整合教學內容實現有效復習

廣東省廣州市第97中學(510260) 林佳娜

整合教學內容實現有效復習

廣東省廣州市第97中學(510260) 林佳娜

中考數學復習不是簡單的知識重復,而是再認識、再提高的過程.復習中的最大矛盾是時間短、內容多,學生之間的能力差距大.運用教學內容的整合,可以有效地解決這些矛盾.

林少杰老師指出:教材的內容從總體上看,有主次之分,枝干之別.因此,內容的提煉與整合應當成為教學設計的核心,削枝強干、優化結構應當成為教學設計的重點;教師應建立有效的課內技能訓練系統,在每位學生都在完成適合自己的任務的同時,教師利用課內的其余時間,從講臺上“解放”出來,走到學生中去,充分利用“非線性主干結構”為不同的學生提供不同的“最近發展區”;教師要設計出適合于學生課內外研討的問題系統,組織起有效的活動,發展學生的潛能.這些觀點正是數學教育改革的需要.如今的數學教育就是“要建立以促進學生的全面發展為本的,以學科知識體系與人的認知結構的全面整合為中心的課程體系.”對于中考的數學復習,要求“尤其要抓好初中數學的核心內容(包括基本概念、定理、公式、法則等)的教學,不僅要重視知識和技能學習的落實,而且要讓學生體會數學知識的發生、發展過程,把握蘊涵其中的的數學思想方法,領悟數學的精髓和本質.”因此,我們在中考復習中要充分實現學生認知經驗、數學知識與社會發展需求的有機結合.這就要求我們要更好地把握教材、把握考綱,整合出有利于學生復習的教學內容.本文從系統論的觀點,探討復習整合的有效方法與策略.

一、關于整合教學內容的探索

系統論告訴我們:一個系統的功能不僅取決于它內部的要素,更取決于各要素之間的結構,具有良好結構的系統,往往會出現“整體大于部分之和”的效果.

對教學內容的整合,就是要把學科的工具類知識和非工具類的重點知識,整合為學習系統的主干.而對于學科的經驗類、非重點內容,讓學生在活動中形成經驗和完善知識結構,教師只在適當時候點撥.

(一)整體知識的發散整合

數學里的各個概念、各個定理不是各自孤立,互不相干的,而是緊密聯系、互相制約、互為因果的,并按數學的內在規律形成一個嚴謹的科學體系.對整體知識的復習,教師要根據教學內容的需要,提供給學生完整的、能夠引起主動學習的任務.

1.搭架式.搭建一個“支架”,把系統歸納的責任還給學生.

比如,在一章的復習前,提出問題:本章書有什么知識點?各知識之間有什么聯系?等等.要求學生自己去歸納,用自己的方式去建構知識序列.用自己的語言(可以是文字語言、也可以是圖形語言)去描述所學的定義、定理、規則,并把它記錄下來,然后給同組的同學看,他歸結得對不對,有什么地方可以進行補充、修正.這樣,在同學的互相指正下,完成對知識系統的整理.

2.主干式.在進行每章書的復習時,抓住知識的主干,把枝葉部分留給學生完成.

例如:圓的知識系統可以由兩種途徑進行復習:(1)抓性質——中心對稱性與軸對稱性,(2)抓關系——圓與各種圖形的關系.復習時,把這兩個線索抓住了,留給學生的是按圖索驥.這可以最大限度地留給學生主動復習的機會.

3.主題式.對于具有整體效應的知識,在復習時提出來加以類化.

例如:初中代數中有很多“不等于0”的規定.這些規定往往是考題里面的難點.這些知識點包括:

(1)分式的分母“不等于零”.

(2)一元一次方程中的一次項系數“不等于零”.

(3)一元二次方程中二次項系數“不等于零”.

(4)函數中有關系數“不等于零”.

(5)等比性質中“不等于零”的規定.

這些問題要求學生自己去把它們挖掘出來,各自舉出相應的例子,可以通過小組學習完成.

(二)局部知識的關聯整合

“非線性”教學模式強調“循環向前”,學生對整體知識的認識是忽略細節與技巧,較為粗糙的,要使學生真正把握知識,就必須設計有效的對局部知識的強化訓練.通過呈現問題,進行有效的訓練,要求問題要具備以下特點:(1)目的性明確,有針對性;(2)有啟發性,能啟迪思維;(3)能活躍氣氛,使興趣加濃.在實踐中,以下的呈現方式是比較有效的:

1.一串問題,一個知識

G.波利亞指出,學習解題的最好途徑是自己去發現.在學習過程中,教師要為學生創造一個適合他自己去尋找知識的意境,使學生經常處于“憤”與“悱”的境地,引導學生去做力所能及的事.“一串問題,一個知識”就是讓學生體驗做力所能及的事的最好的方法.它主要用于處理重要知識點的不同側面的理解與熟練運用上.比如:在復習“一元二次方程的根的判別式”時,給出問題:

例1:(1)寫出一個兩根之和是1的一元二次方程.

(2)寫出一個兩根之積是1000的一元二次方程.

