例談初中數學有關三角函數應用題的四個模型

南雄市第二中學(512400) 黃端鑫

例談初中數學有關三角函數應用題的四個模型

南雄市第二中學(512400) 黃端鑫

三角函數在初中是一個非常重要的函數,用途很廣泛,我們常遇見直角三角形中三邊的關系用勾股定理,而要聯系角和邊就需要借助三角函數,因此透過三角函數的定義和本身的意義的考查確實是監測學生各方面的知識和能力的好方法.尤其是有關三角函數應用題在中考試題中時常出現,做好此類應用題的解題環節是學生取得好成績的關鍵所在.我認為一是加強三角函數基礎知識的訓練,二是要熟練掌握三角函數知識應用四個方面的知識模型,這樣一定能做好三角函數應用的考題的,現舉例分析說明.

圖1

分析Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC,根據CD=BC?BD可得關于AB的方程,解方程可得.

點評此題考查了解直角三角形的應用-仰角問題,主要是三角函數的基本概念及運算,關鍵是用數學知識解決實際問題.我們將這種圖形歸納為一個模型(圖2)

圖2

例2(2015?韶關模擬)如圖3,從A地到B地的公路需經過C地,圖中AC=10千米,∠CAB=25°,∠CBA=45°.因城市規劃的需要,將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路.

圖3

(1)求改直后的公路AB的長;

(2)問公路改直后該路程比原來縮短了多少千米?(精確到0.1)

分析(1)過點C作CD⊥AB與D,根據AC=10千米,∠CAB=25°,求出CD、AD,根據∠CBA=25°,求出BD、BC,最后根據AB=AD+BD列式計算即可,(2)根據AC=10千米,BC=5.9千米,即可得出公路改直后該段路程比原來縮短的路程.

圖4

對于第(1)小題的解答是:如圖4,過點C作CD⊥AB與D,因為AC=10千米,∠CAB=25°,所以CD=sin∠CAB·AC= sin25°×10≈0.42×10=4.2 (千米),AD=cos∠CAB·AC=cos25°×10≈0.91×10= 9.1(千米),因為∠CBA=25°,所以BD=CD=4.2(千米),所以AB=AD+BD=9.1+4.2=13.3(千米).

點評本小題考查了解直角三角形的應用,用到的知識點是三角函數、特殊角的三角函數值,關鍵是作出輔助線,構造直角三角形,我們將這種圖形歸納為一個模型(圖5)

圖5

例3(2016?云南昆明)如圖6,大樓AB右側有一障礙物,在障礙物的旁邊有一幢小樓DE,在小樓的頂端D處測得障礙物邊緣點C的俯角為30°,測得大樓頂端A的仰角為45°(點B,C,E在同一水平直線上),已知AB=80m,DE=10m,求障礙物B,C兩點間的距離(結果精確到0.1m)(參考數據:

圖6

圖7

點評此題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題,主要是三角函數的基本概念及運算,關鍵是用數學知識解決實際問題.我們將這種圖形歸納為一個模型(圖8)

圖8

例4(2016?湖北黃石)如圖9,為測量一座山峰CF的高度,將此山的某側山坡劃分為AB和BC兩段,每一段山坡近似是“直”的,測得坡長AB=800米,BC=200米,坡角∠BAF=30°,∠CBE=45°.

圖9

(1)求AB段山坡的高度EF;

分析(1)作BH⊥AF于H,在Rt△AHB中根據正弦的定義可計算出BH的長,從而得到EF的長;(2)先在Rt△CEB中利用∠CBE的正弦計算出CE,然后計算CE和EF的和即可.

圖10

點評此題考查了解直角三角形的應用-坡度與坡角問題:坡度是坡面的鉛直高度和h水平寬度l的比,又叫做坡比,它是一個比值,反映了斜坡的陡峭程度,一般用i表示,常寫成i=h:l的形式.把坡面與水平面的夾角α叫做坡角,坡度i與坡角α之間的關系為:i=tanα.我們將這種圖形歸納為一個模型(圖11)

圖11

總之,在求解有關三角函數背景下的應用題時,數形結合,借助三角函數,通過利用三角函數的定義和本身的意義,聯系角和邊的關系,進而解決實際問題.只要掌握了上面4個模型,反復訓練,是很容易做好三角函數應用的考題的.

[1]《數學九年級教材下冊》[M],人民教育出版社,2013;

[2]黃李珍,銳角三角函數的應用分類例談[J],《數學學習與研究》, 2012,(14).