探討概率統計中微積分的應用分析

崔小珂

摘要：在現代數學學科基本理論的發展路徑之中，微積分基本理論為概率論與數理統計基本理論的快速有序發展，創造和提供了堅實的支持條件，切實做好微積分理論內容在解決概率論與數理統計問題過程好的應用，對于有效提升我國概率論與數理統計數學理論的發展水平，具備極其深刻的現實影響意義。

關鍵詞：概率論與數理統計；微積分；應用

O21；O172

現代數學學科理論構成體系中的概略倫和數理統計理論內容，能夠針對自然界中出現的隨機事件的統計學規律展開嚴謹的數學運算處理。從數學學科理論體系中不同知識內容之間的相互關系角度展開具體分析，微積分理論不僅是概率論與數理統計理論的基礎，而且概率論與數理統計理論，和高等數學中的微積分理論之間還具備著表征鮮明的相互關聯和相互制約關系，在現代天文科學、生物科學、經濟學、應用工程學、化學，以及物理力學快速有序發展的歷史背景之下，微積分理論和概率論與數理統計理論之間的相互關系呈現了日漸緊密的發展變化特征，為一系列具體化隨機問題的科學化解決創造和提供了堅實的支持條件。有鑒于此，本文將會圍繞概率統計中微積分的應用問題展開簡要闡釋。

一、微積分理論和概率論與數理統計理論的基本概述

不難理解，概率論與數理統計理論，是在微積分基本理論基礎上發展形成的現代數學理論分支，能夠針對隨機事件發展演化規律和外在表現特征的準確考量和描述，由于在具體開展概率論和梳理統計計算分析處理過程中，本身需要充分引入運用大量的微積分學數學運算知識呢運算技巧，因而導致微積分理論知識內容的掌握和運用質量，對于概率論和數理統計工作實際獲取的文預期效果，具備深刻的影響和制約作用。

從具體涉及的知識內容角度展開分析，所謂概率論與數理統計數學理論，其實質就是針對自然界中存在的不確定現象和不確定事件，以及具備結果不確定特征的，或者是具備偶然性表現特征的現象，以及上述現象在實際出現和發展過程中所表現的集體性規律展開初始刻畫描述，并在此基礎上遵照概率論、以及梳理統計分析的數學處理方法，具體統計分析相關數據要素的規律性表現特征。

對于微積分學而言，其核心的理論內容，在于針對函數的微分以及積分，和函數相關概念以及應用問題展開詳細的數理分析，其理論體系的建構基礎要素在于實數、極限，以及函數等。微積分理論在建立處理過程中，將現代數論值具備觀化表現特征的無窮小量視作其直接基礎，因而在基本理論的發展路徑層次具備鮮明的不穩固性。在數學家柯西、維爾斯特拉斯創立形成的極限數學理論，以及數學家康托爾創立形成的實數數學理論基礎上，有效促進了現代微積分數學理論的基礎內容不斷發展嚴密。

從概率論與數理統計基本理論的歷史發展路徑角度展開具體分析，微積分理論中相關知識內容的不但發展成熟，為現代概率論與數理統計理論的成熟化和公理化發展，創造和提供了穩定為且堅實的實踐支持條件，現代概率論與數理統計理論的系統化和科學化發展，與微積分理論的發展成熟，具備不容忽視的因果關系。

二、概率論與數理統計過程中微積分知識內容的具體應用

為清晰認識概率論與數理統計理論的基本內涵，以及微積分理論的基本內涵，同時清楚分析概率論與數理統計理論和微積分理論之間的相互關系，應當從一系列的實際案例出發，為有關知識內容認識水平的不斷提升，以及有關數理計算分析方法掌握水平的不斷提升，創造和提供堅實的支持條件，本文將試舉幾例展開簡要揭示：

第一，已知有M個好朋友在一張圓形桌子的周圍隨機就坐，假若有兩個朋友是必須要坐在相鄰的作為之上的，則計算求解這一在隨機性研究視野之下，這一事件的發生概率？、

第二，在針對書架上的書實施整理過程中，已知可以將編號為1、3，以及3的三本書在書架上以隨機順序實施排列，如果在所有的排列順序中，至少保證有一本書的由左到右的空間排列順序，與該書編號相同，求解這一事件的發生概率是多少？

第三，一批產品的次品率為5%，從中任取三件進行檢查，每次取一件，檢查后放回，求：（1）三件中恰有一件次品的概率；（2）三件都是正品的概率；（3）三件中次品不超過一件的概率；（4）至少有一件次品的概率。

三、微積分計算分析方法在求解概率論與數理統計問題中的實際應用

（一）級數求和方法

級數是現代高等數學基礎性學科內容構成體系中的重要組成內容，是表述初等函數解析式的基本方法。在運用裂項相消求解函數級數過程中，其最為關鍵的實施環節，在于如何針對級數運算過程中涉及的通項結構實施針對性的拆開處理，并促使其形成可以實施前后相消計算處理的算術項，而通常運用的計算處理方法，往往涉及了分子有理化、分母有理化，以及三角恒等變換等數學處理應用方法，這些方法與微積分中的基本理論具備不容忽視的相互關聯特征。

在針對三角函數形式的無窮級數實施求和處理過程中，需要應用微積分學的有關處理方法，針對基礎的三角極級數公式實施展開處理，通過恰當的函數表達式形式轉化手段，將其轉化為兩項不定式之間的差值，為后續開展級數求和過程創造支持條件。

（二）極限問題的求解

極限問題也是一種比較典型的概率問題，其本身作為現代微積分學理論的重要基礎，對在微積分學基本理論發生發展的全過程中發揮了不容忽視的重要作用，在具體引用極限法求解數列和問題過程中，要運用微積分學基本理論，對數列通項公式展開針對性的變形處理，確保實際求解過程能夠順利取得預期效果。

四、結語：

針對概率統計中微積分的應用問題，本文具體選取微積分理論和概率論與數理統計理論的基本概述、概率論與數理統計過程中微積分知識內容的具體應用，以及微積分計算分析方法在求解概率論與數理統計問題中的實際應用三個具體方面展開了簡要的論述分析，旨意為相關領域的研究人員提供借鑒。

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