從下位概念到上位概念 逐步揭示數(shù)量關(guān)系

陳淑敏

摘 要：最新人教版教材增加了“數(shù)量、單價(jià)、總價(jià)三者數(shù)量關(guān)系”的學(xué)習(xí)。文章結(jié)合教學(xué)實(shí)踐從“整體感悟” “聚類領(lǐng)會(huì)” “整體揭示”和“情境運(yùn)用”四大環(huán)節(jié)出發(fā)，淺談“基于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的數(shù)量關(guān)系教學(xué)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；上位概念；下位概念；數(shù)量關(guān)系教學(xué)

奧蘇伯爾的有意義學(xué)習(xí)理論指出：當(dāng)學(xué)習(xí)者在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的幾個(gè)概念的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)一個(gè)包容性程度更高的概念時(shí)，即原有概念是從屬概念，而新學(xué)習(xí)的概念是總結(jié)性概念時(shí)，可采用上位學(xué)習(xí)的同化模式。在四年級(jí)學(xué)習(xí)數(shù)量關(guān)系之前，學(xué)生有關(guān)求“每本多少錢”“每根鋼筆多少元”等這方面的知識(shí)積累還是比較豐富的；對(duì)于“買了幾本”“買了幾千克”等知識(shí)也能理解；對(duì)于“一共花了多少錢”生活中的體驗(yàn)更是深刻。對(duì)于前面提及的這些概念就是“單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)”三個(gè)術(shù)語相對(duì)應(yīng)的“下位概念”。基于這些思考，筆者采用“整體感悟”的教學(xué)策略，主要運(yùn)用從下位概念到上位概念的結(jié)構(gòu)教學(xué)。

一、整體感悟：激活下位概念

首先，在感性體驗(yàn)中，激活數(shù)量關(guān)系的事實(shí)原型。出示表1，通過學(xué)生之間的不同意見，讓學(xué)生明白如果要準(zhǔn)確比出這種筆記本在哪家超市比較便宜，還需要知道“買了幾本”。緊接著出示表2和表3，讓學(xué)生感知兩種不同材料的背景，體悟兩種不同的比較方法，并嘗試歸納提煉比較的基本方法。一般情況下，“比便宜”可以著眼于兩個(gè)維度：當(dāng)“數(shù)量”相同時(shí)，直接根據(jù)“總價(jià)”的多少來判斷誰更便宜；當(dāng)“總價(jià)”相同時(shí)，根據(jù)“數(shù)量”來判斷誰更便宜。因此，“比較便宜”的過程，就是包含“單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)”三者之間關(guān)系的過程，邁出了整體感悟的第一步。

其次，在再度體驗(yàn)中，激發(fā)“求一個(gè)數(shù)量單位商品的價(jià)格”的需求。設(shè)計(jì)了如表4的材料，數(shù)量上存在倍數(shù)關(guān)系，學(xué)生出現(xiàn)了三種解法：①8÷4=2，24×2=48（元），48元>32元，所以紅富士比較便宜；②8÷4=2，32÷2=16（元），32元>16元，所以紅富士比較便宜；③24÷4=6（元），32÷8=4（元），6元>4元，所以紅富士比較便宜。再出示如表5的材料，數(shù)量上不存在數(shù)量關(guān)系，學(xué)生只出現(xiàn)了一種解法：32÷4=8（元），35÷5=7（元），8元>7元，所以女士襪子比較便宜。接著進(jìn)行一次小溝通對(duì)比，比較表5比的方法與表4比的方法的差異，逐步體會(huì)到用倍數(shù)關(guān)系來計(jì)算比較，具有一定的局限性，從而感悟到“求一個(gè)數(shù)量單位商品的價(jià)格”這種比較方法的簡捷性和必要性。

