折疊問題中折痕平移的探索

浙江省金華市第九中學(321000) 金建偉

新疆溫宿縣第五中學(843000)馮婷婷

折疊問題中折痕平移的探索

浙江省金華市第九中學(321000) 金建偉

新疆溫宿縣第五中學(843000)馮婷婷

折疊、軸對稱問題的解決,離不開對折痕、對稱軸的研究,結合折疊前后圖形之間的全等,對應線段和對應角相等,對應點的連線被折痕垂直平分等知識來解決問題.如果折痕(對稱軸)是固定不動的題型,考生相對容易解決.如果折痕(對稱軸)是平移運動,折疊后的圖形會隨著折痕(對稱軸)的變化而發生運動改變,要解決這類題,學生難在找出變換后的圖形的位置特征,不知從何下手解題,無法解出題目.下面對涉及紙片折疊中有折痕(對稱軸)平移進行研究,發現其規律,從而找出變換后圖形的位置特征,讓學生容易入手.

首先我們來研究當直線l(對稱軸)沿水平向右(固定方向)平移時,固定點A的對稱點A′有什么特征呢?

圖1

如圖1,根據軸對稱的性質可知:AA′⊥l,AB=A′B必成立,由于點A固定,隨著對稱軸l水平向右(固定方向)平移,對稱點A′始終在與對稱軸l垂直的射線AA′上運動(AA′⊥l),速度是對稱軸l平移速度的2倍.即當對稱軸沿某一固定方向平移時,對稱點在過固定點與對稱軸垂直的射線上運動.

如果能發現折痕(對稱軸)平移這一特征,在解題時過固定點畫與對稱軸垂直的射線,再來研究題目,可以達到降低難度目的.

圖2

例1.(寧波中考數學第24題)如圖2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,過點B作射線BB1//AC.動點D從點A出發沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動,同時動點E從點C出發沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動.過點D作DH⊥AB于H,過點E作EF⊥AC交射線BB1于F,G是EF中點,連結DG.設點D運動的時間為t秒.

(1)當t為何值時,AD=AB,并求出此時DE的長度;

(2)當△DEG與△ACB相似時,求t的值;

②當線段A′C′與射線BB1有公共點時,求t的取值范圍(寫出答案即可).

分析:第(3)小題的②問中當線段A′C′與射線BB1有公共點時,求t的取值范圍.學生初看這題,很難想象對稱線段A′C′隨著對稱軸DH的運動后的位置,學生較難入手.通過分析題目中有下劃線的已知條件,如果能發現對稱軸DH⊥AB,沿著射線AB的固定方向運動,固定點A的對稱點A′滿足AA′⊥DH,在射線AB上運動;固定點C的對稱點C′滿足CC′⊥DH的射線上運動(如圖3),把這兩條射線畫出來,找出射線AA′、CC′與射線BB1的兩個交點位置(如圖4、5),就是線段A′C′與射線BB1有公共點的邊界值了.這樣學生就比較容易求出t取值范圍了.

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

(1)當點O′與點A重合時,點P的坐標是___;

(2)設P(t,0),當O′B′與雙曲線有交點時,t的取值范圍是___.

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

分析:第(2)小題,從考生反饋信息了解到:有的考生讀完本題后,無從下手,直接放棄解本題;有的考生花了十幾分鐘只能算出部分答案,造成后面解題時間不夠;做出該小題的幾乎沒有.如果考生能分析題目中有下劃線的已知條件,發現對稱軸l⊥OA,沿著直線OA的固定方向運動,固定點O、B經對稱軸l軸對稱后的像是O′、B′,分別在OO′⊥l、BB′⊥l的直線上運動(如圖9、10).找出與雙曲線的四個交點,就是取值范圍的四個分界位置(如圖11、12、13、14).接下來,轉化成求直線OO′、BB′的解析式與反比例函數的解析式交點坐標,結合△POO′、△PBB′都是等邊三角形,比較容易求出t取值范圍了.

折疊問題中“折”是過程,“疊”是結果,其實質是軸對稱變換,平面圖形的折疊問題能夠考查學生空間想象能力與動手操作能力及推理能力.這也是新課標對我們提出更高的要求.如果能發現折痕(對稱軸)平移時對稱點在一條定直線上運動的特征,在解決這類問題時,可以達到降低難度,學生易解目的.

所以教師在課堂教學過程中要多挖掘一些行之有效的例題和習題,發現問題的本質、規律,打開學生的思路,使學生的解題思路更為清晰,思維的應變能力得到充分的鍛煉和培養.

[1]吳巖,破解2012年中考折疊問題的思路[J],中學教學參考,2013, (14):9-10.

[2]劉強,中考試題中的折疊問題[J],中小學數學(初中版),2014(6): 28-29,31.