(3)寫出一個兩根相等的一元二次方程.

(4)試寫出k的值,使含未知數的方程x2+3x+4k=0在實數范圍內沒有解.

以上問題學生一看就會,一下子就能寫出自以為正確的答案,例如:寫出(1)的方程:x2?x+1=0.初看:是一元二次方程;根據韋達定理,兩根之和是1.好象沒有錯.教師先不必點破,讓學生把結果展現出來,給全班同學評判,這時學生間的一句:“這方程的根的判別式小于0,它根本就沒有實數根”.學生恍然大悟,其他同學也會馬上檢查自己其他各題是否也犯了同樣的錯誤.這比老師講多少遍都有效.

2.一個問題(條件),一串知識

數學學習是一個特殊的認識過程,在數學學習活動中,學生需要具備一定的能力,而能力是有層次的,它從簡單到復雜,從低級到高級,分階段出現.提出一個問題(條件),串出一連串的知識.這是最容易檢查學生的能力到達的層次,從而組織有針對性的強化訓練的方法,這對于連帶知識的復習很有效.

例2:已知:三點的坐標:(1,?4),(2,?3),(4,5).

(1)求經過這三點的拋物線的解析式.

(2)求出拋物線的開口方向,頂點A的坐標和對稱軸.

(3)x取何值時,函數有最值,最值是多少?

(4)求拋物線與y軸的交點B的坐標.

(5)求拋物線與x軸的交點C、D的坐標.

(6)作出函數的圖象.

(7)求△ACD和△BCD的面積.

學生看到這些題目,很容易就一步一步做下去了,學生做完了,二次函數的知識點也復習得差不多了.這時老師要及時總結、提升.關注學生哪些問題可以過關、哪些問題沒有過關,并點明解題過程用到的知識和方法.如:這些方法包括:(1)用到待定系數法,(2)和(3)用到配方法,(4)和(5)用到方程思想,(6)和(7)用到數形結合思想.

借助于建構主義的觀點,用“一串問題,一個知識”和“一個問題,一串知識”,有效組織學生的課堂技能訓練,教師從講臺上“解放”出來,更多地去關注學生的學習困惑,為不同的學生提供不同的“最近發展區”,并給以最及時的引導和幫助.

(三)以數學思想方法為主線的整合

經常聽到學生這樣說:“我上課時,例題都能聽明白,但自己做題就不會了”,“同例題類似的題,我會做,一變樣就不會了”.究其原因是學生并沒有真正理解例題的本質及掌握解法的實質.如果用數學的思想方法來指導解題,就能從根本上改變這種狀況.復習中可以從以下方面進行數學思想方法的整合.

1.突出統帥作用的整合

就是要讓學生認識到用數學思想的高度來總結學過的知識,好比用一根線把一串珍珠(知識點)連起來,既有條理,又不易遺忘.如:復習平面幾何的“面積、勾股定理”這一章,要建立起各圖形的面積公式之間的聯系,找出本章的特殊思想方法“割補法”與“等積變形”,用這一思想方法概括,才能達到對知識整合的目的.

2.深刻領會細節的整合

就是要讓學生體會數學思想方法在具體運用上的細微的差別.如:在解一元二次方程和求函數的最值及代數證明題都會用到配方法,但它們在運用上是有區別的,可以通過例題進行對比講解,讓學生明白它們之間的共同點與差別.

例3:(1)用配方法解方程:2x2+7x?16=0.

(2)用配方法求二次函數y=2x2+7x?16的頂點坐標.

(3)證明m不論取何值時,方程x2?2(m+1)x+4m?1= 0有兩個不等的實數根.

同樣是用配方法解題,(1)和(2)對二次項系數的處理就完全不同,而(3)用到配方法是比較隱蔽的,同時,用配方法是解此題的必經之路,需要自己的主動構造.

3.經歷總結提高的整合

在中考復習進行到一定的階段以后,要強化對以下幾個數學思想方法的理解運用:

(1)等價轉化的思想.轉化是指化未知為已知、化一般為特殊、化抽象為具體、化高次為低次、化復雜為簡單的解題策略.任何數學問題都是通過數或形的逐步轉化,從而揭示條件與結論的內在聯系而使問題獲得解決的.

(2)數形結合的思想.“數”與“形”是密切相關的兩個數學表象,也是數學研究的兩大對象.著名數學家華羅庚說過:“數缺形時少直觀,形缺數時難入微.”在解題中把數與形有機結合是優化思維品質的有效途徑.

求:k滿足什么條件時,這兩個函數在同一直角坐標系中的圖象有兩個交點.設這時兩個交點為A、B,試比較∠AOB與90°的大小.

分析:問何時有兩個交點,可以轉化為聯立方程,進一步用判別式得到.而判斷角的大小,就必須通過畫圖,用圖象幫助理解.兩個函數:一個的圖象是直線、另一個是雙曲線.直線是明確的,過一、二、四象限,而求出的雙曲線的k＜16,也就是k值可正可負,導致結果必須分類.

(3)運用方程的思想.簡單地說就是利用已知條件構造方程(組)解題.

