基于經驗，拓展經驗

錢建兵

【教學片段1】

出示題目：每次只能烙兩張餅，每面都要烙，每面3分鐘。

師：每次只能烙兩張餅是什么意思？你覺得放兩張合適，還是一張合適？為什么？照這樣的方法，兩張餅可能需要多長時間？（6分鐘，12分鐘）

師：6分鐘真能烙熟？

師：那我們用手代表餅，你能試一試嗎？

學生以手代餅，每烙一次，配合有“嗞啦”聲，代表“3分鐘”。

師：兩張同時烙，用的時間最短。他給我們帶來了最重要的東西——經驗，在經歷和活動中產生的體驗。掌聲送給帶給我們經驗的人。

師：你們知道有了經驗下次碰到問題該怎么辦？敢挑戰嗎？挑戰來了。照這樣，烙4張餅，最少需要多少時間？（12分鐘）

師：耳聽為虛，眼見為實。

學生演示。

師：你從哪兒想到是12分鐘的？怎么這么快？

生：因為2張餅是6分鐘，4張餅就是12分鐘。

生：4是兩個2。

師：我聽出來了，你們是根據上面的經驗，4里有兩個2，當然時間就是兩個6分鐘。

師：比較，你們發現這個經驗跟上面的經驗有關，又產生了一個經驗。告訴你們一個小秘密，經驗加經驗，會產生新經驗。

師：你敢做加法嗎？試一試！烙6張餅至少要多少分鐘？是怎么烙的？

【賞析】積累數學活動的經驗，要通過必要的引導、反思，從而獲得對原有經驗的超越與提升。在學生經歷了探索烙2張餅的活動后，徐老師沒有讓學生按順序烙3張餅，而是讓學生烙4張、6張餅，烙2張餅的經驗立即得以運用、驗證，進一步強化了2張同時烙的經驗，使學生對經驗的作用有了較深刻的體驗，促使學生積極主動地調用經驗。同時，“經驗加經驗”的模式得以納入原來的經驗框架里。

【教學片段2】

師：照這樣下去，你能說出烙更多張餅最少需要的時間了嗎？經驗豐富嗎？雖然你們經驗豐富，我覺得還不夠，因為你們的經驗還不全面。說一說，你們的經驗都是關于怎樣的經驗？（餅數是雙數的）

師：根據前后的經驗，告訴我3張餅至少需要多少時間？（9分鐘或12分鐘）

師：烙3張餅比2張的時間多，比4張少，怎么不對？（12分鐘）

教師請認為是12分鐘的學生演示，先同時烙2張，再烙1張，一共用了12分鐘。

此時，有一位學生表示用6分鐘。

學生演示正確的方法，并在此過程中，發現是9分鐘。

師：雖然不是6分鐘，但是我們通過實踐，發現真是9分鐘。

師：他的實踐，使我們懂得了一種方法，這樣輪流著烙，交替烙，每次鍋里都放幾張？（2張）

師：原來我們以為要12分鐘，現在只要9分鐘，還有3分鐘去哪兒了？我們來看看，第一次烙時有沒有充分利用資源。

教師分別演示用時12分鐘和9分鐘的方法。學生發現，用時12分鐘的方法烙第3張時鍋里只放了一張，而用時9分鐘的方法每次鍋里都放2張。

師：恰恰因為充分利用了資源。這3張餅能不能分成2張和1張？

師：是的，應該看成一個整體。整體考慮，就不叫同時烙，叫？（交替烙）

師：換一個角度，是不是把經驗豐富了？還能加嗎？把哪兩個相加，就能得出烙5張餅至少需要多少時間呢？怎么烙呢？

師：6張餅除了同時的方法，還可以用什么方法？

師：孩子們，發現了嗎？在數學中，當你的方法多了以后，你就可以用方法彼此驗證自己的結論。

師：老師發現一個問題，5張餅是同時加交替，6張餅也是同時和交替，這中間應該用哪個字？（或）

師：是什么意思？

生：可以選擇其中一種方法。

【賞析】通過引導觀察，學生意識到新的問題用“經驗加經驗”的模式無法解決。學生認識到已有經驗的局限性，打破了暫時的平衡，產生了解決烙奇數張餅的需求。學生進入“失穩階段”。

