初中數(shù)學(xué)路線最短問題的探析

徐珍玉

摘要：路線最短問題是近幾年來中考試題中的熱點(diǎn)，它涉及的所有問題都是從一個(gè)基本定理，即“兩點(diǎn)之間，線段最短”引出來的。常用的解決方法是借助軸對(duì)稱知識(shí)轉(zhuǎn)化，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決有關(guān)最短路徑問題。學(xué)生應(yīng)學(xué)會(huì)根據(jù)具體的題目背景，主動(dòng)構(gòu)建相關(guān)的圖形來輔助思考，從而突破難點(diǎn)，解決問題。

關(guān)鍵詞：建構(gòu)；基本模型；路線最短

一、路線最短問題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)

【模型呈現(xiàn)】路線最短問題是數(shù)學(xué)中一類較具挑戰(zhàn)性的問題，下面是一則關(guān)于此類問題的數(shù)學(xué)故事：海倫是古希臘精通數(shù)學(xué)、物理的學(xué)者，相傳有位將軍向他請(qǐng)教了一個(gè)問題，如圖1所示，從點(diǎn)A出發(fā)，到筆直的河岸m去飲水，然后再去B地，怎樣走路線最短呢？海倫輕松地給出了答案：作點(diǎn)A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B，交直線m于點(diǎn)P，則PA+PB=PA′+PB=A′B，此時(shí)所走的路線最短。

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B后得到點(diǎn)P，此時(shí)PA′+PB的值小于異于此點(diǎn)P的任何一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之和，因?yàn)楫?dāng)A′、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB的最小值即為A′B的長度。通過基本信息的閱讀、基本圖形的識(shí)別，學(xué)生了解了以一邊為對(duì)稱軸進(jìn)行軸對(duì)稱變換的基本方法，利用軸對(duì)稱變換可以達(dá)到“化折為直”的目的，即將折線問題轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短問題。

二、路線最短問題的探索應(yīng)用

1.與圓相關(guān)的路線最短問題

如圖2，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值。

【分析】學(xué)生在掌握基本圖形特征的前提下，可以判斷本圖中線段OB所在直線即為上述模型中的直線m，將上述方法遷移到本題中，問題就迎刃而解了。由于圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，所以，AO的延長線與⊙O的交點(diǎn)即為點(diǎn)A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)。軸對(duì)稱變換在圓中得到了應(yīng)用，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的遷移能力。在教學(xué)中，教師要以發(fā)展學(xué)生能力為目標(biāo)，拓寬學(xué)生視野，提高學(xué)生分析和解決問題的能力。

2.與正方形相關(guān)的路線最短問題

如圖3，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值是_ 。

【分析】如圖4，連接DE，交AC于點(diǎn)P，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，AC垂直平分BD，所以PB=PD，由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=。這種解法充分利用了正方形的軸對(duì)稱性。

3.與角相關(guān)的路線最短問題

如圖5，若∠AOB=45°，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，OP=10，邊OA、OB上分別有Q、R兩點(diǎn)，那么P、Q、R三點(diǎn)所組成的三角形周長的最小值是多少？

【分析】本題中出現(xiàn)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q、R，機(jī)械地模仿前面的方法已經(jīng)無法解決這一問題。既然有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，我們就考慮兩次運(yùn)用軸對(duì)稱變換，如圖6，作出點(diǎn)P關(guān)于射線OA的對(duì)稱點(diǎn)M，關(guān)于射線OB的對(duì)稱點(diǎn)N。任意取OA上一點(diǎn)Q，OB上一點(diǎn)R，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：QM=QP，RN=RP，所以△PQR的周長=PQ+QR+RP=MQ+QR+RN。由兩點(diǎn)之間線段最短可知，只有當(dāng)Q、R在線段MN上時(shí)，上面的算式才能取得最小值。也就是說只要連接MN，它與OA、OB的交點(diǎn)Q、R即為所求的兩點(diǎn)。這時(shí)△PQR的周長即為線段MN的長。容易知道OM=ON=OP=10，∠MOA=∠AOP，∠POB=∠BON，所以∠MON=∠MOA+∠AOP+∠POB+∠BON=2（∠AOP+∠POB）=2∠AOB=90°，所以△MON是等腰直角三角形，直角邊等于10，易求得斜邊MN= ，也就是說，△PQR的周長的最小值=MN= 。這樣的訓(xùn)練拓寬了學(xué)生的視野，潛移默化中培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的好習(xí)慣。

