中考中有關“鑲嵌”的幾個問題的探究

王濤

在近幾年的中考題目中，出現(xiàn)了部分涉及《鑲嵌》的內容，現(xiàn)行課本中涉及的內容不是太多，結合“探索用哪些正多邊形鑲嵌（密鋪）地面？”從正三角形、正四邊形（正方形）、正五邊形、正六邊形、正八邊形等中的一種或幾種圖形的拼接、鑲嵌中，結合多年的教學實踐，對這部分內容從兩方面做了闡述，希望對同行有所助益。

中考“鑲嵌”問題難點考點一、重難點分析

中考題目往往結合現(xiàn)實生活中的實際問題，比如，由用地板磚鋪地引入鑲嵌問題，后提問：為什么這樣的地磚可以進行平面鑲嵌？引發(fā)考生的思索，結合“哪幾種多邊形可以平面鑲嵌”來切入考點。

筆者翻閱了前幾年的教材，課本設計了有關《鑲嵌》的一節(jié)課題學習的內容，教材通過提出：哪兩種正多邊形可以平面鑲嵌？設問層層遞進，不斷引發(fā)學生探究欲望，激發(fā)學生的認知沖突，從而引領學生完成課題的學習。因此，這部分內容的重點是經歷平面鑲嵌條件的探究過程，難點是用兩種正多邊形進行的平面鑲嵌。

二、考點分析

從近幾年的中考題目來看，這類題目多數(shù)出現(xiàn)在選擇題或者填空題中，有時候也會以閱讀理解的形式出現(xiàn)。在解題時要把握好以下兩點：

一類：同一種多邊形密鋪

解題方法：在用同一種正多邊形平鋪時，若正多邊形的每一個內角為m°，則用此正多邊形實現(xiàn)平鋪的條件是360m為整數(shù)，且此整數(shù)恰為該正多邊形的個數(shù)。

例1.用正三角形能密鋪嗎？試說明理由。

解析：能，理由：

∵正三角形的每一個內角都是60°，而36060=60，

∴6個正三角形圍繞在一點可以實現(xiàn)密鋪。

例2.用正五邊形可以密鋪嗎？試說明理由。

解析：不能，理由：

∵正五角形的內角和為（5-2）×180°=540°，每一個內角都是540°5=108°，而108°的整數(shù)倍得不到360°。

∴正五邊不能實現(xiàn)密鋪。

我練習，我收獲：

1.能夠實現(xiàn)密鋪的正多邊形是（）

A.正方形B.正五邊形C.正七邊形D.正八邊形

2.某人到瓷磚商店去購買一種能實現(xiàn)密鋪的瓷磚，不可能是（）

A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形

二類：運用幾種多邊形密鋪

解題方法：若要用多種多邊形無縫平鋪或鑲嵌（密鋪），則各個多邊形相拼，內角和應為360°，且邊長相等。

例3.用正方形和正八邊形能實現(xiàn)密鋪嗎？說明理由。

分析：本題應該分別計算正方形和正八邊形每個內角的度數(shù)，然后利用多個正多邊形密鋪的條件進行判斷。

解：能，理由：

∵正八邊形的內角和為（8-2）×180°=1080°，每一個內角為1080°8=135°，正方形的每個內角為900。因此有135°×2+90°=360°.

∴能實現(xiàn)密鋪。

總之，解決好這類題目，關鍵是要分清用幾種圖形密鋪，除了上面的兩條外，如果是只用一種圖形的話，那只有正三角形、正方形和正六邊形三種圖形；如果用多種圖形的話，特別要注意單獨可以密鋪的，結合時有可能不能密鋪，相反，有些圖形，單獨不能密鋪，而結合后卻能夠實現(xiàn)密鋪。還要說明的是，對于單獨的圖形，除了同樣的正三角形、正方形和正六邊形能實現(xiàn)密鋪外，任意同樣的三角形、長方形、平行四邊形、梯形也能實現(xiàn)密鋪，主要還要用到平移、旋轉的知識，這里不再贅述。

我練習，我收獲：

3.一副美麗的圖案，在某個定點處由三個邊長相等的正多邊形密鋪而成，其中有兩個是正八邊形，那么另一個是（）

A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形

4.已知一個正多邊形的相鄰的內角和外角的差為140°，問這個多邊形能否單獨鑲嵌？如果不能，請說明理由。

答案：1.A2.C3.B

4.解：設這個正多邊形的一個外角為x度，則和它相鄰的內角為（x+140）度，所以有x+（x+140）=180，解得x=20，所以內角的度數(shù)是160°。

∵360160=2.25∴這個正多邊形不能密鋪。