把握概念本質(zhì) 落實核心素養(yǎng)
——兼評陳瑾、張聰聰《分數(shù)的初步認識》一課

劉　松（特級教師）

近兩年，關(guān)于學生核心素養(yǎng)的討論可謂鋪天蓋地。筆者估計，這恰是官方智囊所希望出現(xiàn)的，因為真理會越辨越明，百花齊放、百家爭鳴，學術(shù)才能真正地走向繁榮。但作為一線教師的我們，除了關(guān)心核心素養(yǎng)理論內(nèi)涵的界定以外，其實更關(guān)心的是如何在操作層面使學生的核心素養(yǎng)落地。關(guān)于數(shù)學核心素養(yǎng)，筆者認為無論是官方公布的內(nèi)涵，還是民間許多專家的質(zhì)疑，其實均有一定的道理，也并不會影響我們的執(zhí)行。換句話說，無論按照哪一派觀點去操作，若真正操作好了，終究都會對學生有益的。

比如，現(xiàn)在許多教師都公認抽象是數(shù)學的第一特征，是三大基本思想之首，也是目前官方已公布的高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)之首（數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析）。以數(shù)學抽象為例，官方文件給出的解釋是：數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的思維過程。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學符號或者數(shù)學術(shù)語予以表征。數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學的產(chǎn)生、發(fā)展、應用的過程中。數(shù)學抽象使得數(shù)學成為高度概括、表達準確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng)等等。

在筆者看來，這樣的解釋已是相當深刻且完美。但前不久，看到了華南師大何小亞教授的一篇文章《數(shù)學核心素養(yǎng)指標反思》，讓筆者不得不慨嘆，學術(shù)沒有禁區(qū)，真理也應沒有終點。且看何教授如何反思：

反思1：只舍去“物理屬性”，不舍去“社會屬性”“形式屬性”？應該是“具體屬性”。

反思 2：“表征”應改為“表示”，如此更通俗易懂，也更準確。表征（representation）是教育心理學的術(shù)語，是認知者在腦中重新表示反映——再表示的意思。

反思3：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系已經(jīng)屬于純數(shù)學世界的內(nèi)容，由兩者抽象出數(shù)學概念及關(guān)系就是數(shù)學家、數(shù)學教育家Freudenthal所說的垂直數(shù)學化，即數(shù)學世界內(nèi)部由低級向高級的發(fā)展。“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”指的是從真實世界得出數(shù)學原理結(jié)構(gòu)，是由真實世界到數(shù)學世界的水平數(shù)學化之一，但卻少了另一種更基礎(chǔ)的水平數(shù)學化：由真實世界抽象出數(shù)量、圖形、概念等數(shù)學模式。例如：實際問題→莖葉圖；力→向量；力的分解合成→向量的分解合成。

反思4：抽象是數(shù)學的特點之一，但不是數(shù)學所特有的。邏輯學、哲學、文學、藝術(shù)中的“抽象”俯拾皆是。概括性才是數(shù)學更本質(zhì)的特點，抽象是過程手段，是概括的基礎(chǔ)，而概括才是最終的目的。理解數(shù)學概念、原理的本質(zhì)不是理解抽象性，而是理解數(shù)學概念、原理的概括性或者說“通殺性”！

反思5：“數(shù)學抽象”是一種提煉抽取數(shù)學對象的手段，把它作為一種數(shù)學思想恰當嗎？請問國際上有哪一本專著、哪一篇論文把數(shù)學抽象作為數(shù)學思想之一？從定義所闡述的內(nèi)容看，“數(shù)學抽象”實際上是Freudenthal早已提出的“數(shù)學化”的部分內(nèi)容。

數(shù)學化是整理現(xiàn)實性的過程，它包括數(shù)學家的全部組織活動，比如公理化、形式化、圖式化、建模，以及數(shù)學內(nèi)部由低級向高級的推動過程。這里的“現(xiàn)實性”是指真實世界和數(shù)學世界的總和，不能望文生義地理解為真實世界、現(xiàn)實世界。

數(shù)學化被分成兩種：一是水平數(shù)學化，即從生活世界中抽象概括出數(shù)學概念、數(shù)學原理等數(shù)學模式的過程，是從生活世界到數(shù)學世界的轉(zhuǎn)化過程。二是垂直數(shù)學化：即從現(xiàn)有的數(shù)學世界中抽象概括出更高級的數(shù)學模式的過程，是從低層數(shù)學到高層數(shù)學的過程。

