數與形相倚依

李家龍

摘 要：研究數量關系與空間形式是數學的主要研究內容，數與形兩者沒有不可逾越的鴻溝，許多代數問題，往往有著很深的幾何背景，構造幾何圖形來解決反而比用純代數手段更直觀、更簡捷，便于發揮創造力、想象力探求最優解法，從而激發學生研究數學的興趣，提高學生分析問題、解決問題的能力。下面通過幾個典型例題說明這一觀點。

關鍵詞：構造法；數與形；結合

例1.設x是實數，y=x-1+x+1，下列四個結論：

①y沒有最大值；②只有一個x使y取到最小值；

③有有限個（不止一個）使y取到最小值；④有無窮多個x使y取到最小值；

其中正確的是（ ）

A.① B.② C.③ D.①④

解：由絕對值的幾何意義可知：y=x-1+x+1表示數軸上的點x到-1和1所對應的點的距離之和，如圖1。

顯然，當時，這個距離之和最小且為2，故應選D。

注：本題還可以利用函數圖象來解。

例2.求所有的實數x，使得x=+

解：由條件可知x>1，原方程可化為+=x，構造△ABC，使AB=x，AC=，BC邊上的高AH=1，如圖2所示，則S△ABC=x··sin∠BAC，又S△ABC=（+）·1=x·，∴sin∠BAC=1，即∠BAC=90°；

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+AC2=BC2，即x2+x=x3（x>1），所以x2-x-1=0，解得x=

例3.解方程+=13

分析：此方程若用純代數的方法，顯然很難解；若將方程變

形為：

+=13，可聯想到構造直角三角形……

解：將原方程變形得+=13

故構造如圖3的直角三角形，由△ADE∽△ABC，得=，即=，∴x=

例4.已知a，b，m都是正數，且a

分析一：待證的不等式可轉化為b（a+m）>a（b+m），這就使我們聯想到圖形的面積，因此，可構造長方形來解決。

證明一：如圖4，以a+m，b+m為邊長作一矩形，由b>a>0，m>0，知bm>am，即s1>s3

∴s1+s3>s3+s2，b（a+m）>a（b+m），即>

分析二：待證的不等式可轉化為a（b+m）

證明二：如圖5，以a+b+m為直徑作⊙O，在直徑AB上取點P，使AP=a，PB=b+m。因為b>a，所以P不是圓心，過P點作弦CD，使CD=b。設PD=x，由相交弦定理得a（b+m）=bx，x=

又因為CD

即

例5.已知x，y，z∈（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1

分析：此題用代數方法證明比較困難，但若從結論觀察，式中有3個積，而1又可看做是12，故可以構造出邊長為1的正方形中幾個小長方形，用面積法去證。

證明一：以1為邊長作正方形，由于x，y，z∈（0，1），故在正方形的邊上取點，作出小長方形（如圖6），則x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）即為所求的三塊小長方形面積的和，顯然x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<12=1

證明二：如圖7，在邊長為1的正△ABC的邊AC、BC、AB上分別取點D、E、F，使DA=x，EB=y，FC=z，則CD=1-x，AE=1-y，BF=1-z；

∵S△AED+S△EBF+S△DFC

∴x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<

∴x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1

例6.已知a·+b·=1，求證：a2+b2=1

分析：由已知可得a，b∈（0，1），且根據a，b之間的關系可構造斜邊為1，直角邊為a和或直角邊為b和的直角三角形，如圖8所示。

證明：∵a·+b·=1∴a，b∈（0，1）

如圖8，構造直徑AC=1的圓及圓內接四邊形ABCD，使AB=b，AD=a，則CD=，BC=

由托勒密定理（圓內接四邊形兩條對角線的乘積等于兩組對邊的乘積和）知，AD×BC+AB×DC=AC×BD∴a·+b·=1×BD，

∴BD=1，即BD也是圓的一條直徑，∴a2+b2=1

例7.在銳角△ABC中，求證：cosA+cosB+cosC

分析：此題在檢查三角函數基礎上著重要求學生有解決陌生問題的能力，很多學生會陷入僵局。

證明一：如圖9，作銳角△ABC的高AE和CD，則兩高線的交點必在△ABC的內部，可證：∠α=∠EAB，所以∠CAB>∠α，故cosA

∴cosA+cosB+cosC

證明二：如圖10，設⊙O為△ABC的外接圓，半徑為R，作直徑AE、BF，連EC、FC，則cos∠1=，又因為∠1=∠CAB，∴cosA=cos∠1=；同理sinB=sin∠2=。過F點作FG⊥FC于F，交AC于G，因此AC>GC>FC，所以sinB>cosA；同樣可得，sinA>cosC，sinC>cosB，故有cosA+cosB+cosC

例8.求證=++

分析：本題用三角變換證明，運算量大，仔細觀察題目，可知四個角度成公比為2的等比數列，因此可構造一個圖形，將代數問題轉化為平面幾何的問題來證明。

證明：構作Rt△ABC，使∠A=12°，則∠B=78°，作AB的中垂線交AC于點D，再作BD的中垂線交AC于點E，又作BE的中垂線交AC的延長線于點F，連結BF，則∠BDC=24°，∠BEC=48°，∠BFC=84°，不妨設BC=1，則AB=，AD=BD=，DE=BE=，EF=BF==

∵∠ABF=∠AFB=84°∴△ABF是等腰三角形，故AD+DE+EF=AF=AB

∴=++

著名數學家華羅庚先生說：“數與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休，切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，莫分離。”事實上，有些代數問題，通過構造圖形來解，常使人茅塞頓開，突破常規思維，進入新的境界，所以華先生還一語雙關地告誡學生“不要得意忘形”。

編輯 孫玲娟