最后，在類比中，求出課一開始導(dǎo)入的每本筆記本的價(jià)錢。

至此，學(xué)生在“比哪種筆記本便宜”“比哪種蘋果便宜”“比哪種襪子便宜”的三種不同的單位數(shù)量的不同層次的比較中，通過不同形式的解決問題，積累了較為豐富的數(shù)學(xué)事實(shí)，逐步積累起有關(guān)抽象關(guān)系的整體體驗(yàn)，為下一步的數(shù)量關(guān)系的提煉做好了鋪墊。

二、聚類領(lǐng)會(huì)：理解上位概念

基于平時(shí)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生之所以很難牢固掌握“數(shù)量關(guān)系”，一個(gè)非常重要的原因是，他們對(duì)“數(shù)量關(guān)系”的三個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語的含義理解不夠準(zhǔn)確到位，從而影響他們對(duì)“數(shù)量關(guān)系”的整體意義的有效把握。“單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)”這三個(gè)術(shù)語就是相對(duì)于前面提及的“下位概念”的相對(duì)應(yīng)“上位概念”。在下位概念充分激活的情況下，將前面的各種“比便宜”聚類（如表6），先對(duì)本質(zhì)進(jìn)行溝通，發(fā)現(xiàn)表格的每列具有相似之處；再對(duì)材料進(jìn)行整合，將三個(gè)表格合并起來，把原先的三個(gè)“表頭”，置于新表格的頂部（如表7） ；最后大溝通，梳理生成“概念”，學(xué)習(xí)“上位概念”。

“單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)”這三個(gè)概念中，“單價(jià)”是核心概念。對(duì)于“單價(jià)”這個(gè)核心概念，還采取“先歸統(tǒng)再區(qū)分”的教學(xué)策略。在未揭示“單價(jià)”和“總價(jià)”的概念之前，引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，同樣是“價(jià)錢”，第3、第4列有什么不同，從而引出：數(shù)學(xué)上為了準(zhǔn)確區(qū)分這兩種價(jià)錢，把購買的幾千克、幾雙、幾本的價(jià)錢，也就是“一共花了多少錢”統(tǒng)稱為“總價(jià)錢”簡稱“總價(jià)”；把每千克、每雙、每本的價(jià)錢，也就是“一個(gè)數(shù)量單位商品的價(jià)格”，簡稱“單價(jià)”。同時(shí)，在學(xué)生舉“單價(jià)”例子和欣賞各種“單價(jià)”例子中，完善“單價(jià)”的內(nèi)涵：單價(jià)不僅是指一件商品的價(jià)錢，也可以是幾件商品拼成的一組或一箱等的價(jià)錢。

因此，在教學(xué)的前階段要舍得花時(shí)間，設(shè)計(jì)先行組織者，借助學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，從下位概念順承到上位概念，為其繼續(xù)感悟“三個(gè)術(shù)語之間有什么聯(lián)系”作好鋪墊。學(xué)生對(duì)概念、方法的理解是逐步深入的，這種漸進(jìn)的過程其實(shí)就是經(jīng)驗(yàn)的豐富與條理化的過程。

三、整體揭示：提煉數(shù)量關(guān)系

事實(shí)上，經(jīng)過前面環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，對(duì)于“單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量”的關(guān)系方式，學(xué)生已經(jīng)有了扎實(shí)的功底來建立。緊接著，放手讓學(xué)生獨(dú)立思考、同桌互助，借助表格中的數(shù)據(jù)信息，自主歸納提煉出另外兩個(gè)數(shù)量關(guān)系式。同時(shí)也不斷追問“你怎么證明你編的數(shù)量關(guān)系式是正確的”，從而幫助學(xué)生經(jīng)歷將數(shù)量關(guān)系與具體情境相分離的抽象過程，又使學(xué)生能在抽象的數(shù)量關(guān)系與具體情境之間建立有意義的聯(lián)系，至此整個(gè)“數(shù)量關(guān)系”的系統(tǒng)脈絡(luò)便鏈接成網(wǎng)了。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)逐漸積累的過程，而學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程是學(xué)生感性經(jīng)驗(yàn)的積累逐步向理性經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)變的過程。

