化歸方法在數學解題中的應用

陳映明

【摘要】“化歸”就是把未知的問題轉化為已知的問題；把待解決的問題歸結為已解決的問題，最終使問題得到解決的思維方法.化歸的精髓在于對各種數學問題進行合理變換，從而達到化陌生為熟悉、化未知為已知、化繁為簡、化抽象為具體的目的.

【關鍵詞】化歸；方法；解題；應用

一、引文

莫斯科大學C.A.雅潔卡婭教授曾說：“解題就是把要解的題轉化為已經解過的題.”這話是她在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什么叫解題》的演講時說的.

美國數學教育家波利亞曾用一個“燒水”的淺顯例子，非常明白地解釋了“化歸”的數學方法.他說：“給你一個煤氣灶，一個水龍頭，一盒火柴，一個空水壺，讓你燒一滿壺開水，你應該怎么做？”你會回答：“把空水壺放到水龍頭下，打開水龍頭，灌滿一壺水，再把水壺放到煤氣灶上，劃著火柴，點燃煤氣灶，把水燒開.”這個問題解決得很好.下面的問題：“給你一個煤氣灶，一個水龍頭，一盒火柴，一個裝了半壺水的水壺，讓你燒一滿壺開水，你又該怎么做呢？”很多人的做法是把裝了半壺水的水壺放到水龍頭下，打開水龍頭，灌成一滿壺水，再把水壺放到煤氣灶上，劃著火柴，點燃煤氣灶，把一滿壺水燒開，問題就解決了.對照待解決的問題與已解決的問題，條件只有“裝了半壺水的水壺”與“空水壺”的差別，需要完成的任務都是“燒一滿壺開水”，所以只要把“裝了半壺水的水壺”的條件轉化為“空水壺”的條件，待解決的問題就“化歸”為已解決的問題了，當然這是數學的思考.

二、何謂“化歸”

（一）化歸詮釋

“化歸”是把未知的問題轉化為已知的問題；把待解決的問題歸結為已解決的問題，最終使問題得到解決的思維方法.

化歸的精髓在于對各種數學問題進行合理變換，從而達到化陌生為熟悉、化未知為已知、化繁為簡、化抽象為具體的目的.

（二）化歸分類

化歸在數學中無時不在無處不存，轉化是多種多樣的，數與數的轉化、數與量的轉化、量與量的轉化、代數與幾何的轉化、數與形的轉化、運算關系的轉化等等.

轉化又分為等價轉化與非等價轉化.等價轉化指的是轉化過程中前因后果是充分必要的，保證轉化后的結果仍是原問題的結果.非等價轉化其過程是充分或必要的，需對結論進行必要的修正.

（三）化歸的一般模式

化歸轉換的思想方法是數學解題的重要方法，利用化歸轉化解決問題的一般模式如下：

化歸后得出的問題*必須是已經解決了的，或者是容易解決的、能夠解決的.

三、解題策略上的化歸

（一）數與數的轉化

問題1f（x）是R上的奇函數，f（x+2）=f（x），當0≤x≤1時，f（x）=x，求f（7.5）.

解答該問題時，主要是數與數的轉化，再結合函數的周期性與奇偶性可得f（7.5）=f（5.5）=……=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5.

（二）數與形的轉化

問題2設x，y∈R，3x2+2y2=6x，求x2+y2的取值范圍.

此問題可數形結合轉化為解析幾何問題求解.由3x2+2y2=6x，得（x-1）2+y232=1，它是一個頂點在坐標原點的橢圓，x2+y2的范圍就是橢圓上的點到坐標原點的距離的平方，顯然最小值是0，距離最大的點是以原點為圓心的圓與橢圓相切的切點，此切點為（2，0），它到坐標原點的距離的平方為4，故所求的范圍是[0，4].

（三）通過恒等變形實現化歸

1.在求有限和的極限時通過恒等變形轉化為定積分來求.

問題3計算limn→∞∑nk=1nn2+k2.

此極限可通過恒等變形結合定積分的定義化歸為定積分求出.

limn→∞∑nk=1nn2+k2=limn→∞1n∑nk=111+kn2=∫1011+x2dx=arctanx|10=π4.

2.求導數時作恒等變形轉化為簡單形式再求導.

問題4求y=sin2xcos2xsin3x-sinx的導數.

求此導數可作恒等變形先化繁為簡再求導，就大為簡便了.

y=sin2xcos2xsin3x-sinx=sin2xcos2x2cos2xsinx=sinx2，

再求導得y′=sinx2′=cosx2.

3.求積分時作恒等變形實現化歸.

問題5計算∫2x+3x3+x2-2xdx.

將被積函數恒等變形即分式分項，得

2x+3x3+x2-2x=-32x+53（x-1）-16（x+2），從而

∫2x+3x3+x2-2xdx=-32∫1xdx+53∫1x-1dx-16∫1x+2dx

=-32ln|x|+53ln|x-1|-16ln|x+2|+C.

（四）通過變量替換實現化歸轉換

問題6已知f（x+1）=3x+2，求f（x）.

設x+1=u，則x=u-1，f（x+1）=f（u）=3（u-1）+2=3u-1，∴f（x）=3x-1.

（五）特殊到一般與一般到特殊的化歸

問題7計算極限limn→∞nn.

將求limn→∞nn轉化為求limx→+∞xx=limx→+∞x1x，利用羅比達法則就可求出.

此問題是數列極限化歸為函數極限來求.

問題8x∈[-1，1]，有arcsinx+arccosx=π2.

此恒等式的證明化歸為研究函數的導數.

設f（x）=arcsinx+arccosx，則f′（x）=0，

∴f（x）=arcsinx+arccosx=C（C是常數），

令x=0，有f（0）=arcsin0+arccos0=C=π2，

當x=±1時，f（±1）=π2，

∴x∈[-1，1]，有arcsinx+arccosx=π2.

以上的化歸都是等價轉化，跟非等價轉化相比，等價轉化居多.

（六）非等價轉化問題

問題9解方程lg（x2-2x-3）=lg（1-2x）.

lg（x2-2x-3）=lg（1-2x）x2-2x-3=1-2x

x2-4=0，∴x1=-2，x2=2（經檢驗是增根，舍去），

∴原方程的根為x=-2.

此問題是將對數方程轉化為代數方程求解，這種轉化是非等價轉化，所以需對結論進行必要的修正.盡管如此，非等價轉化仍能帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口.

以上通過9個問題簡略談談化歸方法在數學解題中的應用，實際上化歸在數學中的應用是非常廣泛的.化歸方法解決問題的策略是從未知領域出發，向已知領域轉化，各種轉化的共同本質是變中有不變，轉化是手段，揭示出不變的東西才是目的.良好的轉化意識，有利于強化解決數學問題的應變能力，提高自身的思維品質和數學素養.

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