國內(nèi)外的同行早已認同了Freudenthal的觀點：學數(shù)學就是學習數(shù)學化，教數(shù)學就是教數(shù)學化。數(shù)學化的學習就是學習數(shù)學化的過程，即學習如何進行公理化、形式化、圖式化、模型化，以及學習在數(shù)學內(nèi)部由低級向高級的發(fā)展過程。

結(jié)論：基于尊重知識產(chǎn)權(quán)以及與國際接軌的要求，“數(shù)學化”應作為數(shù)學核心素養(yǎng)之一，而不是“數(shù)學抽象”。

筆者無法達到這樣的高度，更不具備他們的視野，甚至不能完全理解教授們所言。只能無限地感嘆，我們趕上了好的時代，可以聽到不同的聲音、看到不同的觀點，從而引發(fā)自己相對深層次且多角度地思考問題。

至于究竟什么是數(shù)學的核心素養(yǎng)，目前個人比較喜歡的是南京大學鄭毓信教授的論述：數(shù)學核心素養(yǎng)的基本涵義，應當是通過數(shù)學教學幫助學生學會思維，并能逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理。換句話說，如果大家認可數(shù)學是思維的體操，如果核心素養(yǎng)只能有一個，那就必須聚焦學生的思維。其實，回望目前國家已公布的高中數(shù)學六大素養(yǎng)，亦或是2011版《義務教育數(shù)學課程標準》提出的十大核心概念，哪一條離開了思維的基礎(chǔ)與前提，都將成為無源之水、無本之木。特別地，關(guān)于“基本活動經(jīng)驗”的審思，最近有專家提出所謂的“三用”主張，即：我們要讓學生學會用數(shù)學的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學抽象和直觀想象的素養(yǎng)；讓學生學會用數(shù)學的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理和數(shù)學運算的素養(yǎng)；讓學生學會用數(shù)學的語言表達世界，發(fā)展數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)。這樣的主張清晰好記，也易于理解。但若冷靜地想一想，“數(shù)學的眼光”“數(shù)學的思維”“數(shù)學的語言”是否應該絕對地分隔開來？進一步思考：“我們看世界，究竟是用眼睛在看，還是用頭腦在看？”還有，大家都知道語言與思維之間存在重要的聯(lián)系，如“語言是思維的外化”“思維是內(nèi)在的語言”等。如此，可以看出“數(shù)學的眼光”“數(shù)學的思維”“數(shù)學的語言”應是一個整體，且是一個以“數(shù)學思維”為中心的整體。所以，數(shù)學思維自然就成了核心的核心。

簡言之，數(shù)學核心素養(yǎng)指向數(shù)學思維品質(zhì)的提高。而數(shù)學思維品質(zhì)區(qū)別于其他學科的思維，有著豐富的內(nèi)涵，包括思維的清晰性與嚴密性（合理性），思維的深刻性與全面性，思維的綜合性與靈活性，以及思維的創(chuàng)造性等。

在陳瑾、張聰聰兩位教師的教學中，通過關(guān)注數(shù)學概念的本質(zhì)，提升了學生的思維品質(zhì)，同時也落實了數(shù)學的核心素養(yǎng)。

關(guān)于《分數(shù)的初步認識》一課，張老師的教學相對中規(guī)中矩，基本按照教材編排進行；陳老師則相對大膽，在基于學情的前提下，充分尊重了教材，又超越了教材。兩位教師都比較關(guān)注學生的學，兩種教法均取得了較好的教學效果。由于學生年齡較小，且分數(shù)的意義較多，本節(jié)課定位是初步認識，所以核心是讓學生明白分數(shù)的第一個意義，表示部分與整體的關(guān)系即可。該課筆者聽過不少于上百節(jié)，其中包括許多大師名家的精彩演繹。實事求是地分析，兩位教師許多的教學設計之處與大家并無多大差異，但有一點卻給筆者留下了深刻的印象。就是引導學生明白分數(shù)是在平均分的基礎(chǔ)上，表示部分與整體的關(guān)系的處理。張老師以為抓手，讓學生表示出一張正方形紙的，學生一一展示，黑板上張貼了學生不同的作品。