顯然，“交替烙”這種方法，是對學生原有經驗觀念的更新。要重組這一新經驗，需要學生親身經歷，在此基礎上形成一種新的認識與體悟，才能形成新的經驗。“交替烙”與“同時烙”的對比是新經驗的建立所必需的，這是因為和先有的經驗產生沖突對于超越、拓展這些經驗所帶來的局限是必需的。學生在活動反思中進一步優化自己的經驗框架，從而使新經驗納入自己的經驗框架，實現經驗的豐富。這里的“交替烙”經驗的建立不一定要通過摧毀先有概念“同時烙”，徐老師將不同的經驗方法并存、互補，從而實現了新的平衡。從不平衡過渡到另一種平衡，整個經驗系統都在發生變化。

理解“交替烙”后面所隱藏的統籌方法是本課重點。積累經驗的目的是在活動過程中體會統籌優化思想，發展學生的數學思維。對兩種方法的剖析，使學生對統籌優化方法中的充分利用資源有了體驗與感悟。

【教學片段3】

師：7張要多少分鐘？8張呢？怎么這么快就說出答案了？

生：找到規律了！

師：當經驗足夠豐富了以后，就可以歸類，找出規律。有了規律，離答案還遙遠嗎？

教師在板書下面補上省略號。

師：誰知道表示什么意思？

生：知道就不用寫了。

師：隱藏的規律與前面是一樣的。以此類推，就是以此歸類，再推出規律。

師：那你推的規律是什么？

生：每增加一張餅，時間就加3分鐘。

師：倒過來說呢？

師：規律難嗎？考考你們！4張？3張？2張？1張呢？

生1：3分鐘。

生2：不對，6分鐘！

師：為什么1張餅不符合我們今天找到的規律？

生3：因為1張餅兩個面，每面都要3分鐘。

生4：因為1張餅每次只烙1張，其他的每次都烙兩張。

師：暴風驟雨般的掌聲送給他！

師：是啊，因為這里有個信息——2（將表示鍋的長方形平均分成兩份），它是我們這口鍋的資源數。我們剛才研究規律時，都是在充分使用資源的條件下尋找的規律，所以它適用于充分使用資源的餅數，即大于等于2的情況下。而1小于資源數，能這樣算嗎？說明一切規律都是有條件的規律，運用規律解決問題要關注規律適用的條件。

師：回頭看，你覺得這些經驗中哪些經驗最重要？

生：烙的方法，同時烙和交替烙。

師：你們找得很對。這兩個經驗與其他的經驗不同，這叫基本經驗，有了他們，其他的都可以拋掉。

師：一張餅真的不能用3分鐘嗎？

教師出示電餅鐺圖片。

師：改變環境條件，同樣是一種優化。

師：我們今天研究的是方法上的優化，而它改變了環境與條件，是本質的優化，創造性的優化。把不可能變為可能，是人類永遠追求的創造。

【賞析】經驗形成后，并不是被簡單地儲存起來，它必須隨時可以被調用，并經常處于調用狀態。對省略號意義的反思，一是引導學生調用經驗，思考經驗背后的規律，也是將學生的注意力引導至基本經驗中來。以“此”類推，“此”即是基本經驗，這也是數學方法的滲透。復雜的問題可以轉化為簡單的問題。經驗的積累起源于解決簡單的問題。隨著經驗的豐富，學生對烙餅活動后面所隱藏的規律也水落石出，對背后的統籌方法也有所悟。

徐老師利用學生經驗的豐富與熟練應用而導致的思維自動化，讓他們不假思索說出了“烙1張餅要花3分鐘”。學生頓悟后的理性思考就更具教育意義，對規律的適用范圍有了理解。值得一提的是，結束時提出的“如何3分鐘烙一張餅”的挑戰，是對已建立起的“在一定條件下充分利用資源的經驗系統”的挑戰，又一次打破平衡。“改變環境與條件”這一創造性的優化與統籌安排方法優化并存，完善了學生的認知結構。

（作者單位：江蘇省南通市通州區西亭小學 責任編輯：王彬）