例6:如圖,在△ABC中, AB=5,AC=7,∠B=60°,求BC的長.

分析:通過作BC邊上的高,把圖形分成兩個直角三角形,列出方程,馬上可以得解.

圖1

(4)運用分類討論的思想.分類討論的思想在代數、幾何的學習中是常見的,如一元二次方程根的判別式、一次函數的性質、兩個幾何圖形的位置關系(點和直線、直線與直線、直線和圓)等.在解決數學問題時,當研究對象不惟一時,需要對可能出現的情況一一加以討論,這種對事情分情況加以討論的思想,復習時要注意對它的研究,要理解什么時候要分類,如何分類.

例7:試判斷關于x的方程(m2?m?2)x2+2(m?2)x+1=0的根的情況.

分析:對字母系數的方程ax2+bx+c=0的解,在同一層次上存在兩大類情況:a/=0和a=0.即:在m2?m?2/=0的前提下,即m/=?1且m/=2時,存在第二個層次的3種情況(判別式).在m2?m?2/=0的前提下,即m=?1或m=2時,第二層次中存在2種情況(m值不同,解也不同).

二、整合案例—–函數的復習

(一)整體分析:本部分的知識點包括:平面直角坐標系、常量和變量、函數概念、正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數.結合復習指導書和初三代數教材,復習用5個課時:

第一課時:勾畫本章的知識樹(整體感知和建構).通過“平面直角坐標系”和“函數概念”熟悉對應思想.進行平面直角坐標系和函數自變量取值范圍和求函數值的局部訓練.

第二課時:求函數的解析式.熟悉對應思想—–能根據問題特點確定用哪種函數解析式.待定系數法的局部訓練.

第三課時:各類函數(正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數)的圖象與性質,熟悉用方程的思想、數形結合的思想找出圖象與某些圖形(坐標軸或其他)的交點問題.進行求交點和圖形面積的局部訓練.

第四課時:數形結合研究二次函數的圖象特點.熟悉配方法求函數的頂點坐標等.第五課時:函數知識的綜合運用.

(二)一個課例:—–求函數的解析式

設計意圖:這是初三復習課中,函數復習的第2節課.通過本節課的教學,希望達到以下幾個目的:

1.通過函數解析式的求解,使學生熟悉掌握求函數解析式的幾種方法.

2.理解待定系數法的實質,能夠靈活運用待定系數法解題.

3.熟悉幾類函數的對應關系,學會“對號入座”,從而培養學生良好的思維習慣.

教學過程:

1.提出問題,搭建支架

1.1 求函數的解析式的方法:

(1)待定系數法:先根據函數的類型,作出假設,設出式子中的未知系數,再根據條件求出未知系數,從而寫出這個式子.

(2)圖象信息法:根據圖象中給出的信息,尋找相關的條件求解.

(3)題意與圖形結合法:注意讀懂題意和圖形,挖掘隱含條件,按需要列式求解.

1.2 幾種類型的函數解析式及其求法:

函數類型函數解析式求解條件正比例函數一次函數反比例函數二次函數一般式頂點式交點式

2.局部訓練,關聯整合

2.1 一串問題,一個知識—–待定系數法

練習:(1).若正比例函數y=kx的圖象經過(?9,2),則正比例函數的解析式是____.

(3).若一次函數y=kx+b的圖象經過點A(1,?3),B(3,1),則解析式為____.

(4).一次函數y=kx+b的圖象經過點(2,1)且平行于直線y=2x+3,這個一次函數的解析式為____.

(5).寫出一個過點(0,3)的函數的解析式____.

(6).設二次函數圖象的頂點坐標為(?3,3),且過點(1,1),則此函數解析式為___.

(7).寫出符合下列圖意的函數解析式:

2.2 一個問題,一串知識——函數解析式、自變量取值范圍、圖形面積;數形結合法等

例題:

已知直線y=6?x與兩條坐標軸交于點A、B,點P(x,y)在線段AB上,點M的坐標是(4,0),△POM的面積為S.

(1)S與y具有怎樣的函數關系?寫出其中自變量y的取值范圍;

圖3

(2)S與x具有怎樣的函數關系?寫出其中自變量x的取值范圍;(3)當點P的坐標為何值時,△PMB與△AOP的面積相等?

3.練習鞏固,總結提高

3.1 小結:

求函數解析式時,要注意分清問題是否提供了函數的類型.如果有,按照類型進行假設,然后用待定系數法求解;如果沒有,要注意審題,根據題意去尋找函數關系.

3.2 課堂練習:

(1).設拋物線交x軸于點(?1,0)、(7,0),且過點(3,?8),則此函數解析式為___.

(2).若直線y=kx+b的圖象平行直線y=?2x+1,并與y軸交于點(0,4),則這條直線的解析式是___.

(3).如圖,在△ABC中,∠C=90°,P為AB上一點,且P不與點A重合,過點P作PE⊥AB交AC邊于E點,E不與點C重合,若AB=10, AC=8,設AP的長為x,四邊形PECB的周長為y,求y與x之間的函數關系.并求自變量x的取值范圍.