春蘭秋菊 互有長短
——理性選擇求二面角余弦值的方法

廣東省徐聞縣徐聞中學(524100) 鐘聘

春蘭秋菊 互有長短
——理性選擇求二面角余弦值的方法

廣東省徐聞縣徐聞中學(524100) 鐘聘

立體幾何中的二面角問題是高考的高頻考點,題目一般是中等難度.自從新課標引入了向量知識,使得求二面角余弦值的方法在以往綜合法的基礎上又多了一個以向量為工具的向量解法.向量法又細分為基向量法及空間向量坐標法.當前學生對綜合法聽得懂,解題時卻無法作出輔助線,功虧一簣;而對坐標法聽得清,也喜歡使用,但解題時計算錯誤,滿盤皆輸.這也是高三師生一直困惑的問題.筆者受文[1]的啟發,通過例題的解法,進行方法的比較,分析每一種解法的適用條件,難易程度,利于以后理性選擇求二面角問題的最佳方法.

1 方法比較

方法綜合法基向量法空間向量坐標法思路找或用定義法、垂面法作出二面角的平面角,需要添加輔助線.把空間角轉化為平面角,求三角形各邊并由余弦定理求解.需選擇一個適當的基向量,在兩個半平面分別作公共棱的垂線或無需添加輔助線.用基向量表示垂直棱的向量或表示兩個半平面的法向量,再求向量夾角,然后定號.需建立合適的空間直角坐標系,在兩個半平面分別作公共棱的垂線或無需添加輔助線.用坐標表示垂直公共棱的向量或求兩個半平面的法向量,再求向量夾角,然后定號.適用條件能找出二面角的平面角或能作出二面角平面角,且均能求出三角形的邊.每個基向量的模(長度)可求(已知)且每個基向量的夾角(或關系)已知.能依據幾何體的特征建立空間直角坐標系且相關點的坐標能求.

2 例題呈現

圖1

(2016年全國高考理科數學乙卷18題)如圖1,在以A,B,C,D,F為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D?AF?E與二面角C?BE?F都是60°.

(I)證明:平面ABEF⊥平面EFDC;

(II)求二面角E?BC?A的余弦值.

3 例題解析

(I)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,FE∩FD=F,所以AF⊥平面EFDC.又AF?平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.

圖2

(II)解法1(綜合法)如圖2,由平面ABEF為正方形知AB//EF,則AB//平面EFDC,所以AB//CD,又二面角D?AF?E與二面角C?BE?F都是60°,且AF⊥平面EFDC,AF//BE,所以∠DFE=

點評二面角的平面角問題,可通過找(作)、證、算、下結論的幾個步驟來解決.既可用定義法或垂面法作出二面角的平面角,也可用兩個距離即點到公共棱及點到半平面的距離來解決.本解法可理解為垂面法或用兩個距離來計算,避開找或作二面角平面角的難點,但求距離是難點且要判斷二面角的大小才能定號,是易錯點.

圖3

解法2(綜合法)如圖3,過點A作AG⊥BC于G,過G作GH⊥BC交BE于H,連接AH,則∠AGH是二面角E?BC?A的平面角.由解法1知AG=

點評該解法利用定義法作出二面角的平面角,其余弦值不需通過判斷二面角大小來定號.顯然,在作二面角的平面角輔助線不難,但要解決三角形三邊的求值,所以本解法求所作出三角形的三邊是重點及難點.

圖4

解法3(空間向量坐標法)如圖4,過D作DO⊥EF,垂足為O,由(I)知DO⊥平面ABEF.以O為坐標原點,方向為

點評該解法利用向量坐標表示法相關運算來求兩個半平面的法向量來解決問題,即是用代數運算代替了幾何思維,便于學生掌握,是學生青睞的方法.但尋找一點并判斷從該點引出的三條兩兩相互垂直的直線是重點及難點,還要判斷二面角大小定號,是易錯點.

圖5

解法4(空間向量坐標法)如圖5,建立坐標系同解法3,過點A作AM⊥BC于M,過E作EN⊥BC于N,由

點評該解法利用向量坐標表示法相關運算來求兩半平面公共棱的法向量來解決問題,學生容易忽略.兩個法向量同時指向公共棱或從公共棱指出時,則兩法向量的夾角的余弦值即是二面角的余弦值,減少余弦值的符號錯誤.

圖6

點評該解法利用了基向量法,是學生使用較少的方法,本法選用從一點出法的三個不共面的向量作為基底,通過求出兩個半平面的法向量來解決問題,避開了找建系條件的難點,但找一點出發的三個基底的大小及夾角(關系)是重點及難點.

圖7

4 反思

從以上解法對比可知,用綜合法或向量表示法或基向量法求二面角的余弦值都有破題的重點及難點,所以只要審清題目條件,結合這些方法的適用條件理性選擇最佳方法,就可以把問題迎刃而解,提高解題效率.

[1]黎偉初,理性選擇“求異面直線所成角”的三種求解方法.[J].中學數學教學參考(高中)2006.9.上半月.