高中數(shù)學(xué)立體幾何的類(lèi)型和結(jié)構(gòu)特征分析

楊描宇

摘要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，立體幾何是數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)中的一個(gè)重要板塊，其主要考察的是學(xué)生對(duì)三維空間的運(yùn)用能力，經(jīng)常通過(guò)三維直角坐標(biāo)系來(lái)尋求幾何的相關(guān)特征，也是解決很多幾何問(wèn)題都需要運(yùn)用的一種解題手法。本文主要針對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及的立體幾何進(jìn)行分類(lèi)，并且根據(jù)每一類(lèi)立體幾何的具體結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行探索和分析。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；立體幾何；類(lèi)型；結(jié)構(gòu)特征

1.立體幾何的類(lèi)型

立體幾何的類(lèi)型多種多樣，有的能找出規(guī)律，有的卻毫無(wú)規(guī)律可循，但都是三維空間的一種空間幾何體。自然界中的空間幾何體雖然多種多樣，但其主要表現(xiàn)的類(lèi)型主要有兩種：

一種是多面體。它是由很多個(gè)平面多邊形圍繞而成的一個(gè)幾何體，而圍成這個(gè)多面體的各個(gè)多邊形叫做這個(gè)多面體的面，兩個(gè)相鄰面都會(huì)有一條同樣的邊，這就是構(gòu)成多面體的棱，當(dāng)棱和棱之間有一個(gè)共同的點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)就是多面體的頂點(diǎn)。

另一種類(lèi)型叫螺旋體。將一個(gè)平面圖形圍繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而形成的一個(gè)封閉幾何體稱(chēng)為螺旋體，而這條直線則為這個(gè)螺旋體的軸。

2.高中數(shù)學(xué)中幾種主要的立體幾何的結(jié)構(gòu)特征

2.1棱柱、圓柱的結(jié)構(gòu)特征

棱柱的特點(diǎn)是有兩個(gè)面互相平行，而其他的每個(gè)面都是四邊形，同時(shí)每個(gè)相鄰的兩個(gè)四邊形的公共邊都是互相平行的，這些面圍城的幾何體就是棱柱。而棱柱又可以分為斜棱柱、直棱柱、正棱柱或者是其他棱柱，其中斜棱柱指的是棱與底面不垂直；直棱柱指的是棱垂直于底面；而正棱柱指的棱柱的底面是正多邊形。棱柱主要的性質(zhì)為：（1）側(cè)棱均相等，側(cè)面都是平行四邊形；（2）當(dāng)?shù)酌娴慕孛婧蛢蓚€(gè)底面平行時(shí)，說(shuō)明它們是全等的多邊形；（3）當(dāng)一個(gè)面經(jīng)過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱時(shí)，此時(shí)的截面是平行四邊形；（4）直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和高相等，側(cè)面的對(duì)角面是矩形。

將矩形的一邊為定邊，其對(duì)邊進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和定邊重合，通過(guò)這種方式所形成的幾何體就是圓柱。圓柱的主要性質(zhì)有：（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圓；（2）過(guò)軸的截面是全等的矩形。其中，將圓柱的側(cè)面進(jìn)行展開(kāi)后就是原先的那個(gè)矩形。

2.2棱錐、圓錐的結(jié)構(gòu)特征

由多個(gè)三角形共一個(gè)頂點(diǎn)圍城一個(gè)幾何體，并且這個(gè)幾何體的底邊是一個(gè)多邊形，那么我們稱(chēng)這個(gè)幾何體為棱錐。假如這個(gè)底邊同時(shí)又是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的投影恰好在底面的中心，那么這種情況下稱(chēng)這個(gè)幾何體為正棱錐。正棱錐的結(jié)構(gòu)特征有：（1）假如正棱錐的一個(gè)截面與底面平行，那么這個(gè)截面和底面是相似的，其相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；（2）正棱錐的所有側(cè)棱長(zhǎng)度都一樣，并且構(gòu)成所有的側(cè)面三角形均全等；（3）正棱錐中的六個(gè)元素，即側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱在底面上的投影、斜高在底面上的投影、底面邊長(zhǎng)的一半，構(gòu)成四個(gè)直角三角形。正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由等腰直角三角形組成的。

我們將直角三角形放在水平面上，保持一邊與水平面垂直，以這個(gè)邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體就是圓錐。圓錐的結(jié)構(gòu)特征為：（1）由于圓錐的底面是圓，所以假如一個(gè)截面平行于底面，那么這個(gè)截面也是圓，其截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；（2）軸截面是等腰三角形；（3）母線其實(shí)與底面半徑和高共同構(gòu)成一個(gè)直角三角形。其中，將其側(cè)面展開(kāi)顯示的是一個(gè)扇形圖形。

2.3棱臺(tái)、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

當(dāng)棱錐被一個(gè)截面切成兩部分，而這個(gè)截面與底面平行時(shí)，除了頂點(diǎn)那一部分剩下的部分就是棱臺(tái)。棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征為：（1）棱臺(tái)的所有側(cè)棱長(zhǎng)度都一樣，并且側(cè)面都是全等的等腰梯形；（2）正棱臺(tái)的兩個(gè)底面和平行于底面的截面都是正多邊形；（3）由正棱臺(tái)的對(duì)角所構(gòu)成的面也是等腰梯形。

同樣，當(dāng)圓錐被一個(gè)截面切成兩部分，而這個(gè)而這個(gè)截面與底面平行時(shí)，除了頂點(diǎn)那一部分剩下的部分就是圓臺(tái)。圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征為：（1）圓臺(tái)的上下底面和平行于底面的截面都是圓；（2）圓臺(tái)的截面是等腰梯形。

2.4球的結(jié)構(gòu)特征

將一個(gè)半圓以直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的一個(gè)旋轉(zhuǎn)體就是球。球的結(jié)構(gòu)特征為：（1）球心與截面圓心的連線垂直于截面；（2）截面半徑、球半徑、截面和球心的距離構(gòu)成一個(gè)直角三角形。

結(jié)語(yǔ)：由上可知，立體幾何所涵蓋的內(nèi)容是非常廣泛的，其考察的方向也是方方面面。在數(shù)學(xué)高考中，立體幾何成為一個(gè)重要的考點(diǎn)，它可以考察幾何中的平行關(guān)系或者垂直關(guān)系，而平行關(guān)系中又可以考察線線平行、線面平行或面面平行；垂直關(guān)系中可以考察線線垂直、線面垂直、面面垂直等。需要確定它們的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)它們之間的性質(zhì)進(jìn)行判定，最后進(jìn)行結(jié)果的推論。立體幾個(gè)是由平面幾何知識(shí)往立體幾何知識(shí)上的一個(gè)升華，其涵蓋的內(nèi)容比平面幾何知識(shí)復(fù)雜的多，需要有良好的空間思維能力和耐心去進(jìn)行探索。在高中數(shù)學(xué)立體幾何教育中，要讓同學(xué)們打牢基礎(chǔ)知識(shí)的根基，從而才能往更深層次進(jìn)行研究，對(duì)今后的各類(lèi)考試中的立體幾何問(wèn)題才能做到輕而易舉的解決。

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