真正興趣。

學習缺什么

筆者以旋轉中心的位置為關注點，對人教版教材相關例題、習題進行歸類統計分析，發現旋轉中心的位置主要有以下幾類：

旋轉方式　中心點的位置旋轉中心在圖形上在對稱軸交點處（圖形中心）圖形內部任意位置旋轉中心在圖形外部繞線旋轉 旋轉中心是平面圖形的一條邊（其他情況暫不涉及）繞點旋轉旋轉中心在圖形內部在圖形頂點其他任意位置

對五年級的學生來說，對以上幾種情況有不同的要求：

1.“繞點旋轉中的旋轉中心在圖形邊的轉折點”是必須掌握的，《數學課程標準》中明確要求：以點為中心，在方格圖內把一個簡單圖形旋轉90°。

2.“繞點旋轉中的旋轉中心在對稱軸的交點處”屬于理解的范疇，《數學課程標準》要求：學生不必知道“旋轉對稱圖形”的概念，但是要求學生通過實驗發現“旋轉對稱圖形”的特點，并用自己的語言描述這些圖形繞中心點旋轉多少角度后，還能與原來圖形重合。

3.“其他繞點旋轉”只需了解和欣賞，看到圖形知道這是由某個圖形旋轉得到即可。

4.“繞線旋轉”是后續知識學習的需要，提前簡單滲透，避免出現前后學習通道的斷裂。

我們發現在五年級下冊學習旋轉的時候，要求學生理解旋轉三要素并能夠在方格紙上將一個簡單圖形繞著頂點旋轉90°。包括此前四年級上冊出現的角的動態定義，都是以圖形的邊界上的一個點（即頂點）為中心進行旋轉的。因而，當學生在五下接觸到“旋轉對稱圖形”繞著圖形的中心點旋轉時，很多學生就不知所措。進而，在六下接觸到“長方形繞著它的長旋轉一周形成圓柱”之類的描述時，更是無法在頭腦中建立起相關的表象。雖然只是要求理解或者了解的內容，但是從中可以看出從“繞著頂點旋轉”到“繞著中心點旋轉”再到“繞著直線旋轉”，學生的經驗出現了明顯的斷層，影響了學習過程的順利展開。因此就需要教師精心設計，在原有教材基礎上適度拓展，對經驗的斷層進行修補。

教學補什么

綜合各版本的教材內容編排，吸取各方的教學經驗，結合教材前后的內在聯系，我們認為在常規的例題教學之外，還可以從以下幾個方面對旋轉中心的教學進行拓展。

一、從“線”出發，拓展旋轉中心種類

小學階段的“圖形的旋轉”是以平面圖形的旋轉為主，平面圖形的旋轉又是建立在線段的旋轉基礎之上。那么，在線段的旋轉中，我們就可以讓學生感受旋轉中心不同帶來的旋轉結果的變化。

以線段AB為例，可以選擇點A、B、O為旋轉中心，分別畫出順時針旋轉90°后的圖形。讓學生先想象旋轉后的線段位置，用手勢比劃，然后指名學生上臺借助小棒進行操作，最后用課件演示確認。進而，教師可以讓學生思考，如果線段AB繞著點C（線段延長線上一點）順時針旋轉90°，會是什么結果？也可以讓學生借助小棒操作，然后進行課件演示。

通過以上環節的學習，讓學生明白不同的旋轉中心得到的結果是不一樣的，同時知道旋轉中心可以在線段上（包括線段的端點和線段的中間），也可以在線段外（基于學生的水平，這里只出現旋轉中心在線段的延長線上，暫時不出現旋轉中心在線段外任意一點），從而拓展學生的觀察視角。當然，對于圖1、圖2的旋轉類型是要求學生掌握的，對于圖3、圖4這兩種類型只作了解即可。

二、以“面”溝通，聯結不同旋轉方法

基于學生的實際認知水平和教材的要求，我們要突出兩種旋轉中心的典型位置：第一種，教材例題要求的旋轉中心在圖形的轉折點上；第二種，旋轉中心在圖形內的對稱軸交點處。前者是例題的類型：以點為中心，在方格圖內把一個簡單圖形旋轉90°。對這種旋轉中心的類型，《數學課程標準》要求的程度是“掌握”：不僅要求學生會用課本要求的語句清楚闡述圖形旋轉的過程，還要根據要求畫出旋轉后的圖形。對于后者，《數學課程標準》的要求是“理解”：學生不必了解“旋轉對稱圖形”的概念，但是要求學生通過實驗發現“旋轉對稱圖形”的特點，并用自己的語言描述這些圖形繞中心點旋轉一定角度后，還與原來圖形重合。

