借助直觀轉換語言助力推理

李玲玲

“喝牛奶的數學問題”這一內容涉及的分數比較抽象，常作為數學愛好者研究的智力問題。人教版教材在五年級下冊的“分數的加減法”單元中，增加了此內容作為解決問題的例題，具體題目為“一杯純牛奶，樂樂喝了半杯后，覺得有些涼，就兌滿了熱水。又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了多少杯純牛奶？多少杯水？”教材的編排意圖是“不僅緊密聯系生活實際，更重要的是滲透用幾何直觀解決問題的策略”。從單元的整體編排來看，本課是“分數的加減法”單元中第三小節“分數加減混合運算”的例3，按常理來說，應該是運用分數加減的方法來解決問題。然而，這道題要求“一共喝多少杯純牛奶”，表面看是用分數加減法來解決，但關鍵的一步“第二次喝了多少杯純牛奶”卻需要用到分數的意義，這也是本課的教學難點。在該階段，學生在學習時只認識了完整的單位“1”，比如“年有（ ）個月”，對于本題所需解決的“杯的是多少”，單位“1”已發生轉換，學生理解存在困難。由于學生還沒學習分數乘法，無法用乘法計算來解決“杯純牛奶的一半是多少”的問題，只能運用分數的意義推理出結論。基于以上思考，本課確定了借助幾何直觀助力推理生成的教學思路。

一、借助幾何直觀，加強畫圖指導

“幾何直觀是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關系，對數學的研究對象（空間形式和數量關系）進行直接感知、整體把握的能力。”（史寧中）從中可以看出，幾何直觀與“圖形”是密不可分的。在小學數學教學中，圖形直觀發揮著重要的作用，圖形直觀是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀。圖形教給學生用直觀圖示描述問題的方法，是發展學生直觀感受力的重要途徑。在本課教學中，圖形應成為解決問題的重要工具。

為了更好地了解學生關于畫圖策略的基礎，筆者對五年級學生進行前測。題目如“一杯果汁，小明喝了一半，覺得有些甜，就兌滿水。他又喝了半杯，就沒再喝了。小明一共喝了多少杯果汁？多少杯水？”全班43人，按學生座位分成兩組并完成問卷題目。A組要求“先畫圖，再解答”，B組“按自己喜歡的方法解決問題”。大概用時10分鐘，學生獨立完成，當場收取，結果不做反饋。

前測結果表明，學生的自覺運用畫圖策略解決問題的意識比較淡薄。但在根據要求用畫圖策略解決問題的答題過程中，只有少數幾位同學能比較準確地用圖表達出題目意思，部分學生只是為畫圖而畫圖，達不到輔助理解題意解決問題的目的，甚至正確率還低于不畫圖的B組。從前測可以看出，無論是學生的畫圖意識，還是畫圖能力，都有待提高。

基于調研的情況，在教學時，教師可在畫圖環節留足時間，不走過場。教師引導學生通過“閱讀與理解”明白題目意思，然后出示要求：1. 請畫圖表示題目意思。（搭配簡單文字可使思路明晰）2. 請列式解決問題。3. 結合圖與你的同桌講講你的思路。

學生自主畫圖時，教師巡視及時發現不同想法的學生作品，收集用作集體評析（圖1）。展評學生作品時，應請學生清晰地表達出自己的思維過程，教師引導學生進行追問，作為進一步開展教學的資源。

此題的情境較為生活化，畫圖是一個“去情境化”的過程，能夠直觀呈現數量關系，幫助學生理解數學問題，有助于推理的順利開展。而當學生還不善于畫圖解決問題時，教師應重視指導，幫助學生認識到借助畫圖可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果，從而積累相關的數學活動經驗。

