淺析求高中數學函數單調區間的解題技巧

王李嘉

摘要：在高中數學中，函數的單調性問題是高中學習的重點，通過函數的單調性我們往往可以知道很多的知識，這樣可以讓我們更有效的解決問題。我們同樣也可以通過對函數的單調區間的研究求解出參數方程中的參數范圍。除此之外，我們對函數進行一定的轉換，那么我們就可以求解一些特殊的不等式，這些難以解決的問題大都能夠利用函數的單調性來進行解決。我們知道數學是一門神奇的學科，它可以鍛煉人的思維能力，使人的視野開闊。因此，函數的單調性問題，我們同樣也會有多種方法對其進行解決。解決函數的單調性問題的方法不是單一的，但是萬變不離其宗，函數單調性的定義是最為基本的，當然根據各種各樣巧妙的方法來解決問題也不是很容易的。我們就對于函數單調性問題的解題方法進行了探究，將以實際例子的形式展現。

關鍵詞：函數的單調性；區間；解題技巧

一、函數單調性定義的運用

在數學對于函數單調性的研究與討論，我們最應該而且是首先考慮到的一種方法就是定義法。有些刁鉆的題目就會指定用定義法進行證明，那么我們就不能使用其他的方法。所以我們就應該使用定義法。對于無理式的函數，我們在進行論證的過程中要將無理式進行有理化，有理化式子有利于是用定義法對函數的單調性進行分析。

假定函數 g（x） ，x∈N 有意義，存在任意兩個自變量x1，x2，且存在一個區間M（M∈N） x1，x2∈M，并且x1>x2時，若g（x1）>g（x2），稱之為g（x）在區間段M是嚴格單調遞減的。相反，g（x1） < g（x2）稱之為g（x）在區間段M是嚴格的單調遞增的。對于函數單調性的研究，我們要嚴格的控制單調區間。

假設函數g（x）=1/x，試判斷該函數的單調性，并寫出其單調區間。

解： 由題意可得出，g（x）的定義域為：（-∞，0）U（0，+∞）。假設存在x1，x2∈（-∞，0） 并且x1>x2，設g（x）= g（x1）-g（x2） = 1/x1- 1/x2=（x2-x1） /x1x2，由于 x1x2>0，x1>x2，則 g（x） = g（x1）-g（x2）<0，可得出g（x1）

二、函數單調性的解題方法

（一）函數單調性的定義

函數單調性的研究，從其定義來講，一般是分為以下幾個步驟來完成的。第一，確定函數的定義域區間，我們所研究的函數是在其有意義的范圍內對其進行一系列的而研究，超出的部分沒有任何的意義；第二，在所劃分的區間之內確定兩個任意的值x1，x2，求出g（x1），g（x2）的值并比較兩者的大小；第三，根據函數單調性的定義以及所標注的區間，確定其單調性，下結論。

（二）利用導數的知識來研究函數的單調性

導數作為研究函數的工具，開辟了許多新途徑。特別是對于具體函數，利用導數求解函數單調性，思路清晰，步驟明確，既快捷又易于掌握.

假設 g（x）在區間M范圍內具有倒數，假如它的一階導數為零，那么這個函數就是一個常數函數；假設它的一階導數大于零，那么這個函數在它的區間范圍內就是增函數，假設它的一階導數小于零，那么這個函數在它的區間范圍內就是減函數。同理，假設g（x）在區間M內具有一階導數并且在這個區間范圍內是減函數，那么就一定有g（x） ≤0。假如g（x）在區間M內具有一階導數且在其區間范圍內是增函數，那么就一定有g（x）≥0；從導數的角度來看這個問題，函數的單調性問題就變成了對導數的研究。假如函數可導，求其導數就能夠輕而易舉的解決單調性的問題了。由此看來，一些復雜高難度及含有參數的函數可以通過簡單的求導的方法來解決。

（三） 運用復合函數單調性的法則，對復合函數進行求解運算

在高中數學中，復合函數是由內外兩個函數組合而成的。它的定義是函數y=g（t（x））是用函數y=g（t）和函數f=t（x）組合而成的，其中f=t（x）是內層函數，y = g（t） 是外層函數。

復合函數的單調性是由兩個函數共同決定的，假如內層函數和外層函數的單調性不同，那么整個函數就是遞減函數。相反，假如內層函數和外層函數的單調性相同，那么復合函數的單調性就是遞增函數。

（四） 對函數的基本圖像進行分析，解決函數的單調性問題

圖像是最基本也是最直觀的方式，我們在圖像中能夠直接的看出函數的單調性，當然這些都應該是在我們對各種基本函數的具體圖像熟練掌握的基礎之上。我們除了可以直接的看出函數的單調性之外，我們也可以看出函數的對稱性，這是一種新型的解題思路，我們可以利用函數自身的對稱性以及兩個函數之間的對稱性來解決問題。

結語：在高中數學中，函數的單調性以及函數的單調區間是最常見的問題，因為這方面的題型涉及的范圍比較廣，所以對函數單調性的考察也是越來越熱門。除此之外，我們可以利用函數的單調性對其進行一般的轉化，也有求解方程參數的范圍以及不等式恒成立求參數的問題。函數單調性還可以對一些特殊的不等式進行解答，但是，熟練地掌握函數單調性是解決這些問題的一個必要前提。

參考文獻

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