感受數學之“美”

鄧金陽

【摘要】數學在我們的基礎教育中占有重要地位，是世界文化極為重要的組成部分，它不但有智育的功能，而且也有美育的功能。因本人自幼喜愛美術和數學，所以在依據自身美學素養的基礎之上，對數學中的簡潔美、對稱美、創新美等做了總結，使其更好的提高我們的數學學習興趣，培養自身的數學素養。

【關鍵詞】高中 數學 美 表現

德國數學家彭加勒說：“數學家們非常重視他們的方法和理論是否優美。”因此我們在學習中通過正確把握數學美，引導自己去認識美、發現美、欣賞美，并找出發揮數學美的功能途徑，將會有效提高數學學習效果。

一、數學“美”的表現

美作為現實事物和現象，物質產品和精神產品以及藝術作品等屬性的總和，具有勻稱性、比例性、和諧性等特點。我們知道數學的世界是一個充滿了美的世界，在那里我們不僅能感受到和諧、比例、整體和對稱，還可以感受到布局的合理，結構的嚴謹，以及形式的簡潔。數學美的表現形式是多種多樣的，從數學內容看有概念之美、公式之美、體系之美等；從數學的方法及思維看，有簡約之美、類比之美、抽象之美、無限之美等；從狹義美學意義上看，有對稱之美、奇異之美等。經過對數學美表現的總結，我可以肯定地回答數學中含有美的因素，并且數學發展受美育思想的影響，在此可以借助古代數學家普洛克拉斯所說：“哪里有數學，哪里就有美。”本人根據自己所學，對數學美的總結主要包含如下方面：

二、數學的簡潔美

愛因期坦說過：“美，本質上終究是簡單性。”認為只有借助數學才能達到簡單性的美學準則，同時其美學理論在數學界也被多數人所認同，而樸素簡單是其外在形式，只有既樸實清秀又底蘊深厚，才稱得上至美。歐拉給出的公式：V-E+F=2，堪稱“簡單美”的典范。世間的多面體有多少，沒有人能說清楚，但它們的頂點數V、棱數E、面數F，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式概括了無數種多面體的共同特性，著實令人驚嘆不已，同時由它還可派生出許多同樣美妙的東西。如平面圖的點數V、邊數E、區域數F滿足V-E+F=2，這個公式成了近代數學兩個重要分支，即拓撲學與圖論的基本公式，由這個公式可以得出許多深刻的結論，因此其對拓撲學與圖論的發展起了很大的作用。在數學中，像歐拉公式這樣形式簡潔、內容深刻、作用較大的定理還有許多。比如：圓的周長公式：C=2πr=πd；勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方；正弦定理：在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓半徑的2倍。又例如我在學到函數“y=f（x）”時，就為它的簡單之美而感嘆不已，它已簡單到不能再簡的地步，甚至可以說是函數定義最美的“速寫”，不論變量x在某個范圍（定義域）內如何變化，在f（對應法則）的“加工制作”下，其另一個范圍（值域）內的變量y都會有一個確定的值，同時其公式還體現出了函數三個組成部分之間的依存關系。其次要想真正體會其簡單之美，關鍵在于“f”的萬能性，它能代表所有的函數，不論是有解析式的，還是沒有解析式的，也不論是連續的，還是分段的。

數學的這種簡潔美，用幾個定理是不足以說清的，因為數學歷史中每一次進步都使已有的定理更為簡潔，正如希而伯特曾說：“數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法發現密切聯系著”。

三、數學的對稱美

在古代，“對稱”一詞的含義是和諧美觀，是指在一些物品的布置時出現的般配與和諧。畢達哥拉斯學派認為一切空間圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形，圓是中心對稱圓形，圓心是它的對稱中心，圓也是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸。對稱美的形式很多，人們對于對稱美的追求是自然的、樸素的。如格點對稱，14世紀在西班牙的格拉那達的阿爾漢姆拉宮存在所有的格點對稱，而1924年才證明出格點對稱的種類，此外還有格度對稱，如我們喜愛的雪花、對數螺線，知道它的一部分就可以知道它的全部。在中學的數學學習中，也可隨處感受到數學的對稱性，如正弦函數y=sinx關于原點對稱、余弦函數y=cosx與指數函數y=ax（a>0且≠1）（x∈R）關于y軸對稱等，它們都可以體現出數學的對稱性。

四、數學的創新美與奇異、突變美

歐幾里得幾何曾經是完美的經典幾何學，其中的公理：“三角形內角和等于180°”和“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”結論，這些似乎是天經地義的絕對真理，但羅馬切夫斯基卻采用了不同于該公理的結論：“過直線外一點至少有兩條直線與已知直線平行”，從而創造了羅氏幾何，而黎曼幾何學則認為沒有平行線，這些與傳統觀念相違背的理論并不是虛無縹緲的，正如英國美學家哈奇遜所說：“美的獨特令人驚奇”。從物理課程的學習中我們知道人造衛星、行星、彗星等由于運動的速度不同，它們的軌道可能是橢圓、雙曲線或拋物線，而將其用數學知識概括，則為這幾種曲線的統一定義是：在平面內其到定點的距離與它到定直線的距離之比是常數e的點的軌跡。當e<1時，形成的是橢圓；當e>1時，形成的是雙曲線；當e=1時，形成的是拋物線，常數e由0.999變為1、變為0.001，雖相差很小，但形成的卻是形狀、性質完全不同的曲線。

五、總結

總之，高中數學學習的具體目標之一就是使自己認識數學的科學價值、應用價值和文化價值，繼而崇尚數學的理性價值，體會數學的美學意義。在日常的學習中，我們應該深入貫徹數學美學的滲入，以此給自身的學習帶來積極影響，同時我們可以在不斷發現數學美的過程中增強自我認同感，從而提升數學成績，培養自己的學習興趣。

參考文獻：

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