二、重視語言轉換，理解推理過程

這里的語言轉換，指生活語言與數學語言的轉換，以及數學語言內部的轉換。本題以生活情境出示，充滿濃濃的生活味，教師在“閱讀與理解”環節可以引導學生理解“兌”“一半”等字詞在數學方面的含義。比如“兌”是為了讓加水后的牛奶更均勻，避免引導學生研究數學問題時產生的無謂爭議，而一半剛好可以用分數“”來表示。雖然話語不多，但可以幫助學生實現生活語言與數學語言的轉換，讓學生感受到生活中處處有數學。

然而，解決本問題更重要的是要幫助學生實現數學語言的內部轉換。數學語言不僅是數學思維的工具和載體，它還可以促進、深化數學思維。從某種意義上說，小學數學教學就是“數學語言的教學”。數學語言，可分為文字語言、符號語言、圖表語言。文字語言源于自然語言，是用來描述其他幾種語言的表述形式，直接但信息分散，適于學生在各種語言情境中展開聯想；符號語言源于文字語言，具有形式化但抽象的特點；圖形語言是指利用圖形圖表進行描述的語言方式，直觀、形象且有助于學生拓寬思維。在本課的教學中，圖形直觀發揮了關鍵的作用，但引導學生實現三種語言的轉換也是教學的一大著力點。

從以上過程可以看出，引導學生建立不同數學語言的對應關系，是進行數學語言轉換的重要條件。教學中既要引導學生對相同數學內容善于用不同數學語言進行表示，又要引導學生對數學的文字語言、圖表語言、符號語言進行相互轉換，以幫助學生理解不同語言內在的邏輯聯系和語言自身的數學意義，在語言的轉換過程中培養推理能力。

三、落實回顧反思，實現推理發展

人教版新教材倡導的“解題三步驟”，在高年級為“閱讀與理解”“分析與解答”“回顧與反思”，這對培養學生的解決問題策略意識有很大的促進作用。但在實際教學中，前兩個環節相對得到重視，而第三個環節“回顧與反思”，往往成了機動環節隨意處理。這顯然不利于學生形成較為穩定的策略意識，屬于教學的短視行為。在本課的教學中，教師要重視“回顧與反思”環節，通過引導學生回顧解決問題的過程。

【教學片段】

師：結論到底對不對？可以怎樣檢驗？（學生小組交流后匯報）

生：可以從剩下的半杯兌過水的牛奶考慮，剩下的杯中有一半的純牛奶和一半的水，所以剩下的純牛奶是杯，所以喝了杯純牛奶是正確的。

生：可以把兩次喝的純牛奶和最后剩下的純牛奶加起來，剛好是一杯純牛奶。所以我們的結論是正確的。

生：每次喝的半杯中都是剩下純牛奶的一半，第一次喝的是整杯純牛奶的一半，第二次喝的是剩下半杯純牛奶的一半。

師：如果重復進行“兌滿熱水再喝一半”的動作，那么會是什么情況呢？比如第三次、第四次……分別喝多少牛奶，剩下多少牛奶？

出示前兩次的結果整理，引導學生根據前面探究的數據進行思考（表1）。

師：假設不斷地重復這樣的過程，會是什么結果？

生：牛奶永遠喝不完，這太奇怪了。

師：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”《莊子·天下篇》中有類似這種現象的記載，我們的老祖宗早就有相關的研究。

這個片段中，教師引導學生通過“回顧與反思”，有意識地培養學生逐步完善解決問題的思維過程，能使學生進一步體會借助幾何直觀分析數量關系的優勢，找出解決問題的思路和方法，同時也為后面理解分數乘法的意義、解決問題積累一定的方法和經驗。整理表格屬于拓展練習，有了這個表格作支架，借助圖形直觀支撐的思維就可以逐步過渡到推理層次的思維，從而實現推理能力的發展。從培養推理能力的角度來看，在“分析與解答”環節，實現三種數學語言轉換推理出結果，屬于合情推理；而“回顧與反思”，引導學生從不同角度證明結論的正確性，雖然推理過程仍不夠嚴密，但已初步體驗演繹推理的運用了。

（作者單位：福建省廈門實驗小學）