最短路線之我見

甘肅省武威市涼州區武南鎮九年制學校(733009) 徐輝章

最短路線之我見

甘肅省武威市涼州區武南鎮九年制學校(733009) 徐輝章

在初中數學中,有一類問題是求按滿足某些特定條件連結,使所連結的線段的長度之和最小,稱之為最短路線.最短路線問題通常是以“兩點之間,線段最短”為原則引申出來的,本文通過一些例子,介紹一些求最短路線問題的方法.

一、兩點之間線段最短

我們知道,連結兩點之間所有的線中,線段最短.將它擴展、延伸可得到一個最短路徑問題、即求連接A、B兩點的線段中哪一條最短.

當A、B在同一平面內時,即使是從烏魯木齊到北京,我們也可以輕松地利用“兩點之間,線段最短”得出線段AB是A、B兩點間的最短路徑(如圖1).

圖1

二、飲馬問題

如圖2,A為馬廄,B為草地,L為一條河流,牧馬人某一天要從馬廄牽出馬,先到河邊飲馬,再到草地牧馬,請你幫他確定這一天的最短路線.

圖2

已知:如圖2,直線l及點A、B.

求作:點C在直線l上,AP+BP最小.

作法:1.作B關于直線l的對稱點B′連接AB′交l于點P連接AP路線A?P?B就是最短路線

證明:略

三、螞蟻爬行路線最短問題

1.正方體、長方體

如圖4,一只螞蟻要從正方體的一個頂點A′沿表面爬行到頂點C,怎樣爬行路線最短?

圖3

圖4

分析:求點A′到點C的最短路徑是那一條.此時已不在同一平面內,不能直接利用公理解決問題.此時,就要利用數學中的轉化思想,把立體圖形轉化成平面圖形來研究(如圖4).

從而得到兩條最短路徑:A→BC→C′和A→CD→C′.長方體最短路線問題與正方體類似,這里就不詳細說明了.

2.圓柱體

如圖5所示是一個底面半徑為3,高為4的圓柱體和它的側面展開圖,AB是圓柱的一條母線,一只螞蟻從A點出發沿圓柱的側面爬行一圈到達B點,求螞蟻爬行的最短路程.

圖5

圖6

把圓柱體展開(如圖6),此時,只有AB才是最短路徑,且只有一條最短路徑.

3.圓錐問題

如圖7所示是一個底面半徑為三分之二,母線長為4的圓錐和它的側面展開圖,PA是它的一條母線,一只螞蟻從A點出發沿圓錐的側面爬行一周后回到A點,求螞蟻爬行的最短距離.

分析:先求得的側面展開圖扇形的中心角是60度;于是需求的線段AA′是等邊三角形的邊長,螞蟻爬行的最短路程是4.

圖7

四、三角形周長問題

A是銳角MON內部任意一點,在∠MON的兩邊OM,ON上各取一點B,C,組成三角形,使三角形周長最小.(如圖所示)