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是一種能動(dòng)的建構(gòu)過程。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，要培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，使學(xué)生能綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和技能解決問題。這就要求我們教師在遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的前提下進(jìn)行基礎(chǔ)教學(xué)，讓學(xué)生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)，形成基礎(chǔ)技能，了解數(shù)學(xué)的基本思想，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而使學(xué)生學(xué)會(huì)探索新穎獨(dú)特的解決問題的方法，發(fā)展思維，開發(fā)潛能。

4.與平行四邊形相關(guān)的路線最短問題

如圖7，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬均為5米，從A處到達(dá)B處，須經(jīng)兩座橋DD′、EE′（橋?qū)挷挥?jì)），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，A、B在東西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰當(dāng)?shù)丶軜蚩墒笰DD′E′EB的路程最短，這個(gè)最短路程是多少米？

【分析】作AF⊥CD，且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF，與河岸相交于E′、D′。理由：由作圖法可知，AF∥DD′，AF=DD′，則四邊形AFD′D為平行四邊形，于是AD=FD′，同理，BE=GE′，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，GF最短，即當(dāng)橋建于如圖8所示位置時(shí)，路程最短。此題考查了軸對(duì)稱—最短路徑問題，由于有固定長度的線段，常用的方法是構(gòu)造平行四邊形，將問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形的問題解答。

【變式】如圖9，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G為邊AD的中點(diǎn)，若E、F為邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)，且EF=1，當(dāng)四邊形CGEF的周長最小時(shí)，請(qǐng)你確定點(diǎn)E、F的位置（三角板、刻度尺作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），并直接寫出四邊形CGEF周長的最小值_ 。

【分析】四邊形CGEF中有兩個(gè)定點(diǎn)C、G，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，兩個(gè)定值CG=5，EF=1，周長的最小值就轉(zhuǎn)化成了EG+CF的最小值。作點(diǎn)G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G′，連接EG′，EG+CF=EG′+CF。由于EF=1，G′、E、F、C就不可能共線，學(xué)生的解題思路到此就很有可能出現(xiàn)暫時(shí)的“短路”現(xiàn)象。此時(shí)，教師要做引導(dǎo)者，開拓學(xué)生思維，鼓勵(lì)學(xué)生打破慣性思維，重新審視、剖析問題，在探究中另辟蹊徑。G′、E、F、C不可能實(shí)現(xiàn)真正意義的共線，但我們可以將線段G′E和FC的平行關(guān)系看成“四點(diǎn)共線”，這一點(diǎn)撥能調(diào)動(dòng)學(xué)生思考問題的積極性，同時(shí)也能激發(fā)思維的創(chuàng)造性和靈活性。由兩條線段的平行關(guān)系推出△AEG∽△BFC，相似比為1：2，即點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AF的中點(diǎn)，最終求得周長的最小值。

5.與圓柱體相關(guān)的路線最短問題

如圖11，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜處的最短距離為_ 。

【分析】學(xué)生一看到這個(gè)圓柱體問題，就很容易產(chǎn)生定向思維：將圓柱體展開，找到展開圖中的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C，構(gòu)造Rt△AQC，利用勾股定理AC2=CQ2+AQ2，通過已知的條件可求出CQ=9cm，AQ=4cm，進(jìn)而求出AC的值。這種解題思路是錯(cuò)誤的，因?yàn)榉涿墼诒瓋?nèi)壁，而螞蟻在杯外壁，螞蟻首先要從外面爬向里面。將圓柱體展開（如圖12），找到點(diǎn)C的位置，根據(jù)上述問題的基本模型解法，找到A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，此時(shí)QA′2+QC2=CA′2，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定點(diǎn)P的位置，在Rt△A′QC中，求出CA′=15cm。

以上幾個(gè)例子都是以基本圖形為載體，融幾何基本方法、基本技能、基本思想（轉(zhuǎn)化思想）為一體的典型實(shí)例，多題歸一。無論是在內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上，還是在解題思路的探尋過程中，這幾道題目都能提高學(xué)生的思維層次。

最短路線問題的背景極其廣泛，可以是角、三角形、菱形、正方形、圓、坐標(biāo)軸等。對(duì)于解決這類題而言，無論題目如何變化，萬變不離其宗，都是找出點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)將折線轉(zhuǎn)化為直線的問題，考查的核心知識(shí)點(diǎn)包括“兩點(diǎn)之間，線段最短”“點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱”“線段的平移”等。在今后的教學(xué)中，筆者將繼續(xù)本著“全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力”的目標(biāo)，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中，感悟基本圖形、基本方法的實(shí)質(zhì)，領(lǐng)略問題形式的多變和問題本質(zhì)的不變，做到以不變應(yīng)萬變！