積累數(shù)量關(guān)系的基本結(jié)構(gòu)，能使學(xué)生在獲取信息之后迅速地形成解決問題的思路，提高解決問題的能力。但是現(xiàn)實(shí)生活中的問題千姿百態(tài)，結(jié)構(gòu)變化多端，也需要不斷形成一些解決問題的方法。縱觀本節(jié)課的設(shè)計(jì)，可以發(fā)現(xiàn)購物問題的“單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)”的數(shù)量關(guān)系式揭示得恰到好處，同時(shí)有前面的整體感悟，學(xué)生不會(huì)將解題方法框定住。例如，“4千克蘋果24元，3千克梨15元，媽媽買了8千克的蘋果和9千克的梨一共需要多少元錢？”學(xué)生在完成此類問題時(shí)，解題方法呈現(xiàn)多樣性，有的利用數(shù)量關(guān)系式來解答，有的利用倍數(shù)關(guān)系來解答。因此，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)既要揭示得充分到位，又不能將數(shù)學(xué)思維教死，從而使學(xué)生主體性、多樣性的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得到優(yōu)化。

四、情境運(yùn)用：促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)積累

學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是一個(gè)循序漸進(jìn)、層層遞進(jìn)的過程，因此，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)要注重學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用。在情境運(yùn)用的過程中要注重小結(jié)性的語言，關(guān)鍵性的小結(jié)對(duì)于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累具有重要的作用。

首先是兩道針對(duì)性的專項(xiàng)練習(xí)，鞏固所學(xué)的三個(gè)數(shù)量關(guān)系式。把“數(shù)量關(guān)系”放回到學(xué)生熟悉的情境中，讓學(xué)生用它解決實(shí)際問題，落實(shí)知識(shí)技能目標(biāo)。在師生的交流中，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、小結(jié)：單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)三者之間存在三個(gè)數(shù)量關(guān)系，利用數(shù)量關(guān)系式，已知其中任何兩個(gè)量，都能求出第三個(gè)量。促進(jìn)學(xué)生解決問題的基本結(jié)構(gòu)（兩個(gè)相關(guān)條件和一個(gè)問題）的表象完整化，積累解題經(jīng)驗(yàn)。

其次是數(shù)形結(jié)合，有意識(shí)地滲透函數(shù)思想，建立函數(shù)表象。設(shè)計(jì)如表8， 收集整理學(xué)生的數(shù)據(jù)，形成條形統(tǒng)計(jì)圖。在動(dòng)態(tài)的過程中形成了對(duì)函數(shù)直觀的認(rèn)識(shí)，更好地幫助學(xué)生把握數(shù)量間的變化規(guī)律 ：“單價(jià)”一定，“總價(jià)”隨著“數(shù)量”的增多而增多，隨著“數(shù)量”減少而減少。這樣一句小結(jié)性的語言，使學(xué)生由具體形象的靜態(tài)認(rèn)識(shí)提高到在運(yùn)動(dòng)、變化中去概括，形成函數(shù)表象。

基于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)量關(guān)系的教學(xué)時(shí)，大致可以經(jīng)歷“整體感悟”“聚類領(lǐng)會(huì)”“整體揭示”和“情境運(yùn)用”。筆者認(rèn)為，“整體感悟”要做到體驗(yàn)豐富，“聚類領(lǐng)會(huì)”要做到理解準(zhǔn)確， “整體揭示”要做到提煉到位，“情境運(yùn)用”要做到內(nèi)化靈活，這樣“數(shù)量關(guān)系”才能扎實(shí)有效地納入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，成為數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的一個(gè)部分。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]吳亞萍，王 芳.備課的變革[M].北京：教育科學(xué)出版社，2007.

（作者單位：福建省廈門市濱海小學(xué)）