惑處釋疑盲處延伸

婁榮蘭

一、發現問題

練習環節有一道改錯題：教師隨堂搜集學生練習中出現的錯誤（圖1），讓學生找出錯誤并改正。

錯誤①十位上的1和32乘得32個十即320，3應該和百位對齊。錯誤②十位上的1和個位上的6乘得6個十，不能寫在百位上，應和前一步計算進位的1相加得7。錯誤③兩層積是相加而不是相乘，通過讓學生說一說算理，再添加運算符號“+”來提醒自己兩層積的關系，就可以避免此類錯誤（圖2）。錯誤④乘的時候沒有按一定的順序，乘之前用畫箭頭的方法明確計算順序可避免重復及遺漏（圖3）。

師生都找不到錯誤⑤的錯誤原因，只好請做錯題的學生敘述他的計算過程。這時，教師恍然大悟：“你乘法口訣背錯了，課后好好背下來。”然后便進入下一個環節的教學。

二、問題研討

課后研討主要集中在兩點：一是對改錯環節的評價，對于不會口訣的學生的指導要更有針對性；二是待改進之處：如何處理計算課型的鞏固練習，才能讓學生在形成計算技能、提高正確率與速度的同時，避免計算練習的枯燥與單調？

（一）要點評析

1. 改錯環節存在的必要性。

第一，這些錯誤不及時反饋改正，學生就容易形成錯誤認知，不利于形成正確算法。第二，在找錯和改錯的過程中，能進一步強化學生對算理及算法的理解，最終形成正確的算法及計算技能。第三，從技能形成和知識建構角度看，有正例有反例，正例示范算理及算法，反例強化算理及算法，讓學生明確應該怎樣、不能怎樣，這樣的技能形成與知識建構才全面。第四，在糾錯的過程中，有學生找到了加箭頭提示有序計算，添加號表示兩層積的相加關系的技巧，有效解決了部分學生因不熟練導致的注意廣度不夠而產生的錯誤，是提高正確率的有效辦法。

2. 改錯環節處理不當之處。

教師對背錯乘法口訣的學生只說了“課后好好背”，這并不是有效的指導。如果是正常遺忘，課后鞏固一下是可以的，可如果有的學生因機械記憶欠缺，而無法正確背出口訣呢？

3. 改錯環節改進的可能性。

對機械記憶口訣有困難的學生，是否有改進教學的可能性？以下是筆者和這個班里一個小組的課后對話。

師：如果計算乘法時背錯口訣該怎么辦呢？

生■：背很多遍自然就記住了。

師：可是有的同學背很多遍還是記不住呢？

生■：他可以用加法計算。

師：能舉例解釋一下嗎？

生■：剛才做錯的27×46，可以把27一直加46次。

師：根據乘法意義，是一個解決的方法。

生（其他組員）：太麻煩了！

生■：簡單點，先用加法算27×6，再用加法算27×4。

生■：也可以每一步乘法都用加法計算，6×7就用7個6連加，6×2就用2個6連加。

生■：可以畫圖找每次乘法的計算結果，比如6×7，每行畫7個圓點，畫6行，就是6×7的結果。（圖4）

筆者思考：用加法和畫圖的方法來計算乘法，這對幫助那位背錯口訣的學生來說是有效的方法，雖說麻煩，但比教師的應對更有針對性。再者，雖然用口訣計算是最簡單的，但對機械記憶有困難的學生，不用計算器該如何既正確又有效地計算乘法呢？

（二）改進建議

前文中，生4能想到用數形結合計算乘法，說明用該方法畫出乘法結果不但可行，而且可以幫助學生理解乘法計算的本質。基于此，筆者建議：在計算練習之后加以拓展，介紹畫線乘法。

