高中數學立體幾何的類型和結構特征分析

楊描宇

摘要：高中數學教學中，立體幾何是數學教學任務中的一個重要板塊，其主要考察的是學生對三維空間的運用能力，經常通過三維直角坐標系來尋求幾何的相關特征，也是解決很多幾何問題都需要運用的一種解題手法。本文主要針對高中數學教學中涉及的立體幾何進行分類，并且根據每一類立體幾何的具體結構特征進行探索和分析。

關鍵詞：高中數學；立體幾何；類型；結構特征

1.立體幾何的類型

立體幾何的類型多種多樣，有的能找出規律，有的卻毫無規律可循，但都是三維空間的一種空間幾何體。自然界中的空間幾何體雖然多種多樣，但其主要表現的類型主要有兩種：

一種是多面體。它是由很多個平面多邊形圍繞而成的一個幾何體，而圍成這個多面體的各個多邊形叫做這個多面體的面，兩個相鄰面都會有一條同樣的邊，這就是構成多面體的棱，當棱和棱之間有一個共同的點時，這個點就是多面體的頂點。

另一種類型叫螺旋體。將一個平面圖形圍繞它所在的平面內的一條定直線進行旋轉，從而形成的一個封閉幾何體稱為螺旋體，而這條直線則為這個螺旋體的軸。

2.高中數學中幾種主要的立體幾何的結構特征

2.1棱柱、圓柱的結構特征

棱柱的特點是有兩個面互相平行，而其他的每個面都是四邊形，同時每個相鄰的兩個四邊形的公共邊都是互相平行的，這些面圍城的幾何體就是棱柱。而棱柱又可以分為斜棱柱、直棱柱、正棱柱或者是其他棱柱，其中斜棱柱指的是棱與底面不垂直；直棱柱指的是棱垂直于底面；而正棱柱指的棱柱的底面是正多邊形。棱柱主要的性質為：（1）側棱均相等，側面都是平行四邊形；（2）當底面的截面和兩個底面平行時，說明它們是全等的多邊形；（3）當一個面經過不相鄰的兩條側棱時，此時的截面是平行四邊形；（4）直棱柱的側棱長和高相等，側面的對角面是矩形。

將矩形的一邊為定邊，其對邊進行旋轉和定邊重合，通過這種方式所形成的幾何體就是圓柱。圓柱的主要性質有：（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圓；（2）過軸的截面是全等的矩形。其中，將圓柱的側面進行展開后就是原先的那個矩形。

2.2棱錐、圓錐的結構特征

由多個三角形共一個頂點圍城一個幾何體，并且這個幾何體的底邊是一個多邊形，那么我們稱這個幾何體為棱錐。假如這個底邊同時又是正多邊形，并且頂點在底面的投影恰好在底面的中心，那么這種情況下稱這個幾何體為正棱錐。正棱錐的結構特征有：（1）假如正棱錐的一個截面與底面平行，那么這個截面和底面是相似的，其相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；（2）正棱錐的所有側棱長度都一樣，并且構成所有的側面三角形均全等；（3）正棱錐中的六個元素，即側棱、高、斜高、側棱在底面上的投影、斜高在底面上的投影、底面邊長的一半，構成四個直角三角形。正棱錐的側面展開圖是由等腰直角三角形組成的。

我們將直角三角形放在水平面上，保持一邊與水平面垂直，以這個邊為旋轉軸旋轉一周，所形成的幾何體就是圓錐。圓錐的結構特征為：（1）由于圓錐的底面是圓，所以假如一個截面平行于底面，那么這個截面也是圓，其截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；（2）軸截面是等腰三角形；（3）母線其實與底面半徑和高共同構成一個直角三角形。其中，將其側面展開顯示的是一個扇形圖形。

2.3棱臺、圓臺的結構特征

當棱錐被一個截面切成兩部分，而這個截面與底面平行時，除了頂點那一部分剩下的部分就是棱臺。棱臺的結構特征為：（1）棱臺的所有側棱長度都一樣，并且側面都是全等的等腰梯形；（2）正棱臺的兩個底面和平行于底面的截面都是正多邊形；（3）由正棱臺的對角所構成的面也是等腰梯形。

同樣，當圓錐被一個截面切成兩部分，而這個而這個截面與底面平行時，除了頂點那一部分剩下的部分就是圓臺。圓臺的結構特征為：（1）圓臺的上下底面和平行于底面的截面都是圓；（2）圓臺的截面是等腰梯形。

2.4球的結構特征

將一個半圓以直徑為軸旋轉一周，所形成的一個旋轉體就是球。球的結構特征為：（1）球心與截面圓心的連線垂直于截面；（2）截面半徑、球半徑、截面和球心的距離構成一個直角三角形。

結語：由上可知，立體幾何所涵蓋的內容是非常廣泛的，其考察的方向也是方方面面。在數學高考中，立體幾何成為一個重要的考點，它可以考察幾何中的平行關系或者垂直關系，而平行關系中又可以考察線線平行、線面平行或面面平行；垂直關系中可以考察線線垂直、線面垂直、面面垂直等。需要確定它們的結構特征，對它們之間的性質進行判定，最后進行結果的推論。立體幾個是由平面幾何知識往立體幾何知識上的一個升華，其涵蓋的內容比平面幾何知識復雜的多，需要有良好的空間思維能力和耐心去進行探索。在高中數學立體幾何教育中，要讓同學們打牢基礎知識的根基，從而才能往更深層次進行研究，對今后的各類考試中的立體幾何問題才能做到輕而易舉的解決。

參考文獻

[1] 蒲春榮.幾何推理、說理啟蒙教學初探[J].現代閱讀（教育版），2012 （14）

[2] 吳麗娟，施仁智.對新課標下高中立體幾何教學的認識[J].教育實踐與研究（中學版），2008（09）

[3] 黃幼學.對高中數學課程目標的再理解[J].甘肅科技縱橫，2007（02）