在方格圖內把一個簡單圖形繞旋轉中心（圖形頂點）旋轉90°，其基本方法是先將與旋轉中心相連的線段進行旋轉，然后將其余線段連接即可。所以，平面圖形的旋轉本質上是線段的旋轉。在教學圍繞圖形的中心點進行旋轉時，我們發現，借助實物圖形，學生能夠理解如何繞著中心點進行旋轉，可是由于圖形的邊線沒有與旋轉中心相連，因而無法判斷出旋轉的角度，也很難畫出旋轉一定角度后的圖形。這時教師就要激活學生的已有經驗，既然圖形的邊線沒有與旋轉中心相連，我們就以與旋轉中心相連的對稱軸為參照物，觀察當旋轉后的圖形與原來的圖形重合時，相應的對稱軸旋轉的角度，就是圖形旋轉的角度。進而明白旋轉這個角度的倍數角也可以和原圖形完全重合。

通過對比讓學生明白，不管旋轉中心在圖形的頂點還是在圖形的內部，圖形的旋轉最終是轉化為線的旋轉進行思考。

三、為“體”鋪墊，修復前后經驗斷層

在六下的《圓柱和圓錐》單元中，教材出現了以長方形的一條邊為軸旋轉形成圓柱和以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉形成圓錐的內容，以此來凸顯平面圖形與立體圖形之間的聯系。在學習這個知識點的時候，不少學生無法在頭腦中建立正確的表象，想象不出長方形繞一條邊旋轉會形成怎樣的圖形。從前面的測試情況來看，學生憑生活經驗認同這是旋轉，可是卻無法找到旋轉中心。顯然是由于繞“點”旋轉和繞“線”旋轉之間出現了經驗斷層，沒有進行有序地銜接，導致學生無法建立有效的認知。為了修復這個經驗的斷層，筆者認為可以從以下兩個角度進行嘗試。

1.借助實物圖形，直觀感知。

借助生活中的旋轉門圖片，首先讓學生思考左圖中的門框是怎樣旋轉的，在明確門框是繞著中間門軸上的點旋轉后，教師直接采用利用課件動畫出示多條線段，明確這些線段都是以左邊端點為旋轉中心；再用多條長度相同、以點為旋轉中心的線段進行疊加形成一個長方形，那么旋轉中心“點”疊加形成了“線”；最后，線段組成的長方形圍繞旋轉中心——“線”旋轉形成一個圓柱。

2.通過實物操作，親身體驗。

對于六下教材中的這兩個操作活動，可以在五下學習旋轉的時候讓學生先行嘗試。教師可以先提供給學生一個長方形，按照書上的方式進行旋轉，思考旋轉后形成的是什么形狀的圖形？而后繼續讓學生思考，還可以怎么旋轉形成圓柱。從而讓學生明確可以繞著長或寬進行旋轉，也可以繞著兩條對稱軸進行旋轉，形成圓柱。同理，在讓學生明確繞著直角三角形的兩條直角邊旋轉可以形成圓錐之后，也應該讓學生通過探究發現繞著等腰三角形的對稱軸旋轉也可以形成圓錐。從而豐富學生對不同的旋轉方式的認知，為后續學習奠定扎實的基礎。

圖形的旋轉，在各種公開場合的研討課、展示課上，課的結尾總有教師播放各種精美的圖片讓學生欣賞，以示拓展之意。但也只是停留在淺層次的欣賞，留給學生一時的驚嘆、贊美，而缺乏了數學的意味。我們其實可以在教學中以“旋轉中心”作為拓展點，出現各種不同位置旋轉中心的圖形，豐富學生的表象，讓學生在欣賞、操作的過程中深化對旋轉的認知。進而，我們還可以適度溝通前后知識之間的聯系，從繞點旋轉拓展到繞線旋轉，進一步培養學生的空間想象能力，為立體圖形和平面圖形的溝通奠定基礎。依上述方式操作，既能夠使原來旋轉板塊呈點狀的內容連成一個整體，也可以使我們的教學形成一個整體的思路，同時讓學生的學習進程更為系統流暢。