巧用幾何直觀突破教學(xué)難點(diǎn)

趙海英

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要作用。”在課堂教學(xué)中，我們?nèi)绻芨鶕?jù)幾何直觀的特點(diǎn)，巧妙運(yùn)用，那么在突破教學(xué)難點(diǎn)方面，將會起到意想不到的效果。

一、巧用直觀圖形，理解運(yùn)算定律

四年級《乘法分配律》這節(jié)課的教學(xué)情境，教材呈現(xiàn)的是長方形的墻面（如下圖所示），求貼了多少塊瓷磚。

通過這幅圖，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)有多種算法：可以按照每行有10塊瓷磚，藍(lán)色的有5行，白色的有3行，然后求藍(lán)色和白色一共有多少塊。也可以白色和藍(lán)色混在一起，每列有8塊，左邊的墻有4列，右邊的墻有6列。根據(jù)以上的分析可以列式為：

學(xué)生通過算式及結(jié)果的對比，以及對于直觀圖形的觀察就很容易理解乘法分配律的算理了。否則，僅僅通過計(jì)算以及算式的特點(diǎn)理解起來就沒有那么到位了。在這一節(jié)課的內(nèi)容編排中，為了更深層次地理解乘法分配律的算理，教材中在“練一練”的練習(xí)題里也有一道通過圖形來說明為什么等式成立的練習(xí)題：

結(jié)合圖與同伴說說等式3×6＋4×3＝（6＋4）×3 為什么成立。

這樣的編排設(shè)計(jì)，遵循了由直觀到抽象的過程，便于學(xué)生理解乘法分配律的原理，發(fā)揮了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)，體現(xiàn)了直觀幾何在學(xué)習(xí)中的恰當(dāng)運(yùn)用。

二、巧用直觀圖形，理解小數(shù)乘法計(jì)算法則

四年級《小數(shù)乘法》中有這樣的學(xué)習(xí)內(nèi)容：

這個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了小數(shù)的豎式乘法以后，教材編寫者為了更深入地理解小數(shù)乘法的算理而設(shè)計(jì)的一個(gè)問題。對于1.2×1.25能否可以用 1×1＋0.2×0.25來計(jì)算？如果只是讓學(xué)生通過計(jì)算“1.2×1.25 和 1×1＋0.2×0.25”來說明，學(xué)生只是知其然而不知其所以然。但是教材設(shè)計(jì)了上面右圖這一直觀圖形，就能很形象地幫助學(xué)生理解為什么不能用1×1＋0.2×0.25來進(jìn)行計(jì)算。從圖中很容易看出要計(jì)算1.2×1.25的結(jié)果，應(yīng)包含四個(gè)部分的面積，這四個(gè)部分的總面積才是1.2×1.25的積，而不是僅僅算出藍(lán)色的兩部分的面積之和。這對于學(xué)生理解算理很有幫助，北師大版教材對于這種類似的幾何直觀的設(shè)計(jì)很多，既體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合又體現(xiàn)幾何和代數(shù)的融合性，既解釋了小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算原理，又為初中的多項(xiàng)式乘法打下了基礎(chǔ)。這樣的設(shè)計(jì)，充分體現(xiàn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的課程基本理念“要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系”。

三、運(yùn)用直觀操作，理解分?jǐn)?shù)乘法算理

這樣的設(shè)計(jì)簡直太妙了。如果沒有運(yùn)用圖形，就按照分?jǐn)?shù)乘法的意義表示求的是多少？就是把平均分成4份，取其中的一份是多少？這樣確實(shí)也能推出這個(gè)算式的結(jié)果，但學(xué)生理解起來有些抽象。所以這里先讓學(xué)生折一折，然后再想一想、算一算。在動手操作的過程中找到解決問題的方法，就很容易看出的結(jié)果是，然后再來觀察積的分子和分母與兩個(gè)乘數(shù)的分子和分母之間的關(guān)系，從而歸納出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。這樣的設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于課程設(shè)計(jì)思路的要求：“在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程”，也就是我們平時(shí)說的除了重視知識的結(jié)論，我們更要重視知識的形成過程，既要知其然，更要知其所以然。

四、巧用幾何直觀，解決實(shí)際問題

1.巧用直觀圖形，理解數(shù)學(xué)概念。

四年級《小數(shù)點(diǎn)搬家》的學(xué)習(xí)內(nèi)容，教材是這樣編排的：

小數(shù)點(diǎn)向左移動，小數(shù)的大小發(fā)生了什么變化？說一說，填一填。

小數(shù)點(diǎn)搬家引起小數(shù)大小的變化本來是很抽象的一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，是教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生很難理解，但是用圖形來表示各個(gè)數(shù)，再來觀察這幾個(gè)數(shù)之間的關(guān)系就比較容易了，通過直觀找到結(jié)果，然后再抽象出結(jié)論，小數(shù)點(diǎn)向左移動一位，得到的數(shù)是它的小數(shù)點(diǎn)向左移動兩位，得到的數(shù)是它的

類似地在計(jì)數(shù)單位的學(xué)習(xí)上都運(yùn)用了幾何圖形的形式來說明“滿十進(jìn)一”的十進(jìn)制關(guān)系，不論是整數(shù)還是小數(shù)，這樣的設(shè)計(jì)讓本來很抽象的十進(jìn)制通過直觀地再現(xiàn)，學(xué)生就很容易理解了。

2.巧用直觀圖形，解決數(shù)學(xué)問題。

四年級下冊第12頁有一道這樣的練習(xí)題：

同學(xué)們進(jìn)行跳遠(yuǎn)比賽。冬冬跳了3.16米，亮亮比冬冬多跳了0.23米，強(qiáng)強(qiáng)比亮亮少跳0.12米，強(qiáng)強(qiáng)跳了多少米？請把下圖補(bǔ)充完整再計(jì)算。

下圖是補(bǔ)充完整的圖：

這道題目把三個(gè)人的跳遠(yuǎn)成績做了對比，數(shù)量關(guān)系稍微復(fù)雜些，對于理清這三個(gè)量的關(guān)系，教材編者采取了讓學(xué)生先把圖補(bǔ)充完整，然后再計(jì)算。就是利用直觀圖形，幫助學(xué)生理清較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，從而解決這一數(shù)學(xué)問題。

方法一：先求亮亮的跳遠(yuǎn)成績：3.16+0.23=3.39（米）。

再求強(qiáng)強(qiáng)的成績：3.39-0.12=3.27（米）。

方法二：先求強(qiáng)強(qiáng)比冬冬多跳了0.23-0.12=0.11（米）。

再求強(qiáng)強(qiáng)的跳遠(yuǎn)成績：3.16+0.11=3.27（米）。

這一題如果沒有運(yùn)用直觀圖形，學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)第二種方法。可見幾何直觀圖的編排與運(yùn)用是何等的重要。

其實(shí)，這種編排在北師大版教材中隨處可見，在后續(xù)學(xué)習(xí)的行程問題、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、長方體的表面積及體積等方面，幾何直觀圖都是一個(gè)很重要的解題策略和解題方法。我們要善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，引領(lǐng)學(xué)生充分利用幾何直觀的優(yōu)勢，突破教學(xué)難點(diǎn)，提高教學(xué)效率，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用不同策略解答問題的思維方式，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。