【教學片段1】

1. 方法示范。

師：除了豎式計算，還可以畫出乘法結果呢！

教師演示21×13的畫圖法，分步驟講解。

師：看明白了嗎？是怎么畫的呢？讓學生完整說出畫圖法的過程（圖5）。

21×13=273

師：三位數乘三位數一樣能方便畫出計算結果。

演示123×321的計算過程，每一步讓學生試著說出畫法，教師根據學生回答情況適當補充講解（圖6）。

123×321=39483

2. 嘗試應用。

教師出示13×24和21×15，學生任選一題畫出圖形，計算并列豎式驗證。

3. 明確算理。

師：為什么能畫出乘法計算結果呢？以123×321為例（圖7），將圖形與豎式對比可見，區域⑤是個位和個位乘得幾個一，區域④是個位和十位、十位和個位乘得幾個十，區域③是個位和百位、十位和十位、百位和個位乘得幾個百，區域②是十位和百位、百位和十位乘得幾個千，區域①是百位和百位乘得幾個萬。每個區域中的交叉點就是乘法豎式中間結果的另一種表達形式，豎式中先口訣計算再相加的過程，在點線圖中就是直接數點子總數的過程。

4. 溝通聯系。

教師簡單介紹鋪地錦及與畫法的聯系供有興趣的學生課后研究。

師：將左圖線拉正變成中間圖，用數字代替點子數，再畫上方格和斜線（每個方格所對應的因數相乘，所得的積就填在相應方格內。其中，斜線將每個方格分成兩位，若乘得的積不足兩位，就用“0”占十位），即得到下圖鋪地錦的方法（圖8）。

（三）改進依據

畫線乘法與豎式乘法相比，雖不夠簡潔，但有其自身的獨特價值：首先，可以幫助口訣計算有困難的學生也能正確計算乘法。其次，畫線乘法不僅能直接數出結果，而且幾乘幾及其所表示的含義能從圖中直接感知；將抽象的“數”轉化成形象的“線”與“點”，根據簡單規則在“畫”與“數”的過程中得出乘法算式的結果，既能體現“數形結合”這一思想的妙處，也有助于激發學生學習數學的興趣。

那么教學中該如何取舍？是簡潔地算，還是形象地畫？為了避免計算教學的枯燥和單調，有必要在重點教學豎式乘法之后簡單介紹畫線乘法來激發學生學習興趣，感受數學帶來的方法美、奇異美，同時幫助理解算法、體會算理、感悟數學思想方法。在平時的課堂中，教師若能不止于教材，廣泛取舍，將諸多資源巧妙糅合，努力為學生創造融會貫通、積極思考的機會，相信我們的數學課堂能更好地煥發生命的活力。

三、優化課堂

執教教師重新設計了教學流程：在情境中探究豎式的算法算理后進行計算的嘗試練習，接著搜集典型錯誤進行改錯，介紹“畫線乘法”，然后進行課堂鞏固練習，最后總結質疑。值得一提的是課堂在鞏固練習環節，執教教師改變了原來的幾道中間有0、連續進位的練習，改成了找規律練習。

【教學片段2】

1. 引出猜想。

（1）讀句子：（出示若干回文詩）。問：數學上是否也有這種現象呢？

（2）計算①32×46和64×23，②21×48和84×12。

（3）集體訂正。

2. 探索規律。

（1）觀察上面兩組算式，你發現了什么？

（2）任意寫一個算式，看是否符合上面的規律？

（3）討論：回文算式有什么樣的規律？用你發現的規律，試著寫一組算式，通過計算驗證你總結的規律是否正確。

四、留下思考

1. 解惑，在學生真正困惑處。

釋疑解惑是教學的第一要義，學生的困惑處永遠都應該是教師重點關注也永遠都是教師值得花精力去研究的。如此就要求教師備課要深入，要預設各種可能，才能從容應對學生的問題，真正給學生解惑。如果教師本來就知道可以畫出結果，學生出現問題時及時介紹便可一舉多得：幫助不會口訣的學生能夠正確計算，幫助學生理解乘法的本質，非常規方法激發學習興趣。

2. 設疑，陌生點激發探究欲望。

這堂課從探索規律開始，學生就進入了“總結規律—應用規律—驗證規律”的循環過程。在這個過程中，學生是投入的、興奮的。但是，一直到下課，學生們也沒總結出一個經得起大家驗證的規律。用一般的標準看，這堂課很不成功，因為問題沒有解決。然而，學生課后探索一直沒有結束。這讓筆者確信，這堂課是成功的：計算的目標早已達成，在形成計算技能、提高計算的正確率與速度時避免計算練習的枯燥與單調，同時極大激發了學生的問題意識，促使他們對問題的深度思考。

（作者單位：江蘇省連云港市中云中心小學）