教師追問：既然這里的六個正方形形狀不同、大小也不同，為什么都可以用來表示？引導學生明白，只要是平均分成四份，不管大小形狀，每一份都是整體的。許多教師的教學到此就結(jié)束了，因為學生已經(jīng)可以充分感悟分數(shù)表示部分與整體的關(guān)系的本質(zhì)了。但張老師并沒有就此打住，而是繼續(xù)往前走了半步：

“師：說得太好了！只要把一張正方形紙平均分成四份，那么每份一定是它的。（課件動態(tài)演示）那這樣呢？

師：你說得沒錯，如果這樣分呢？

生：好像不是平均分的。

師：那我們來驗證一下。（課件動態(tài)演示每一份是一樣大的）

師：這樣分呢？

生：一定也是，因為每一份是一樣大的。

師：其實這樣的分法還有很多！但不管怎么分，只要把它平均分成了四份，每一份都可以用來表示。”

也許有教師會質(zhì)疑，后面的三種分法不出，絲毫也不影響學生對分數(shù)的理解呀！況且，本節(jié)課主要是讓學生初步感知分數(shù)的產(chǎn)生與意義，并非研究如何等分正方形的啊！對此，筆者完全贊同，但反過來想一想，如此處理，影響學生對分數(shù)的理解嗎？增加了學生的學習負擔嗎？完全沒有。后三種分法張老師并沒有讓學生探究，而是課件播放讓學生欣賞。其實，又并非僅僅是欣賞，還兼有判斷練習的味道。而這種練習，又并非簡單的判斷，恰是強大的思維訓練。后三種中的第一種，學生相對比較容易看出，第二種有些同學則并不能一眼看出，需教師通過課件旋轉(zhuǎn)，才能發(fā)現(xiàn)四部分完全一樣，而第三種分法更多學生想不到。如此處理，不僅加深鞏固了學生對分數(shù)表示部分與整體關(guān)系的意義理解，還凸顯了數(shù)學學習之與人的素養(yǎng)提升的一個重要功能——創(chuàng)造性。一張正方形紙均分四份，并非只有三種分法，其實有無數(shù)種可能（尤其是后三種分法中的第二種，垂直交叉線只要經(jīng)過中心點即可）

張老師如此設計，只是往前走了半步，但就是這半步，不僅凸顯了概念的本質(zhì)，還突出展示了數(shù)學思考的美麗，同時充分體現(xiàn)了創(chuàng)造性的魅力。

引導學生理解：不管分得的形狀是怎樣的，只要是把一個整體平均分成兩份，里面的每一份都是整體的。

至此，陳老師也并沒有結(jié)束，同樣追問：是不是只有這三種分法呢？

有同學舉手說：我發(fā)現(xiàn)只要找到這個正方形的中點，過中點再畫一條線，無論怎樣畫，都能將這個正方形平均分成兩份，每份都是這個整體的，所以應該有無數(shù)種分法，但不管怎么分，每一份都可以表示為整體的。

事實上，學生們的思維水平一點也不比教師差，尤其是最后一個的表示，已經(jīng)達到了五年級分數(shù)再認識的水準。而教師只需不停地追問：形狀、大小都不一樣，為什么都可以用來表示？學生自然感悟，分數(shù)表示的是部分與整體的關(guān)系，與大小形狀等物理屬性無關(guān)，這個過程就是數(shù)學抽象或者說數(shù)學化的過程。如此教學，同樣做到了關(guān)注數(shù)學概念的本質(zhì)，同時還注重了學生思維品質(zhì)的提升。

兩位教師的教學還有其他優(yōu)點，當然也有不足，限于篇幅，不再贅述。筆者只想再次表達一個觀點，俗話說，術(shù)業(yè)有專攻，讓小學教師去研究大學教師的問題，不是不可能，但很難有建樹，反之亦然。作為一線學科教師的我們，關(guān)注的更多應在操作與執(zhí)行的層面，只要大的方向沒錯，心中始終裝著學生，著眼于學生的未來及發(fā)展，關(guān)注學生思維品質(zhì)（尤其是創(chuàng)造性）的提升，扎實地上好每一節(jié)課，終究受益的是學生。