淺談拋物線焦點弦的性質及應用

張賀開

平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫作拋物線。由于拋物線定義的特殊性，使得它有許多其他圓錐曲線所沒有的特征，特別是拋物線過焦點的弦的性質尤其突出，同時也是高考中經常要考查的內容。

設拋物線的方程為y2=2px（P>0），過焦點F

，0作傾斜角為θ的直線，交拋物線于P、Q兩點，則線段PQ稱為拋物線的焦點弦。

拋物線的焦點弦具有以下性質：

性質1：設P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1y2=-p2，x1x2=。

證明：①當θ=90°時，PQ方程為x=，代入y2=2px中有y2=p2，

即y1=p，y2=-p，∴y1y2=-p2.。

②當θ≠90°時，設直線PQ斜率為k，則

PQ方程為y=k

x-與y2=2px聯立，消x后得到：

ky2-2py-kp2=0，∴y1y2=-p2。

因為y2

1=2px1，y2

2=2px2，所以y2

1·y2

2=4p2x1x2，

所以x1x2===。

例1 過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q，通過點P和拋物線頂點的直線交準線于點M，求證：直線MQ平行于拋物線的對稱軸。

證明：為了方便比較，可將P點橫坐標及Q點縱坐標均用P點的縱坐標y1表示，

∴P，y1，Q（x2，y2），但y1y2=-p2，∴y2=-，

PM方程是y=x，當x=-時，y=-即為M點的縱坐標，這樣M點與Q點的縱坐標相同，故MQ∥Ox。

例2 設坐標原點為O，拋物線y2=2x與過焦點的直線交于A、B兩點，則·=______。

A. B.- C.3 D.-3

解析：設弦的兩個端點為A（x1，y1）、B（x2，y2），x1x2=，y1y2=-P2，∴·=x1x2+y1y2=-p2=-=

-，故答案選B。

性質2：拋物線焦點弦的長度：AB=p+（x1+x2）=。

證明：分別做AA1、BB1垂直于準線l，由拋物線定義得|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p。

且有|AF|=|AA1|=|AF|·cosα+p，

|BF|=|BB1|=p-|BF|·cosα，

于是可得|AF|=，|BF|=。

∴|AB|=|AF|+|BF|=+==。

故命題成立。

例3 已知圓M：x2+y2-4x=0及一條拋物線，拋物線頂點在O（0，0），焦點是圓M的圓心F，過F作傾斜角為α的直線l，l與拋物線及圓由上而下順次交于A、B、C、D四點，若α=arcsin，求|AB|+|CD|。

解：如圖3所示，方程x2+y2-4x=0，表示圖的圓心為（2，0）即為拋物線的焦點，

對于上述結論，重在考查拋物線的定義、直線方程、根與系數的關系等知識的綜合應用，考查數形結合的數學思想，在處理客觀題時，可以提高思維起點，迅速求解。

（作者單位：河南省上蔡第一高級中學）