行“通融”之徑進“無痕”之境

許貽亮

“無痕，是教育的至高境界。”怎樣的教育是無痕教育？筆者基于無痕教育的理念，在教學實踐中提出并踐行了“通融數學”——行“通融”之徑，進“無痕”之境。

“通融”是兩個詞語的疊加，其一為“通”，其二為“融”。通，心理學上類似于“順應”，在“順應中求通”，從而明白到“原來是這樣啊！”“通”含有：通俗、通道、直通、通透、變通等之義。融，心理學上類似于“同化”，在“同化中求融”，從而感悟到“它們是一樣的！”“融”含有：融合、融洽、融和、融化、融通等之義。其根源在于無痕教育，追求的是在教學中“有情有理，有法有度”，讓一切教學資源“自然和諧”，從而達成不露痕跡、重劍無鋒、潤物無聲的無痕境界。

中醫上說，“通則不痛，痛則不通”，想通了、理通了，學習就水到渠成了。如教學物體的運動方式“旋轉”時，“順時針”怎樣讓學生通透地理解？如果我們反復地強調“像時針、分針那樣旋轉的方向就是順時針”，這樣便要求學生理解并掌握“順時針”就顯得有點無理了。如果教師能夠用簡單、通俗的數學語言，簡潔易懂地說清其數學本質，通透的理解就可達成。譬如，借用鐘面上的12個數字，其中12既是終點又是起點，還可以看作0，從而就形成了一個有序的等差數列：0、1、2、3、4、5、6……如是觀之，當旋轉時經過的區域對應的數字是從小到大的，即為順時針，反之即為逆時針。這樣就“通”了，無需死記硬背，學生自然可感悟到“原來是這樣啊！”這樣教學，進入了潛移默化中理解的“無痕”之境。

與此同時，教者應有廣闊的教學視野，生活與數學、現代與古代、數學與其他學科、知識的前世今生未來等無一不是教學的優質資源。如果能縱觀全局，聚零為整，融多為一，那么產生的價值將大大超過“1+1＝2”。如教學《比例的認識》時，可以問學生：“比例，我們今天剛學，它是全新的知識還是以往就學過的舊知識？”幫助學生梳理知識之間的聯系，可以感知到其和商不變規律、分數的基本性質、比的基本性質等“形變質不變”。

這樣，學生在不知不覺中思考、分析、對比，便無縫地融入原有的認知結構中，體會到數學之間豐富的聯系，感悟到“變中不變”的數學思想，達成春風化雨中提升數學能力的“無痕”效果。

“有之以為利，無之以為用。”“通融”與“無痕”是“目與綱”的關系，綱舉目張；“通融”與“無痕”是“枝與根”的關系，根深枝茂；“通融”與“無痕”是“形與神”的關系，神足形備。下面，以北師大版五年級上冊《分數的再認識》一課為例，展開來談。

一、通融之間應不露痕跡

讓學習在“不知不覺中開展”是無痕教育的實踐策略之一。如何做到？通俗與融合可以做到。通俗，就是低起點，能夠讓學生無聲中感到親切。融合，就是巧蘊蓄，能夠讓學生不露痕跡地思考、深入。

教學中，在先簡單地回顧三年級學過的分數內容：把誰平均分？平均分幾份？取了多少份？怎么讀？怎么寫？怎么算？接著，逐次出示如下教學素材：

第1圖，屬于舊知的范疇；第2圖，就屬于新知的領域，這時涂色的部分占了整個長方形的幾分之幾？是八分之三、十一分之三、十五分之三？學生在觀察與思考中展開“變通”之旅：畫輔助線，一條不夠，再畫一條，如第3圖。這里，素材是通俗的：長方形；問題是通俗的：陰影部分占幾分之幾？但在這通俗之中，先“分”再“數”，“分數，先分一分，再數一數”的理解與感悟卻在不知不覺中展開，既淺顯易懂又深刻到位。這樣教學，比糾結于“一個整體”有幾種情況？“若干份”是什么意思？等更有教學的價值。

二、通融之間應重劍無鋒

讓學習“在循序漸進中掌握”是無痕教育的實踐策略之一。如何做到？通透與融化可以做到。通透，就是看得清，能夠讓學生破除認知中的迷障；融化，就是化得了，能夠把新知融入原有認知結構之中。

如本教學單元中，有著關于“大于1的分數”的認識，這是教學的難點。其難在于，學生在三年級學習分數的初步認識之后，其思維中關于分數也就有了個不完善的“前概念”，以為“等于1的分數”已經是最大的分數了，因此“大于1的分數”難以理喻。在教學中，我以數軸為載體，讓學生思考：“往下數是幾？”

教學中，退到學生的已有舊知和思維起點，從一份數起，再一份一份地累加。道生一、一生二、二生三、三生萬物。從已經是最大的”認知冰點到“分數也可以無限大”的思維熱點，再把分數的數、整數的數、小數的數融在一起，感悟其中的“同”：它們是一樣的！認知就這樣在對話中無聲無息地達成。

三、通融之間應潤物無聲

讓學習“春風化雨中提升”是無痕教育的實踐策略之一。如何做到？變通與融通可以做到。變通，就是會活學，能夠讓學生具體問題具體分析；融通，就是會活用，能夠讓學生彼此相連，融會貫通。

如教學“兩個未知的整體，比較取相同分率或不同分率的部分，無法確定”。我們提供怎樣的教學素材合適些？——誰取的乒乓球多？

方案一：

方案二：

如果采取方案一，學生常滯于物，囿于兩個兩箱可見的大小關系，常問的問題是“第一個箱子里面可以放幾個第二個箱子？”難以跳出具象的思維全方位地考量三種不同情況。而采取方案二，則學生常能頓悟出：“都有可能！”甚至會“小大人”的口吻道：“不知道，別亂說！”從比較兩個已知整體到比較兩個未知整體，從確定性思維到不確定性思維，挑戰的是學生的分析、想象、推理等數學素養。教學中，改變的只是把第二個小箱子換成一個集合圖，便能夠幫助學生跳出認知的誤區，教學中，學生多數人第一反應都是“第二個箱子取出的乒乓球多大于在有人質疑的情況下，變通之旅隨之展開，通過舉例知道也有可能第二個箱子取出來的多。這時，可以引導思考：“怎么兩種想法都對呢？”明白本題的獨特性“未知的兩個整體”，讓學生經由“同化”“順應”再到認知“平衡”。不自見，故明；不自是，故彰。教學中，一問一疑一導，教師似乎只是在穿針引線，沒有做鮮明的強調或教學，而學習于此就潤物無聲地達成了。“處無為之事，行不言之教。”折射出來的是“真水無香”的無痕追求。

無痕教育，言有盡而意無窮。在實踐中、在思考中、在研究中，越是前行，對于前方的風景就越是期待。